Lineare Algebra (Kapitel 6) L¨osungen+ Aufgaben
Aufgabe 6.1
(a) ja (b) nein
(c) ja (d) ja
(e) nein (f) ja
Aufgabe 6.2
(a) Das 3-fache von Zeile 1 wird zur Zeile 2 addiert.
(b) Zeile 3 wird mit 1/3 multipliziert.
(c) Vertauschen von Zeilen 1 und 4.
Aufgabe 6.3
(a) E1 =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
(b) E2 =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
(c) E3 =
1 0 0 0 1 0
−2 0 1
(d) E4 =
1 0 0 0 1 0 2 0 1
Aufgabe 6.4
0 1 0 1 0 0
0 4 −1 0 1 0
−1 2 0 0 0 1 Tausche die Zeilen 0 und 2.
−1 2 0 0 0 1 0 4 −1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
Addiere das −1-fache von Zeile 2 zum 4-fachen von Zeile 3:
−1 2 0 0 0 1
0 4 −1 0 1 0
0 0 1 4 −1 0
Addiere die Zeile 3 zur Zeile 2:
−1 2 0 0 0 1
0 −4 0 −4 0 0
0 0 1 4 −1 0
Addiere die Zeile 2 zum 2-fachen von Zeile 1:
2 0 0 4 0 −2
0 −4 0 −4 0 0
0 0 1 4 −1 0
Multipliziere Zeile 2 mit −14: 2 0 0 4 0 −2
0 1 0 1 0 0
0 0 1 4 −1 0
Multipliziere Zeile 1 mit 12: 1 0 0 2 0 −1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 4 −1 0
Aufgabe 6.5
−3 4 4 1 0 0 2 −3 0 0 1 0
−1 1 4 0 0 1
Addiere das 2-fache von Zeile 1 zum 3-fachen von Zeile 2:
−3 4 4 1 0 0 0 1 −8 −2 −3 0
−1 1 4 0 0 1
Addiere das −1-fache von Zeile 1 zum 3-fachen von Zeile 3:
−3 4 4 1 0 0
0 1 −8 −2 −3 0
0 −1 8 −1 0 3
Addiere die Zeile 2 zur Zeile 3:
−3 4 4 1 0 0 0 1 −8 −2 −3 0
0 0 0 3 3 −3
Wir k¨onnen aufh¨oren, da die Matrix wegen der Nullzeile nicht invertierbar ist.
Aufgabe 6.6
−1 −2 2 1 0 0 2 4 −3 0 1 0
−1 −1 3 0 0 1
Addiere das 2-fache von Zeile 1 zur Zeile 2:
−1 −2 2 1 0 0
0 0 −1 −2 −1 0
−1 −1 3 0 0 1
Addiere das −1-fache von Zeile 1 zur Zeile 3:
−1 −2 2 1 0 0
0 0 −1 −2 −1 0
0 1 1 −1 0 1
Tausche die Zeilen 1 und 2.
−1 −2 2 1 0 0
0 1 1 −1 0 1
0 0 −1 −2 −1 0
Addiere die Zeile 3 zur Zeile 2:
−1 −2 2 1 0 0
0 −1 0 3 1 −1
0 0 −1 −2 −1 0
Addiere das 2-fache von Zeile 3 zur Zeile 1:
1 2 0 3 2 0
0 −1 0 3 1 −1
0 0 −1 −2 −1 0
Multipliziere Zeile 3 mit −1:
1 2 0 3 2 0
0 −1 0 3 1 −1
0 0 1 2 1 0
Addiere das 2-fache von Zeile 2 zur Zeile 1:
−1 0 0 −9 −4 2
0 −1 0 3 1 −1
0 0 1 2 1 0
Multipliziere Zeile 2 mit −1:
−1 0 0 −9 −4 2 0 1 0 −3 −1 1
0 0 1 2 1 0
Multipliziere Zeile 1 mit −1:
1 0 0 9 4 −2
0 1 0 −3 −1 1
0 0 1 2 1 0
Aufgabe 6.7
(a) Die ersten beiden Kolonnen enhalten die elementaren Umformungen an A bzw. I.
Die dritte Kolonne enth¨alt die jeweilige Elementarmatrix Ei.
3 1 1 0
−4 −1 0 1
Addiere das 4/3-fache von Zeile 1 zur Zeile 2:
3 1 1 0 1 0
0 1/3 4/3 1 4/3 1
Addiere das −3-fache von Zeile 2 zur Zeile 1:
3 0 −3 −3 1 −3
0 1/3 4/3 1 0 1
Multipliziere Zeile 2 mit 3:
3 0 3 3 1 0
0 1 4 3 0 3
Multipliziere Zeile 1 mit 1/3:
1 0 −1 −1 −1/3 0
0 1 4 3 0 1
Also ist
1/3 0
0 1
| {z }
E4
1 0 0 3
| {z }
E3
1 −3 0 1
| {z }
E2
1 0 4/3 1
| {z }
E1
3 1
−4 −1
| {z }
A
= 1 0
0 1
| {z }
I
(b) Multiplizieren wir obige Gleichung von rechts mit A−1, so erhalten wir:
1/3 0 0 1
| {z }
E4
1 0 0 3
| {z }
E3
1 −3 0 1
| {z }
E2
1 0 4/3 1
| {z }
E1
1 0 0 1
| {z }
A·A−1=I
=A−1
(c) Multiplizieren wir die Gleichung von (a) von rechts her sukzessive mit den Inversen E4−1, E3−1, . . . , so erhalten wir:
3 1
−4 −1
| {z }
A
=
1 0
−4/3 1
| {z }
E1−1
1 3 0 1
| {z }
E−12
1 0 0 1/3
| {z }
E3−1
3 0 0 1
| {z }
E4−1
Aufgabe 6.8
Vertauschen der Zeilen 1 und 2:
b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0
Addiere das −d/a-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile:
b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0
Vertausche die dritte und vierte Zeile:
b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 0 f 0 g 0 0 0 e 0 0 0 0 h 0
Addiere das −h/e-fache von Zeile 4 zur Zeile 5:
b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 0 f 0 g 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0
Also enth¨alt die reduzierte Zeilenstufenform von A eine Nullzeile. Aufgrund eines Satzes aus dem Skript ist dies gleichbedeutend damit, dass A nicht invertierbar ist.
invertierbar.