YIU: Euclidean Geometry !"
Proof. #$%%&'( !
1)*+ !
2),( &* -.( ')/( '0+( &1 !
3!
42 3.( 1&$, %&0*-' ),(
4&*454604 01 -.( 4&$*-(, 46&4780'( )*96(' &1 ,&-)-0&* 1,&/ !
1!
3-& !
1!
4)*+
1,&/ !
2!
3-& !
2!
4),( (:$)62 ;* -.0' 4)'(< -.( ,)-0&
!
4 !
1!
3 !
1" !
4 !
2!
3 !
2&1 -.( 4&/%6(= *$/>(,' 0' ,()6< ?)*+ 0*+((+ %&'0-0@(A2
B* -.( &-.(, .)*+< 01 !
1< !
2),( &* &%%&'0-( '0+(' &1 !
3!
4< -.( -8& )*96(' +0(, >5 < )*+ -.( 4,&'' ,)-0& 0' ) *(9)-0@( ,()6 *$/>(,2
!"! #$%&'()*'+$% $, '-. (./)01( 234/$%
!"!"2 51)&&6 1%107&+&
#$%%&'( ) ,(9$6), CD 9&* .)' 4(*-(, E C )*+ &*( @(,-(= ,(%,('(*-(+ >5 -.( 4&/%6(= *$/>(, C2 3.(* -.( ,(/)0*0*9 CF @(,-04(' ),( -.( ,&&-' &1 -.(
(:$)-0&*
#
17 C
# C G #
16H #
15H · · · H # H C G E$
;1 0' &*( &1 -.('( CF ,&&-'< -.(* -.('( CF ,&&-' ),( %,(40'(65 %
2% $ $ $ %
15%
162
?I&-( -.)-
17G C2A J(&/(-,04)665< 01 &
0% &
1),( -8& +0'-0*4- @(,-04(' &1 ) ,(9$6), CD 9&*< -.(* '$44(''0@(65 /),70*9 @(,-04(' &
2% &
3% $ $ $ % &
1680-.
&
0&
1G &
1&
2G $ $ $ G &
14&
15G &
15&
16%
8( &>-)0* )66 CD @(,-04('2 ;1 8( 8,0-( G 4&' H ' '0* < -.(* H
16G K 4&' 2 ;- 1&66&8' -.)- -.( ,(9$6), CD 9&* 4)* >( 4&*'-,$4-(+ 01 &*( 4)*
4&*'-,$4- -.( *$/>(, H
162 J)$'' &>'(,@(+ -.)- -.( CF 4&/%6(= *$/>(,'
k% ( G C% K% $ $ $ % CF< 4)* >( '(%),)-(+ 0*-& -8& L9,&$%'M &1 (09.-< ()4. 80-.
) '$/ 4&*'-,$4-0>6( $'0*9 &*65 ,$6(, )*+ 4&/%)''2 3.0' 0' +(40'0@(65 -.(
.),+('- '-(%2 N$- &*4( -.0' 0' +&*(< -8& /&,( )%%604)-0&*' &1 -.( ')/( 0+() (@(*-$)665 0'&6)-( H
16)' ) 4&*'-,$4-0>6( *$/>(,< -.(,(>5 4&/%6(-0*9 -.(
-)'7 &1 4&*'-,$4-0&*2 3.( 7(5 0+() 0*@&6@(' -.( @(,5 '0/%6( 1)4- -.)- 01 -.(
4&(40(*-' ) )*+ * &1 ) :$)+,)-04 (:$)-0&* #
2 )#H * G E ),( 4&*'-,$4-0>6(<
-.(* '& ),( 0-' ,&&-' #
1)*+ #
22 I&-( -.)- #
1H #
2G ) )*+ #
1#
2G *2 J)$'' &>'(,@(+ -.)-< /&+$6& CD< -.( ,'- CF %&8(,' &1 " 1&,/ ) %(,/$O -)-0&* &1 -.( *$/>(,' C< K< 2 2 2 < CFP
( E C K " Q R F D ! S CE CC CK C" CQ CR
"
kC " S CE C" R CR CC CF CQ ! D Q CK K F
YIU: Euclidean Geometry !Q
T(-
+
1G H
9H
13H
15H
16H
8H
4H
2% +
2G
3H
10H
5H
11H
14H
7H
12H
6$ I&-( -.)-
+
1H +
2G H
2H · · · H
16G C$
U&'- 4,$40)6< .&8(@(,< 0' -.( 1)4- -.)- -.( %,&+$4- +
1+
2+&(' not +(%(*+
&* -.( 4.&04( &1 2 V( /$6-0%65 -.('( +0,(4-65< >$- )+&%- ) 4&*@(*0(*-
>&&77((%0*9 >(6&82 N(6&8 ()4. %&8(,
k< 8( (*-(, ) *$/>(, , ?1,&/ C -&
! /()*0*9 -.)-
k4)* >( &>-)0*(+ >5 /$6-0%650*9 -.( ,-. -(,/ &1 +
1>5 )*
)%%,&%,0)-( -(,/ &1 +
2?$*'%(40(+ 0* -.( -)>6( >$- ()'5 -& +(-(,/0*(AP
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16" K K C Q C C C Q " C C C K C K
Q " " K R K " " R Q R K R F K "
F R Q Q F " D Q D R F Q F D F D
D F F R ! R ! ! ! D D ! ! ! D !
W,&/ -.0' 0- 0' 46(), -.)-
+
1+
2G Q? H
2H · · · H
16A G Q$
;- 1&66&8' -.)- +
1)*+ +
2),( -.( ,&&-' &1 -.( :$)+,)-04 (:$)-0&*
+
2H + Q G E%
)*+ ),( 4&*'-,$4-0>6(2 V( /)5 -)7(
+
1G C H CD
K % +
2G C
CD
K $
I&8 '(%),)-( -.( -(,/' &1 +
10*-& -8& L9,&$%'M &1 1&$,< *)/(65<
!
1G H
13H
16H
4% !
2G
9H
15H
8H
2$ X6(),65< !
1H !
2G +
12 Y6'&<
!
1!
2G ? H
13H
16H
4A?
9H
15H
8H
2A G H
2H · · · H
16G C$
;- 1&66&8' -.)- !
1)*+ !
2),( -.( ,&&-' &1 -.( :$)+,)-04 (:$)-0&*
!
2 +
1! C G E%
YIU: Euclidean Geometry !R
)*+ ),( 4&*'-,$4-0>6(< '0*4( +
10' 4&*'-,$4-0>6(2 #0/06),65< 01 8( 8,0-(
!
3G
3H
5H
14H
12% !
4G
10H
11H
7H
6%
8( *+ -.)- !
3H !
4G +
2< )*+ !
3!
4G H
2H · · · H
16G C< '& -.)- !
3)*+ !
4),( -.( ,&&-' &1 -.( :$)+,)-04 (:$)-0&*
!
2 +
2! C G E )*+ ),( )6'& 4&*'-,$4-0>6(2
W0*)665< 1$,-.(, '(%),)-0*9 -.( -(,/' &1 !
10*-& -8& %)0,'< >5 %$--0*9 -
1G H
16% -
2G
13H
4%
8( &>-)0*
-
1H -
2G !
1%
-
1-
2G ? H
16A?
13H
4A G
14H
5H
12H
3G !
3$
;- 1&66&8' -.)- -
1)*+ -
2),( -.( ,&&-' &1 -.( :$)+,)-04 (:$)-0&*
-
2 !
1- H !
3G E%
)*+ ),( 4&*'-,$4-0>6(< '0*4( !
1)*+ !
3),( 4&*'-,$4-0>6(2
!"!"8 9:;0+*+' *$%&'()*'+$% $, 1 (./)01( 234/$%
43& 4&*'-,$4- -8& @(,-04(' &1 -.( ,(9$6), CDO9&* 0*'4,0>(+ 0* ) 90@(* 40,46(
.?&A2
C2 B* -.( ,)+0$' ./ %(,%(*+04$6), -& .&< /),7 ) %&0*- 0 '$4. -.)- .0 G
14.&2
K2 U),7 ) %&0*- 1 &* -.( '(9/(*- .& '$4. -.)-
6.0 1 G
146.0 &2
"2 U),7 ) %&0*- 2 &* -.( +0)/(-(, -.,&$9. & '$4. -.)- . 0' >(-8((* 1 )*+ 2 )*+
610 2 G QR
2
Q2 V0-. &2 )' +0)/(-(,< 4&*'-,$4- ) 40,46( 0*-(,'(4-0*9 -.( ,)+0$' ./
)- 32
4
H.S.M.Coxeter,
Introduction to Geometry, 2nd ed. p.27.YIU: Euclidean Geometry !F
R2 U),7 -.( 0*-(,'(4-0&*' &1 -.( 40,46( 1?3A 80-. -.( +0)/(-(, &1 .?&A -.,&$9. &2 T)>(6 -.( &*( >(-8((* . )*+ & %&0*-' 4
4< )*+ -.( &-.(, )*+ 4
62
F2 X&*'-,$4- -.( %(,%(*+04$6), -.,&$9. 4
4)*+ 4
6-& 0*-(,'(4- -.( 40,46(
.?&A )- &
4)*+ &
62
5A6
A4
P4 P6
K
F E
J B
O A
3.(* &
4< &
6),( -8& @(,-04(' &1 ) ,(9$6), CDO9&* 0*'4,0>(+ 0* .?&A2 3.(
%&659&* 4)* >( 4&/%6(-(+ >5 '$44(''0@(65 6)50*9 & ),4' (:$)6 -& &
4&
6<
6()+0*9 -& &
8< &
10< 2 2 2 &
16< &
1G &< &
3< &
5< 2 2 2 < &
15< &
17< &
22
5