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Geometrie
Würfel und Quader:
Volumen und Oberflächeninhalt
Name:
Lösungen
BCMasseinheiten, Übersicht
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Repetitorium Masseinheiten
6
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v
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Oberflächeninhalt eines Quaders
Das
Netz
eines Quaders entsteht durch die Abwicklung seiner Oberflächen auf eine Ebene.Der
Oberflächeninhalt
eines Quaders entspricht demFlächeninhalt
seines Netzes.Oberfläche eines Würfels
Die Oberfläche eines Würfels bilden
sechs gleich grosse Quadrate
mit der Kantenlänge k.Darum ist die Formel für die Berechnung der Oberfläche bedeutend einfacher:
Ausblick: Aus der Oberfläche eines Würfels seine Kante berechnen
Hier seht ihr, für was ihr das Wurzelziehen brauchen könnt. Das lernt ihr aber später!
Aus dem Oberflächeninhalt eines Würfels lässt sich auch die Kantenlänge bestimmen:
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Volumenberechnung eines Quaders
Volumenberechnung eines Würfels
Da bei einem Würfel Länge, Breite und Höhe dasselbe Mass aufweisen, gilt folgende Formel:
Ausblick: Berechnung der Würfelkante aus dem Würfelvolumen
Hier seht ihr ein weiteres Beispiel, für was ihr das Wurzelziehen brauchen könnt.
Das lernt ihr aber auch später!
Bei der Berechnung der Würfelkante aus dem Würfelvolumen wird die Zahl gesucht, die dreimal mit sich selbst multipliziert, den Zahlenwert des Würfelvolumens ergibt.
Diese Zahl wird durch das Ziehen der dritten Wurzel, der Kubikwurzel, ermittelt.
Beispiel:Ein Würfel hat ein Volumen von 1‘000 m3. Wie gross ist seine Kante?
𝐕 = 𝟏′𝟎𝟎𝟎𝐦𝟑→ 𝐤 = √𝟏′𝟎𝟎𝟎 𝐦𝟑= 𝟏𝟎 𝐦
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Rauminhalte bestimmen
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Rauminhalte berechnen
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Rauminhalte umrechnen
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Sachaufgaben
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Der tropfende Wasserhahn
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Wasserkosten in der Schweiz pro m
3https://www.blick.ch/news/wirtschaft/beratung/teures-nass-wasser-kostet-aber-nicht-ueberall-gleich-viel- id3990734.html
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Diplom
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Oberflächeninhalt von Quadern berechnen
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Volumen und Oberfläche eines Quaders, Aufgaben
1. Berechne Volumen und Oberfläche eines Quaders mit den gegebenen Kantenlängen.
a b c d e f
Länge l 6 cm 4 dm 2 cm 8 cm 40 mm 2 m 15 cm
Breite b 3 cm 8 dm 30 mm 2.5 dm 7 dm 12 dm
Höhe h 5 cm 10 dm 5 cm 50 mm 5 cm 1 m 2 dm
Volumen V 90 cm3 320 dm3 30 cm3 1‘000 cm3 1‘400 cm3 3‘096 cm3 Oberfläche S 126 cm2 304 dm2 62 cm2 730 cm2 1‘300 cm2 1‘320 dm2
2. Berechne die fehlenden Grössen des Quaders.
a b c d
Länge l 12 cm 8 dm 0.5 cm 10 mm
Breite b 2 cm 20 cm 4 dm 20 mm
Höhe h 3 cm 5 dm 1‘000 dm 10 mm
Volumen V 72 cm3 80 dm3 2 hl 2‘000 mm3 Oberfläche S 132 cm2 132 dm2 8‘100.4 dm2 1‘000 mm2
3.
a) Gib die Seitenlängen von mindestens fünf verschiedenen Quadern an, die alle ein Volumen von 120 m3 haben.
Länge
1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 3 m 2 m
Breite
1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 4 m 6 m
Höhe
120 m 60 m 40 m 30 m 12 m 10 m 10 m
Volumen 120 m3 120 m3 120 m3 120 m3 120 m3 120 m3 120 m3
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b) Welches Volumen hat ein Würfel mit einer Oberfläche von 600 m2?
c) Welche Oberfläche hat ein Würfel, dessen Volumen 27 dm3 beträgt?
4. Familie Fröhlich hat ein Schwimmbad im Garten errichtet.
Es ist 10 m lang, 3 m breit und 2 m tief.
a. Erstelle eine Skizze vom Schwimmbad.
b. Die Innenwände des Beckens müssen gestrichen werden. Wie viel Farbe wird benötigt, wenn ein Kilogramm für 2 m2 ausreicht?
c. Wie viele Liter Wasser muss man in das Becken füllen, wenn es bis 30 cm unterhalb der Oberkante gefüllt werden soll?
10 m
3 m
2 m
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5. Berechne Oberfläche und Volumen der beiden Körper.
Den ersten Körper zerlegst du für die Volumenbestimmung am einfachsten in den hinteren hohen Quader und zwei angelegte niedrige Quader. Das Volumen des zweiten Körpers berechnest du
besonders leicht, wenn du zunächst das Volumen ohne Aussparung errechnest und dann das Volumen der Aussparung davon abziehst.
Bei den Oberflächen sind beim ersten Körper neun Flächen sichtbar. Sie kommen jedoch alle nochmal vor: Die waagrechten Flächen beim nicht sichtbaren Boden, die rechten Seitenflächen auf der linken Seite und die voerderen Seitenflächen auf der Rückseite des Körpers. Daher muss der Flächeninhalt der sichtbaren Flächen für die gesamte Oberfläche verdoppelt werden.
Die Oberfläche des zweiten Körpers setzt sich aus insgesamt zehn Flächen zusammen, von denen ebenfalls einige doppelt vorkommen.
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Arbeitsblatt zum Themenbuch
Aufgabe 2 b: Faltschachtel
Aufgabe
Berechne das Volumen der Faltschachtel:
V = l * b * h = eigene Lösungen
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Themenbuch
Seiten 90 bis 93 Aufgaben 1 bis 7
Gemeinsames Bearbeiten im Unterricht.
Aufgaben
Löse im Arbeitsheft die folgenden Aufgaben:
Seite 210 bis 217 A 2.1
Eigene Lösungen!
A 2.2
A 2.3
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A 2.4 (Zusätzliches Übungsmaterial findest du auf der Webseite des LMVZ.)
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A 2.5
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A 3.1 (Zusätzliches Übungsmaterial findest du auf der Webseite des LMVZ.)
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A 5.1
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A 5.2
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A 6.1 (Zusätzliches Übungsmaterial findest du auf der Webseite des LMVZ.)
A 6.2
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A 7.1 (Zusätzliches Übungsmaterial findest du auf der Webseite des LMVZ.)
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A 7.2
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A 8.1
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Begleitheft
Studiere die Seite 110 im Begleitheft.
Lernziele
• Volumen von Quader und Würfel berechnen.
• Verschiedene Methoden zur Volumenberechnung von Körpern kennen, die aus Quadern aufgebaut sind.
• Oberflächeninhalt von Quader und Würfel als Flächeninhalt des Netzes erkennen.
• Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen.
