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Lineare Algebra (Kapitel 6) L¨osungen+ Aufgaben Aufgabe 6.1

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Academic year: 2021

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(1)

Lineare Algebra (Kapitel 6) L¨osungen+ Aufgaben

Aufgabe 6.1

(a) ja (b) nein

(c) ja (d) ja

(e) nein (f) ja

Aufgabe 6.2

(a) Das 3-fache von Zeile 1 wird zur Zeile 2 addiert.

(b) Zeile 3 wird mit 1/3 multipliziert.

(c) Vertauschen von Zeilen 1 und 4.

Aufgabe 6.3

(a) E1 =

0 0 1 0 1 0 1 0 0

(b) E2 =

0 0 1 0 1 0 1 0 0

(c) E3 =

1 0 0 0 1 0

−2 0 1

(d) E4 =

1 0 0 0 1 0 2 0 1

Aufgabe 6.4

0 1 0 1 0 0

0 4 −1 0 1 0

−1 2 0 0 0 1 Tausche die Zeilen 0 und 2.

−1 2 0 0 0 1 0 4 −1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

Addiere das −1-fache von Zeile 2 zum 4-fachen von Zeile 3:

−1 2 0 0 0 1

0 4 −1 0 1 0

0 0 1 4 −1 0

(2)

Addiere die Zeile 3 zur Zeile 2:

−1 2 0 0 0 1

0 −4 0 −4 0 0

0 0 1 4 −1 0

Addiere die Zeile 2 zum 2-fachen von Zeile 1:

2 0 0 4 0 −2

0 −4 0 −4 0 0

0 0 1 4 −1 0

Multipliziere Zeile 2 mit −14: 2 0 0 4 0 −2

0 1 0 1 0 0

0 0 1 4 −1 0

Multipliziere Zeile 1 mit 12: 1 0 0 2 0 −1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 4 −1 0

Aufgabe 6.5

−3 4 4 1 0 0 2 −3 0 0 1 0

−1 1 4 0 0 1

Addiere das 2-fache von Zeile 1 zum 3-fachen von Zeile 2:

−3 4 4 1 0 0 0 1 −8 −2 −3 0

−1 1 4 0 0 1

Addiere das −1-fache von Zeile 1 zum 3-fachen von Zeile 3:

−3 4 4 1 0 0

0 1 −8 −2 −3 0

0 −1 8 −1 0 3

Addiere die Zeile 2 zur Zeile 3:

−3 4 4 1 0 0 0 1 −8 −2 −3 0

0 0 0 3 3 −3

Wir k¨onnen aufh¨oren, da die Matrix wegen der Nullzeile nicht invertierbar ist.

Aufgabe 6.6

(3)

−1 −2 2 1 0 0 2 4 −3 0 1 0

−1 −1 3 0 0 1

Addiere das 2-fache von Zeile 1 zur Zeile 2:

−1 −2 2 1 0 0

0 0 −1 −2 −1 0

−1 −1 3 0 0 1

Addiere das −1-fache von Zeile 1 zur Zeile 3:

−1 −2 2 1 0 0

0 0 −1 −2 −1 0

0 1 1 −1 0 1

Tausche die Zeilen 1 und 2.

−1 −2 2 1 0 0

0 1 1 −1 0 1

0 0 −1 −2 −1 0

Addiere die Zeile 3 zur Zeile 2:

−1 −2 2 1 0 0

0 −1 0 3 1 −1

0 0 −1 −2 −1 0

Addiere das 2-fache von Zeile 3 zur Zeile 1:

1 2 0 3 2 0

0 −1 0 3 1 −1

0 0 −1 −2 −1 0

Multipliziere Zeile 3 mit −1:

1 2 0 3 2 0

0 −1 0 3 1 −1

0 0 1 2 1 0

Addiere das 2-fache von Zeile 2 zur Zeile 1:

−1 0 0 −9 −4 2

0 −1 0 3 1 −1

0 0 1 2 1 0

Multipliziere Zeile 2 mit −1:

−1 0 0 −9 −4 2 0 1 0 −3 −1 1

0 0 1 2 1 0

Multipliziere Zeile 1 mit −1:

1 0 0 9 4 −2

0 1 0 −3 −1 1

0 0 1 2 1 0

(4)

Aufgabe 6.7

(a) Die ersten beiden Kolonnen enhalten die elementaren Umformungen an A bzw. I.

Die dritte Kolonne enth¨alt die jeweilige Elementarmatrix Ei.

3 1 1 0

−4 −1 0 1

Addiere das 4/3-fache von Zeile 1 zur Zeile 2:

3 1 1 0 1 0

0 1/3 4/3 1 4/3 1

Addiere das −3-fache von Zeile 2 zur Zeile 1:

3 0 −3 −3 1 −3

0 1/3 4/3 1 0 1

Multipliziere Zeile 2 mit 3:

3 0 3 3 1 0

0 1 4 3 0 3

Multipliziere Zeile 1 mit 1/3:

1 0 −1 −1 −1/3 0

0 1 4 3 0 1

Also ist

1/3 0

0 1

| {z }

E4

1 0 0 3

| {z }

E3

1 −3 0 1

| {z }

E2

1 0 4/3 1

| {z }

E1

3 1

−4 −1

| {z }

A

= 1 0

0 1

| {z }

I

(b) Multiplizieren wir obige Gleichung von rechts mit A−1, so erhalten wir:

1/3 0 0 1

| {z }

E4

1 0 0 3

| {z }

E3

1 −3 0 1

| {z }

E2

1 0 4/3 1

| {z }

E1

1 0 0 1

| {z }

A·A−1=I

=A−1

(c) Multiplizieren wir die Gleichung von (a) von rechts her sukzessive mit den Inversen E4−1, E3−1, . . . , so erhalten wir:

3 1

−4 −1

| {z }

A

=

1 0

−4/3 1

| {z }

E1−1

1 3 0 1

| {z }

E−12

1 0 0 1/3

| {z }

E3−1

3 0 0 1

| {z }

E4−1

Aufgabe 6.8

Vertauschen der Zeilen 1 und 2:

b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 d 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0

(5)

Addiere das −d/a-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile:

b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 f 0 g 0 0 0 h 0

Vertausche die dritte und vierte Zeile:

b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 0 f 0 g 0 0 0 e 0 0 0 0 h 0

Addiere das −h/e-fache von Zeile 4 zur Zeile 5:

b 0 c 0 0 0 a 0 0 0 0 0 f 0 g 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0

Also enth¨alt die reduzierte Zeilenstufenform von A eine Nullzeile. Aufgrund eines Satzes aus dem Skript ist dies gleichbedeutend damit, dass A nicht invertierbar ist.

invertierbar.

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