Ober die Enden diskreter R iume und Gruppen
V o n H A N S F R E U D E I ~ T H A L , A m s t e r d a m
In meiner Dissertation 1) habe ich offene R/~ume durch ,,Endpunkte"
kompaktifiziert; neuerdings habe ich 2) die Theorie der Enden bis an die Grenzen -- wie ich meinte -- ihrer Gfiltigkeit ausgedehnt. Der Sinn der Unternehmungen war es, unter den Kompaktifizierungen eines nicht kom- pakten Raumes eine zu bevorzugen ; die Forderungen, die ich stellte, lau- teten:
Das ,,Unendlichferne" (die zum R a u m e hinzugefiigte Menge) soil m6glichst dtinn (nulldimensional) sein.
Das Unendlichferne sell m6glichst weitgehend aufgespalten sein.
Ich habe dies Kompaktifizierungsproblem in meiner zweiten zitierten Arbeit durch die Methode der Endpunkte gel6st fiir alle
semikompakten ~) separablen R/~ume
mit kompaktem Quasikomponentenraum4),
(a) (b) (c)
und ich habe dort auch gezeigt, dab man keine dieser Bedingungen ab- sehw/~ehen kann. Diese Tatsache hat ihre endgiiltige Formulierung dureh g. de Groot erfahren, der in seiner Dissertation 5) definierte und bewies :
R* heist ideale Kompaktifikation des separablen R, wenn die Menge R * \ R der ,,neuen" P u n k t e nulldimensional und jede andere Kompaktifikation R I stetiges Bild der Kompaktifikation R* ist (d. h. jede topologische Abbildung yon R a u f sich selbst zu einer stetigen Abbildung von R* auf R I erweitert werden kann).
1) ( ~ b e r d i e E n d e n t o p o l o g i s c h e r R ~ u m e u n d G r u p p e n . M a t h . Z e i t s c h r . 33 (1931), 6 9 2 - - 7 1 3 .
2) N e u a u f b a u d e r E n d e n t h e o r i e . 1941. V e r m u t l i c h in d e n A n n a l s o f M a t h e m a t i c s e r s c h l e n e n .
8) d . h . j e d e r P u n k t b e s i t z t e i n e U m g e b u n g m i t k o m p a k t e r B e r a n d u n g . - - Dieser Begriff in d e r E n d e n t h e o r i e r i i h r t y o n L. Zippin h e r : O n s e m i c o m p a e t s p a c e s . A m e r . J. o f M a t h . 57 (1935), 3 2 7 - - 3 4 1 .
4) d . h . j e d e a b n e h m e n d e F o l g e n i c h t l e e r e r oftener a b g e s c h l o s s e n e r T e i l m e n g e n y o n R sell e i n e n n i e h t l e e r e n D u r c h s c h n i t t besitzen.
) T o p o 1 o g i s c h e S t u d i ~ n. C o m p a c t i f i c a t i e , v o o r t z e t t i n g v a n a f b e e l d l n g e n e n s a m e n - h a n g . 1942.
1 Commentarii Mathematici Helvetici 1
R ist d a n n u n d n u r d a n n ideal k o m p a k t i f i z i e r b a r , w e n n es obige drei E i g e n s c h a f t e n (a), (b), (c) besitzt.
E s w a r jedenfaUs fiber j e d e m Zweifel e r h a b e n , d a b e t w a der R a u m , d e r aus abz~hlbar viel isolierten P u n k t e n b e s t e h t , keine ausgezeichnete u n d gleichzeitig ,,anstgndige" K o m p a k t i f i z i e r u n g besitzt, die Maximali- t ~ t s f o r d e r u n g e n , wie wir sie gestellt h a b e n , erfiillt.
H i e r h a t n u n eine A r b e i t y o n H . H o p f s) ganz neue G e s i c h t s p u n k t e aufgezeigt u n d mich zu einer E n d e n t h e o r i e abzghlbarer, diskreter R g u m e veranlaBt. Allerdings muB m a n das W o r t ,,diskret" n i c h t zu w6rtlich auffassen. E s h a n d e l t sich i m m e r h i n u m R g u m e m i t einer n i c h t t r i v i a l e n Topologie. W i t fordern, d a b in R ein n i c h t t r i v i a l e r , reflexiver Begriff der
N a e h b a r s c h a f t zweier P u n k t e 7)
definiert ist (d. h. je zwei P u n k t e sind N a e h b a r n oder sind es nicht), wobei j e d e r P u n k t
endlich viel N a c h b a r n
besitzt. U n t e r der Hfille eines P u n k t e s in e i n e m solchen R a u m v e r s t e h e n wir die Menge seiner N a c h b a r n u n d u n t e r d e r (k + 1)-ten Hfille die Hfille seiner k - t e n Hiille. Zwei solche Topologien heiBen ~quivalent, w e n n ein k e x i s t i e r t , so daB
~ l ( a ) c . ~ ( a ) u n d .~ll(a ) c .~k(a) m i t ~ ( a ) als n - t e Hfille y o n a in der einen u n d
~rn(a ) . . . a . . . . a n d e r e n Topologie.
I n d i s k r e t e n R ~ u m e n m i t N a c h b a r s c h a f t s b e g r i f f k a n n m a n n u n in der T a t eine E n d e n t h e o r i e -- ganz a n a l o g wie frfiher - - e n t w i c k e l n ; gqui- v a l e n t e R g u m e liefern d a b e i d e n s e l b e n E n d e n r a u m .
E i n anschauliches Modell eines d i s k r e t e n R a u m e s R m i t N a c h b a r - schaftsbegriff ist ein
P o l y g o n .
6) E n d e n offener R~ume und unendliche d i s k o n t i n u i e r l i c h e Gruppen.
Comment. Math. Holvet. 16 (1943), 81--100.
~) Ein derartiger topologischer Grundbegriff steht wohl in der Literatur zuerst bei B. Lin]ield, Espaces diserets p a r a m 6 t r i q u e s et non-param6triques. Th6se Strasbourg 1925. Siehe auch: H. Frgchet, Fund. Math. 8 (1926), 151--159, we die Begriffe Linfields auf ~ltere topologlsche Begriffe zurfickgeffihrt werden. - - Von den tiefergehenden Untersuchungen Alexandroffs u.a. fiber dlskrete R~ume werden wir hier nlchts brauchen.
Man identifiziere n~mlich die Punkte von R mit den Ecken des Poly- gons P und denke sieh je zwei benaehbarte Punkte durch eine Kante verbunden. Allerdings gehSrt dabei zu Kquivalenten R nicht notwendig dasselbe Polygon. Aber die Endentheorie yon R fKllt mit der von P (ira alten Sinne) zusammen.
Mein Ausgangspunkt waren ursprfinglich die Enden der topologischen Gruppen. Das verscharfte Resultat meiner zweiten zitierten Arbeit lautet:
Jede separable, semikompakte, zusammenhangende Gruppe besitzt hSehstens zwei Endpunkte (ist also im kleinen kompakt).
Auch fiber die Enden der Wirkungsraume transitiver topologiseher Gruppen habe ich in meiner Dissertation etwas ausgesagt, aber H. Hopf hat (1. e.) ffir ganz andersartige R~ume scharfe Aussagen fiber die Anzahl der Endpunkte machen kSnnen, n~mlieh ffir offene R~ume, in denen eine diskontinuierliehe Menge topologischer Selbstabbildungenmitkompaktem Fundamentalbereich agiert. Er bewies, da$ soleh ein Raum
einen, zwei oder
eine perfekte Menge yon Endpunkten besitztS).
Es zeigte sich bei Hopf, da$ ffir den Fall einer Gruppe G topologiseher Selbstabbildungen die Endenzahl nicht yon der speziellen Darstellung
s) E i n e n E n d p u n k t h a t die E b e n e ( m i t d e r D e c k t r a n s f o r m a t i o n s g r u p p e d e s T o r u s ) ; zwei E n d p u n k t e h a t die G e r a d e ( m i t d e r D e c k t r a n s f o r m a t i o n s g r u p p e d e s Kreises). F i i r d e n F a l l u n e n d l i c h vieler E n d p u n k t e g e b e n w i r a n Stelle d e s H o p f s c h e n B e i s p i e l s eins a u s d e r T h e o r i e der a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n o h n e G r e n z k r e i s : I n d e r f u n k t i o n e n - t h e o r e t i s c h e n E b e n e s e i e n drei K r e i s e K1, K 2 , K s g e g e b e n , v o n d e n e n je zwei in d e m s e l b e n v o n d e n zwei G e b i e t e n liegen, die d e r d r i t t e b e s t i m m t . Die drei K r e i s e b e r a n d e n z u s a m m e n ein d r e i f a c h z u s a m m e n h i ~ n g e n d e s Gebiet A1. M a n spiegele A 1 a n s e i n e n drei R ~ n d e r n u n d v e r e i n i g e die drei Spiegetbilder - - so e n t s t e h t A 2. Die V e r e i n i g u n g A 1 ~ A s spiegele m a n a n i h r e n s e c h s R a n d k r e i s e n , v e r e i n i g e die Spiegelbilder u n d n e n n e d a s R e s u l t a t A~.
So f a h r e m a n fort. Die V e r e i n i g u n g A aller A n erfiillt die g a n z e E b e n e bis a u f e i n e null- d i m e n s i o n a l e p e r f e k t e M e n g e (die M e n g e d e r E n d p u n k t e y o n A). I n A h e r r s c h t die G r u p p e g e b r o c h e n l i n e a r e r A b b i l d u n g e n , die y o n d e n S p i e g e l u n g e n a n K 1 , K s , K s e r z e u g t w i r d ; A 1 ist e i n e r i h r e r F u n d a m e n t a l b e r e i c h e . Z u d e r G r u p p e g e h S r e n a u t o m o r p h e F u n k t i o n e n , d e r e n S i n g u l a r i t i ~ t e n m e n g e m i t d e r E n d p u n k t m e n g e v o n A zusammenf/~llt. - - M a n k a n n dieses S c h o t t k y s c h e Beispiel a u c h d u r e h e i n e n reguli~ren B a u m v o m G r a d e 3 e r s e t z e n (bei H o p f ist d a s e i n f a c h s t e Beispiel ein regul~rer B a u m v o m G r a d e 4), d. h. d u r e h ein P o l y g o n o h n e g e s c h l o s s e n e s T e i l p o l y g o n u n d m i t drei S t r e c k e n bei j e d e r E c k e . Heil3t eine E c k e 0 u n d s i n d die b e n a c h b a r t e n E c k e n 1, 2, 3, so n e n n e m a n $1, S~, S s gewisse Spiege- l u n g e n ( A u t o m o r p h i s m e n des B a u m e s v o n d e r Periode 2) die bzw. 0 m i t l , 2, 3 v e r t a u - schen. Die S~ e r z e u g e n die g e w i i n s c h t e G r u p p e .
der Gruppe abh~ngt, sondern eine Invariante der abstrakten Gruppe ist, und dab man allgemein yon den Enden einer abstrakten Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden sprechen kann. Auf Grund dieser Ergebnisse formulierte H o p f folgende Probleme:
1. eine direkte Endentheorie der abstrakten Gruppen mit end- lich viel Erzeugenden zu entwickeln,
2. algebraische Kriterien daffir anzugeben, dab eine Gruppe 1, 2 oder unendlich viel Endpunkte hat.
Das erste Problem (das bei H o p f nicht in Angriff genommen wird) werden wir vollst~ndig 16sen. Das zweite, das ffir den Fall zweier End- punkte bei H o p f vollst~ndig und befriedigend beantwortet wird, werden wir zwar nieht 16sen, aber doch einigermal3en fSrdern; gleichzeitig werden wir einige feinere Aussagen fiber die Struktur der Endenmenge diskreter Gruppen machen kSnnen.
Der Zusammenhang zwischen diskreten R~umen und diskreten Grup- pen wird nahegelegt dutch die Dehnschen Gruppenbilder. Sei
U = ( u l . . . u , )
eine Teilmenge der Gruppe G, derart dab 1. U die Gruppe G erzeugt, 2. die Identit~t zu U gehSrt,
3. mit irgendeinem Element auch das Inverse zu U gehSrt.
Wit machen G zu einem diskreten R a u m dutch die Festsetzung :
a und b sind benachbart, wenn b ~ - a u ffir ein geeignetes u
a u s U .
Nun kann man auf die Gruppe unsere Endentheorie fiir diskrete R~ume anwenden. Der Nachbarschaftsbegriff h~ngt zwar yon der -- willkiir- lichen -- Wahl des erzeugenden Systems U ab; man sieht aber ohne weiteres, dab man mit einem andern erzeugenden System einfach zu einem ~quivalenten R a u m kommt, also auch zu einer ~quivalenten Endentheorie. Die Abh~ngigkeit vom erzeugenden System ist also nur scheinbar.
In dieser Topologie ist die Gruppe G yon selber zusammenh~ngend, und man kann nun ungef~hr genau so, wie H o p f es t u t (oder wie es bei
dem entsprechenden Satz in meiner Dissertation geschehen ist), beweisen, dab G endlich ist oder 1,2 oder unendlieh viel E n d p u n k t e besitzt. DaB es nieht -- wie in meiner Dissertation bei 1 oder 2 E n d p u n k t e n bleibt, h a t seinen tieferen Grund darin, dab im diskreten Fall die Linksmultiplika- tionen
X ! = a x
die Endenmenge nicht mehr punktweise festhalten. Der ,,Abstand"
zwisehen x und ax b r a u c h t n~mlieh (bei festem a und variablem x) nieht mehr besehrankt zu bleiben, und je ,,freier und n i c h t k o m m u t a t i v e r " die Gruppe ist, desto wahrseheinlieher ist es, dab die E n d p u n k t e in der T a t nicht festbleiben und die Endenmenge unendlich wird.
Wie man das rechte MaB fiir die N i c h t k o m m u t a t i v i t g t genauer formu- lieren muB -- diese Frage kSnnen wir, wie gesagt, nur ann~hernd beant- worten; wit verweisen dafiir auf die Arbeit selbst.
Bezeichnungen :
~, U --- Vereinigung,
~, n = Durehsehnitt, a e M \ N bedeutet: a e M , a T N ,
O is t die leere bIenge.
1. Diskrete Riiume.
1.1. R heiBt ein Nachbarscha]tsraum, wenn fiir je zwei P u n k t e von R definiert ist, ob sie benachbart sind oder nieht, und zwar a u f reflexive und symmetrische Weise: a ist N a e h b a r yon a; ist a N a e h b a r von b, so ist b N a c h b a r yon a.
1.2. Die Y[enge der N a c h b a r n yon a heiBt seine H~lle ~ (a). U n t e r der H~lle einer Menge verstehen wir die Vereinigung der Hiillen ihrer Elemente.
1.3. Franse einer Menge M heiBt die Menge (M) = .~ ( M ) ~ M
der Elemente der Hfille yon M , die nicht zu M geh5ren.
Wir definieren
~~ : M ,
~k+l(M) --- ~ ( ~ k ( M ) ) .
~k(M) heil~t die k-te Hiille yon M .
~(k)(M) _~ ~ k ( i ) \ M heiflt die k-re Franse yon M .
1.4. Man hat und
~ ( U M . ) = U ~ ( M , ) 1.4.1
n n
.~k(M) : t_l ~ k ( a ) , 1 . 4 . 2
a~.M
~(k)(UMn) C t 3 ~ ( k ) ( M , ) . 1 . 4 . 3 . 1.5. Wir ordnen dem R a u m R ein Polygon R zu: jedem Element yon R entspricht eine Ecke von R ; benachbarten Elementen entspreehen Ecken, die dutch eine K a n t e verbunden sind.
1.6. R besitze yon n u n an die Eigenschaft (K) ~ (a) ist ffir jedes a endlieh, und die Eigenschaft
(S) R ist abzEhlbar.
Man sieht ohne weiteres, dab diese Eigenschaften b e i / ~ die
und
nach sieh ziehen.
K o m p a k t h e i t im Kleinen Separabilit~t
1.7. Die Gesamtheit aller Mengen M mit (M) endlich heifle ~ . Wegen (K) ist jedes endliehe M in ~ .
1.8. Mit M ist auch ~ (M) ~ ~ , denn nach 1.4.1 ist
~ ( ~ ( M ) ) ~ ~ ( M ) ~ ~ ( ~ ( M ) \ M ) = ~ ( M ) ~ ~ ( ~ ( M ) ) ,
trod hier ist der erste Summand nach Voraussetzung und der zweite nach 1.7 endlich.
1.9. Ist M c ~ , so ist auch ~(~(M) endlich. Denn k
~(~)(M) ---- ~ k ( M ) \ M = U ( ~ - ~ ( M ) \ ~ - Z ( M ) ) = 0 ~ - ~ ( M ) ,
K = I K = I
und hier ist nach 1.8 jeder Summand endlich.
1.10. Wir nennen zwei Nachbarschaftsbegriffe (in derselben ]~[enge)
~iquivalent9), wenn ffir die zugeh6rigen Hfillenbegriffe ~ und ~ f gilt:
Es gibt ein k, so dab ffir alle a
~'(a), c ~k(a) und ~ (a) c ~r erfiillt ist.
1.11. Fiir gquivalente Nachbarschaftsbegriffe sind ~ ( M ) und ~I(M) nur gleichzeitig endlich oder unendlich; die Gesamtheit ~i~ ist ftir ~qui- valente Nachbarschaftsbegriffe also dieselbe.
Diese Behauptung folgt unmittelbar aus 1.9.
2. Die Endpunkte.
2.1. Eine Teilmenge e von ~i~ heiBt E n d p u n k t von R, wenn
1. Q r fiir alle Q e e ,
2. mit QI, Q~ c e auch Qz ~ Q~ E e (also ~ o) , 3 . R \ M ~ e ffir jedes endliche M ,
4. e maximal ist.
Die Menge aller E n d p u n k t e yon R heil3t ~ .
2.2. Start Q e r sagen wir auch e ~ Q. Wit definieren:
{Q} ist die Vereinigung aller a ~ Q und aller e ~ Q .
Wir nennen {Q} auch Umgebung jedes in ihm enthaltenen Endpunktes.
Umgebung eines a e R heist die einpunktige Menge a selbst.
Durch diese Festsetzungen wird R ~ ~ ~ R* zu einem Umgebungs- raum.
o) M a n n e n n t das vielleicht besser: gleichm~flig ~ q u i v a l e n t .
7
2.3. I n R* gilt das T r e n n u n g s a x i o m : zwei P u n k t e lassen sich durch U m g e b u n g e n voneinander trennen. U n d zwar ist es trivial fiir zwei P u n k t e aus R , u n d es folgt aus 2 . 1 . 3 ftir einen P u n k t aus R u n d den a n d e r e n aus ~ . Fiir zwei E n d p u n k t e e :/= e' beweist m a n es so: Aus e =/= e ~ folgt die Existenz eines Q ~ r ~ e ' . Also m u g ein Q' c e ' m i t Q ~, Q ' = 0 existieren, da m a n Q sonst noch zu e ~ hinzuftigen k S n n t e (im Widerspruch zu 2 . 1 . 4 ) . Aus Q ~, Q' = 0 folgt {Q} ~, {Q'} = o , u n d zwar ist das trivial hinsichtlich der P u n k t e von R u n d folgt ftir E n d p u n k t e daraus, dab e"c{Q}~,{Q'} Q ~ e" u n d Q ' ~ e" nach s i c h z 6 g e , was nach 2 . 1 . 2 u n m 6 g h c h ist. {Q} u n d {Q'} sind also die gewiinsehten zu- einander f r e m d e n U m g e b u n g e n y o n e u n d e ' .
2.4. Wir notieren noeh die soeben bewiesene T a t s a c h e : Mit Q1 ~ Q~ ist auch {Q1} ~" {Q2} n i c h t leer.
2.5. Die B e r a n d u n g jedes {Q} ist leer. D e n n wi~re e R a n d p u n k t y o n Q, so w/ire {Q} ~ {Q'} # 0 fiir jede U m g e b u n g {Q'} y o n e, also Q ~, Q' # 0 im Widerspruch zu 2 . 1 . 4 .
2.6. R* ist regul/~r u n d separabel. D e n n aus 2.5 folgt das Trennungs- axiom in seiner sch/~rfsten F o r m .
3. Zusammenhang.
3.1. I s t ~ (M) ~,/V # O, so ist auch ~ (N) ~, M =/: O. (Klar.) Spe- ziell:
I s t ~ ( N ) - ~ N , s o i s t . ~ ( R \ N ) = R \ N . 3.2. N abgeschlossen -- b e d e u t e t : ~ (N) = 0 9 Aus 3.1 folgt:
Mit N ist auch R \ N abgesehlossen. 3 . 2 . 1 . Aus 1 . 4 . 3 folgt:
Die Vereinigung abgesehlossener Mengen ist abgeschlossen.
3 . 2 . 2 . U n d hieraus dureh ~ b e r g a n g z u m K o m p l e m e n t :
Der D u r e h s e h n i t t abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
3.2.3.
3.3. Durch Relativierung entsteht die Definition:
N c M abgeschlossen rel M -- bedeute:
F (N) c F (M). 3.3.1.
Oder F (N) ~ M = 0 9 3.3.2.
Die S~tze aus 3 . 1 - 2 gelten auch fiir die relative Abgeschlossenheit.
3.4. Minimale rel M abgesehlossene Teilmvngen yon M heil3en Kom- ponenten. Mengen mit nur einer Komponente hei~en zusammenh~ngend.
3.5. Jede tel M abgeschlossene Menge zerf~llt in disjunkte Kompo- nenten yon M . Denn nach 3 . 2 . 3 ist der Durchschnitt aller das Element a enthaltenden (rel M) abgeschlossenen Mengen abgeschlossen (rel M), also minimal abgeschlossen, also eine Komponente. Ebenfalls nach 3 . 2 . 3 kSnnen zwei Komponenten nur einen leeren Durchschnitt besitzen.
3.6. Ist P c N c M und P abgesehlossen rel N , N abgesehlossen r e l M , so ist P abgeschlossen tel M . Denn F ( P ) c F(1V) c F(M).
3.7. I s t N a b g e s c h l o s s e n r e l M und N c M 0 c M , s o i s t N a b g e - schlossen r e l M . Denn F ( N ) ~ M - - ~ O , also ( F N ) ~ M o = O .
3.8. Die Komponenten yon M sind zusammenh~ngend. Denn nach 3.6 w~re eine rel M abgeschlossene Teilmenge einer Komponente yon M auch in M abgeschlossen, im Widerspruch zur Minimalit~t der Kom- ponenten.
3.9. Die Komponenten yon M sind maximale zusammenh~ngende Teilmengen yon M . Denn nach 3.7 ist jede Komponente N yon M such Komponente jedes M o m i t N c M 0 c M , so dal3 keine Menge, die N echt enthalt, noch zusammenh~ngend sein kann.
3.10. K e t t e heil~t eine endliche Elementfolge, wenn jedes ihrer Ele- mente dem folgenden benachbart ist.
Je zwei benachbarte Elemente yon M gehSren zur selben Komponente yon M . Also such je zwei Elemente von M , die sich in M dureh eine Kette verbinden lessen. Andererseits ist die Menge der Elemente, die sich in M mit einem Element durch eine K e t t e verbinden lessen, abge- sehlossen, also nach 3.5 aus Komponenten yon M zusammengesetzt.
Hieraus folgt :
Komponenten yon M sind die Teflmengen der Elemente, die sich mit einem festen Element dutch eine Kette verbinden lassen.
3.11. Von nun an besitze R immer die Eigenschaft:
(Z) R ist zusammenh/~ngend.
3.12. Jede Komponente yon M besitzt P u n k t e in ~ ( M ) . Sonst hiitte sie ni~mlich wegen 3 . 3 . 1 eine leere Franse, wi~re also eine Komponente yon R, das doch zusammenhangend sein soil.
3.13. Jedes Q ~ f2 besitzt nur endlich viel Komponenten. Denn nach 3.12 gibt es in der Franse ~ (K) jeder Komponente K yon Q einen P u n k t yon ~ (Q). Also gibt es in jeder Komponente K yon Q ein Element yon
~ ( ~ ( Q ) ) . Q besitzt also hSchstens soviel Komponenten wie ~ ( ~ ( Q ) ) Elemente. Naeh 1.9 sind das endlich viele.
3.14. Fiir jedes a ist U ~n(a) = R. (Folgt aus 3.10--11.)
fl
3.15. (Z) bleibt gtiltig beim ~ b e r g a n g zu einem i~quivalenten Nach- barschaftsbegriff. (Folgt aus 3.14.)
4. Die Kompaktheit von R*.
4.1. a sei fest gew/~hlt. Die unendlichen Komponenten yon
R\~k(a)
hearten wit
P(1 k) . . . P(~).
Da ihre Fransen in .~k(a) liegen, gehSren sie zu ~i~.
4.2. Sei r ein E n d p u n k t . Zu jedem k gibt es ein P(~) r e, u n d diese bilden eine absteigende Folge.
Denn wegen 2 . 1 . 3 ist
R\Hk(a)E
e. Wiire ftir ein gewisses k kein p(k) ~k ~ e, so g~be es (fiir dieses feste k) zu jedem a =- 1 . . . . , s k e i n Qo e e mit/ ~ 2 ) ~ Q , : o . Wir setzen
Q = n Q , ( # o)
und haben o=1
P 2 ) ~" Q = o ,
also s
u P ~ ) ~ Q = o .
f f = l
Q h/itte also mit
R\.~k(a)
einen endlichen, mit einem geeigneten R \ ~ l (a) naeh 3.14 sogar einen leeren Durchschnitt, im Widersprueh zu 2.1.3.Daher muB es zu jedem k das gewiinsehte P(~) ~ e geben. DaB diese bei waehsendem k abnehmen, ist klar.
4.3. Zu jeder absteigenden Folge P(~k ) gibt es genau ein e, das sie enthi~lt.
DaB es solch ein e gibt, ist klar: man braucht die Folge der P(~) nur zu einer maximalen Menge mit den Eigenschaften 2 . 1 . 1 --3 zu ergi~nzen.
G~be es zwei solche Endpunkte, r und r so giibe es naeh 2.3 Q ~ e, QIEer ' Q ~ Q,_~ o . Man w~hle dann k so groB, dab ~(Q) ~ ~(Qr) c ~k(a) liegt. Die Mengen
Qo = Q \ ~ k ( a ) , QI o ~_ Q ' \ ~ k ( a )
geh6ren nach 2 . 1 . 2 - - 3 immer noch zu e resp. e r, und man hat Qo ~ Q~ = o .
Nach 3.5 setzen sieh die in R \ ~ k ( a ) abgeschlossenen Mengen Qo und QIo aus Komponenten yon R\.~k(a) zusammen, also aus Mengen P(~k ).
Wegen 2 . 1 . 2 hat man
P~k ~ Q 0 ~ O ' also P~k c Q 0 P ~ ~ Q1o r o , ,, P~k c Qo,
im Widerspruch zum Vorigen. -- Es kann also nur einen E n d p u n k t zu der Folge P(~ geben, und damit ist die Behauptung bewiesen.
4.4. Nach 4.2 und 4.3 kann man die E n d p u n k t e einfach mit Hflfe der abs~eigenden Folgen der Mengen P erzeugen. Hieraus folgt, dab R*
ein K o m p a k t u m ist. 2.5 lehrt weiter, dab R* nulldimensional ist. Wir fassen das Ergebnis folgendermaBen zusammen:
Satz 1: Jeder Nachbarschaftsraum R, der (K), (S) und (Z) gentigt, l~Bt sich durch seine E n d p u n k t e zu einem null- dimensionalen K o m p a k t u m R* abschlieBen, dessen einzige H~u- fungspunkte die Endpunkte sind. Jeder E n d p u n k t besitzt beliebig kleine Umgebungen, die im Sinne des Nachbarschafts- begriffes zusammenhi~ngend sind und eine endliche Franse haben.
~quivalente R liefern dasselbe R*.
(Die letzte Bemerkung folgt aus 1.11.)
4.5. Die in 1.5 definierte Zuordnung eines Polygons zu einem Naeh- barsehaftsraum R verallgemeinern wir folgendermaBen:
11
sei ein im kleinen kompakter, im kleinen zusammenh~ngender, zusammenh~ngender R a u m mit 2. Abz~hlbarkeitsaxiom. ~ sei ein System
y o n
k o m p a k t e n Gebieten V aus R mit den Eigenschaften
(K') Jedes V mit V aus ~ hat mit fast allen Gebieten aus !/) einen leeren Durchschnitt.
(S') ~ ist abzi~hlbar.
(Zr) Zu je zwei V E ~ gibt es eine K e t t e yon V E ~ , in der jedes V mit dem folgenden einen nichtleeren Durehschnitt hat.
Wegen der Existenz eines Systems ~ unter unsern Voraussetzungen siehel), Hilfssatz 2, wo (K') und (S') gezeigt werden. (Z') ergibt sich aus dem Zusammenhang yon R : Die Vereinigung der V, die sieh mit einem festen V durch eine K e t t e verbinden lassen, heiBe T. Ein etwaiger Rand- punkt yon T l~ge in einem neuen V ~ ~ , das mit einem der in T enthal- tenen einen niehtleeren Durchsehnitt h~tte. Also mul~ der R a n d yon T leer sein, also T eine Komponente von R, also ~-- R .
/~ und ~ definieren einen ~achbarschaftsraum R : Elemente yon R sind die V ~ ~ ,
V1, V2 hei~en benachbart, wenn V1 ~ V2 :/= o .
R besitzt auf Grund yon (K'), (St), (Z ~) die Eigensehaften (K), (S), (Z).
Ist R e i n Polygon und ordnet man einer Ecke a yon R die Vereinigung yon a mit den yon a ausgehenden offenen K a n t e n zu, so k o m m t man zu einem System !B, das der in 1.5 definierten Zuordnung fiir Polygone entspricht.
4.6. Zwischen der Endentheorie yon R und der yon R (ira Sinne meiner Dissertation1)) besteht ein einfacher Zusammenhang, der be- sehrieben wird durch
Satz 2: Die Beziehung zwisehen R und R g e m ~ 4.5 l~Bt sieh stetig fortsetzen zu einer topologisehen Abbildung der zugeh6rigen Enden- mengen E und E , und zwar stetig in dem Sinne, dal~ lim Vv~ ~ r
Sirme yon R dann und nut dann gilt, wenn es im Sinne yon R gilt. Ins- besondere haben also R und R ebenso viel Endpunkte.
Die Zuordnung geschieht so: Sei
Q E ~ (in R).
Wir setzen in R :
= ~ ( Q ) = u v . V~Q
Q ist often. Ist a R a n d p u n k t yon Q, so ist a in einem gewissen V o e ~ , das mit Q, also mit einem der V ~ Q einen nichtleeren Durchschnitt hat.
Also
a ~ U V . VE.fi(Q)
Andererseits ist a als R a n d p u n k t yon
Also ist
~ U V .
V~Q
R a n d (~)) c U V ,
v ~ ~(Q)
also kompakt.
Ist umgekehrt
v
Q eine offene Menge yon R mit kompaktem Rand, so setzen wir
Q = g'(~)) --- Gesamtheit der V c ~) .
I
Da die V E ~ Gebiete sind, mug jedes, das P u n k t e yon ~) enthiflt, ohne in ~) enthalten zu sein, Punkte yon R a n d (~)) enthalten, d. h.
aus V c ~ ( Q ) folgt V ~ R a n d ( ~ ) ) # o .
Rand (Q) ist in endlieh viel V zusammen enthalten, V1 . . . V,. Also:
Also ist
Ist V e ~ ( Q ) , so ist V ~ ( V 1 ) ~ . . . . .~(V~).
(Q) endlich, also Q e ~ .
gPg (Q)
ist in ~ (Q) enthalten, unterscheidet sich also yon Q nur in einer endlichen Menge. Ebenso unterseheidet siehgg1(~,)
yon ~) h6ehstens in der Vereinigung der V, die den R a n d yon Q iiberdeeken, also in einer 13kompakten Menge. Ftir die Bildung der E n d p u n k t e sind zwei Q bzw. ~), die sich nur in einer endliehen bzw. kompakten Menge unterscheiden, nicht wesentlieh verschieden. In diesem Sinne ist die dureh g und g r vermittelte Beziehung zwisehen den Q und den ~) eineindeutig.
Man erh~lt nun aus einem E n d p u n k t r yon R einen E n d p u n k t e~ yon R , indem man jedes Q E e dureh das zugehSrige 9(Q) ersetzt. Es ist klar, dal~ ~ und ~ dann topologiseh aufeinander bezogen sind, und dab diese Beziehung stetige Forsetzung der zwisehen R und R gegebenen ist.
5. Gruppen.
5.1. R sei yon nun an eine
Gruppe G mit endlich vielen Erzeugenden.
Wit machen G durch folgende Festsetzungen zu einem Nachbarsehafts-
r ~ u n l :
Sei U eine Teflmenge yon G mit den Eigenschaften:
1. U ist endlich,
2. U enth/flt die Identit/it,
3. U enth/~lt mit jedem Element das inverse,
4. die kleinste Untergruppe yon G, die U enth/~lt, ist mit G identisch.
Wir nennen zwei Elemente
a, b benaehbart, wenn a - l b ~ U lo).
5.2. Wegen 5 . 1 . 2 - - 3, ist der Nachbarschaftsbegriff symmetrisch und reflexiv. Die Hiille yon a wird
die k-re Htille
~ ( a ) --- a U , 5 . 2 . 1
~ k ( a ) =- a U k 11). 5 . 2 . 2
10) M a n k S r m t e n a t f i r l i c h e b e n s o g u ~ f e s t s e t z e n : a , b b e n a c h b a r t , w e r m a b - l E U.
S t a r t d e r , , R e c h t s n a c h b a r s c h a f t " als G r u n d b e g r i f f e r h i e l t e m a n d a r m e i n e , , L i n k s n a c h b a r - s c h a f t " als G r u n d b e g r i f f . B e i d e dfirfen n i c h t d u r c h e i n a n d e r g e w o r f e n w e r d e n , o b s c h o n sie n a t i i r l i c h i s o m o r p h e T h e o r i e n liefern.
11) I n G r u p p e n b e d e u t e t M N die M e n g e aller m n m i t m E M , n ~/V. M p b e d e u t e t h i e r die M e n g e M 9 M . . . M (p-mal).
H i e r a u s folgt :
G i s t ein N a e h b a r s c h a f t s r a u m m i t Giiltigkeit y o n (K), (S), (Z).
Wir k 6 n n e n alles, was wir in w 1 - - 4 e n t w i c k e l t h a b e n , a n w e n d e n . 5.3. E r s e t z t m a n das S y s t e m U d u r c h ein anderes, U r, das a u c h die E i g e n s c h a f t e n 5 . 1 . 1 - - 4 besitze, so gelangt m a n n u r zu e i n e m ~quiva- lenten N a c h b a r s e h a f t s b e g r i f f .
W e g e n 5 . 1 . 4 gibt es n~mlich ein k m i t U r c U k, U c U ~k .
Setzt m a n das in 5 . 2 . 2 ein u n d berticksichtigt m a n die Definition aus 1.10, so ist m a n fertig.
6. Endpunkte yon Gruppen.
6.1. R e c h t s m u l t i p l i k a t i o n u n d L i n k s m u l t i p l i k a t i o n m i t einem festen E l e m e n t sind eineindeutige A b b i l d u n g e n v o n G a u f sich.
R e c h t s m u l t i p l i k a t i o n e n u n d L i n k s m u l t i p l i k a t i o n e n lassen sich topologiseh bis in die E n d p u n k t e hinein fortsetzen. Die Rechts- m u l t i p l i k a t i o n e n lassen j e d e n E n d p u n k t i n v a r i a n t ; die Links- m u l t i p l i k a t i o n e n lassen die Begriffe , , N a c h b a r " , ,,Hiille", , , F r a n s e " i n v a r i a n t . (Dagegen werden die L i n k s m u l t i p l i k a t i o n e n im allgemeinen die E n d p u n k t e n i e h t p u n k t w e i s e festlassen, u n d die R e c h t s m u l t i p l i k a t i o n e n w e r d e n die S t r u k t u r v o n R zer- st6ren.)
Die Beweise s t e h e n in 6 . 2 - - 3 .
6.2. R e c h t s m u l t i p l i k a t i o n e n : Sei lim a n ~ r Wir beweisen, dal~
d a n n auch lim a~c --- e. W i r b r a u c h e n das n u r fiir den Fall c e U zu beweisen - - d u r c h endlichfache W i e d e r h o l u n g ergibt es sich hieraus allgemein. Sei also c ~ U. Sei {Q} irgendeine U m g e b u n g y o n r Q e 2 . F a s t alle
a n ~ Q , also fast alle
a,~cEQc c H ( Q ) : Q ~ ~(Q) .
15
D a ~ (Q) endlich ist, sind also fast aUe
a n t ~ Q ,
Das gilt ftir jede U m g e b u n g {Q} y o n e, u n d d a m i t ist lira anc = e be:
wiesen - - also alles, was wir fiber die R e c h t s m u l t i p l i k a t i o n e n aussagten.
6.3. L i n k s m u l t i p l i k a t i o n e n : Bei der L i n k s m u l t i p l i k a t i o n m i t a g e h t x in a x u n d y in a y fiber.
(a x) -1 (a y) = x - l y .
Also grit: sind x, y b e n a c h b a r t , so sind a x, a y b e n a c h b a r t . D a h e r sind ,,Hfflle" u n d , , F r a n s e " l i n k s i n v a r i a n t ,
(aM) = a ~ ( M ) , ~ ( a M ) = a ~ ( M ) . H i e r a u s folgt:
I s t Q E ~ , so ist a u c h aQ c s I s t e ein E n d p u n k t , so a u c h a e .
I s t {Q} U m g e b u n g y o n e, so ist {aQ} U m g e b u n g y o n a e . H i e r a u s e r g e b e n sieh alle zu beweisenden Aussagen fiber die L i n k s m u l t i - plikationen.
6.4. I s t l i m a . = e u n d M endlieh, ist f e r n e r {Q} eine U m g e b u n g y o n e, so gilt ffir fast a l l e n
a ~ M c Q . D e n n n a c h 6 . 2 ist a,,c E Q
ffir fast a l l e n . A n g e w a n d t a u f die endlich vielen c y o n M folg~ hieraus die B e h a u p t u n g .
6.5. Seien {Q1} bzw. {Q~} U m g e b u n g e n der (evtl. z u s a m m e n f a l l e n d e n ) E n d p u n k t e e I bzw. e2 ; QI, Q2 E ~f~. Sei lim a~ = % . D a n n gilt ffir f a s t alle n :
anQ~ c Q1 oder (1)
anQ2 D R \ Q ~ . (2)
Z u m Beweise b e s t i m m e n wir n a c h 6 . 4 n so groB, dag
a,~(Q~) c Q1. (3)
Wir lassen d e n I n d e x n y o n n u n a n weg. W i t n e h m e n an, d a b
R\Q~ ~ aQ~ (4)
sei. D a n n ist e n t w e d e r
( R \ Q 1 ) ~ aQ~ = 0 ,
also aQ2 = Q1,
also (1) erfiiUt, oder
(R\Q1) ~ aQ~ = Q3 (5)
eine
nichtleere eehte Teilmenge y o n R \ Q 1 . (6) Wir diirfen a n n e h m e n , dab
R \ Q 1
zusammenh~ngend ist (evtl. verkleinern wir Q1 u m endlich viel Elemente, um das zu erreichen). Wegen (5) u n d der Definition 3 . 4 ist
~(Q~) ~ ( R \ Q 1 ) S o , (7)
da Q3 sonst K o m p o n e n t e y o n R \ Q ~ also = R \ Q ~ w~re i m W i d e r s p r u e h zu (6). Andererseits ist nach (5)
~(Q3) = ~ ( R \ Q I ) , ~ ( a Q 2 ) ,
also c [ ( R \ Q I ) ~ aQ~] ~, ~ ( R ~ Q 1 ) ~ ~(aQ2), also c ~ ( R \ Q 1 ) ~ ~ (aQ~)
also c Q1 '-' ~(aQ2)
(nach 6.3) = QI~a~(Q~)
(nach (3)) = Q1.
Das s t e h t im Widersprueh zu (7). Von den beiden Alternativsehliissen, die wir aus der A n n a h m e (4) zogen, war also (5)--(6) unzul~ssig u n d n u t (1) zul~ssig. Es gilt also: (1) richtig oder (4) falsch. Oder: (I) oder (2) riehtig, w . z . b . w .
6.6. el, e~ seien zwei (evtl. zusammenfallende) E n d p u n k t e , u n d lira a , = e l . D a n n ist
entweder lim a~e2 ~ e~
oder e~ H/~ufungspunkt der a~ 1
(abet n i c h t beides zugleich).
(i) (2)
2 Commentarli Mathematic! Helvetlc! 17
D e n n seien {Q1}, {Q~} U m g e b u n g e n y o n bzw. r e~. T r i t t ftir fast a l l e n der F a l l 6 . 5 . 1 ein, so h a t m a n ffir fast a l l e n
also
ane~ e {Q1}, lira a . e 2 --- e l 9
T r i t t dagegen fiir u n e n d l i c h viele n der Fall 6 . 5 . 2 ein, so h a t m a n u n e n d - lieh oft
c ~ a n Q 2 ,
wo c ein (festes) E l e m e n t y o n R \ Q 1 ist, also u n e n d l i e h oft
a n l v e Q2 9
Das gilt fiir jede U m g e b u n g Q2 y o n e2, also ist e2 H/~ufungspunkt der a ~ l c , also n a c h 6 . 2 a u c h
e2 H a u f u n g s p u n k t der a n -1 , w . z . b . w .
6.7. Seien e~, ez, e~ drei v e r s e h i e d e n e E n d p u n k t e u n d lim a~ - - e~.
Die a~ 1 k 6 n n e n sich a n u n d ftir sioh bei allen drei E n d p u n k t e n el, e2, es h/~ufen; d u r c h A u s w a h l k a n n m a n a b e r erreiehen, d a b sie sich bei h6eh- stens einem, e t w a e / h/~ufen (e p k a n n m i t el z u s a m m e n f a l l e n ) ; die beiden a n d e r e n n e n n e n wit e ~, e/H. N a c h 6 . 6 ist
l i r a a n e II ~ l i m a n e Irl ~ - r ,
also: in j e d e r U m g e b u n g v o n e~ liegen m i n d e s t e n s zwei E n d p u n k t e . Also : G i b t es m e h r als zwei E n d p u n k t e , so ist die Menge ~ der E n d - p u n k t e perfekt12).
6.8. Die E n d p u n k t e e, e ' heiBen e i n a n d e r invers, w e n n eine Folge an existiert m i t
- ~___~!
l i m a n e , l i m a n i 9
Die Vereinigung aller zu e inversen E n d p u n k t e heiBe e -1 .
12) S a t z y o n H o p ] , 1. c., S. 82.
6.9. e -1 ist abgeschlossen.
D e n n seien abe e~ invers zu e u n d lim e~ = eo. Seien {Q} u n d {Qo}
bzw. U m g e b u n g e n v o n e u n d %. I n jeder U m g e b u n g v o n %, also a u e h in {Qo} gibt es E l e m e n t e a n m i t a~ 1 E Q. D e s gilt fiir jedes P e a r {Q}, {Qo}
v o n U m g e b u n g e n y o n e bzw. eo. Also ist eo a u c h invers zu e, w . z . b . w . 6.10. Sind e u n d e I einander invers, so sind a u c h a e u n d e ~ e i n a n d e r invers.
D e n n es sei e t w a lim c~ = e, lim c~-1= r D a n n ist n a c h 6 . 2 :
l i m c ~ l a - ~ = e ~
Andererseits lim a c , ~ = a e .
Des b e d e u t e t , dal~ e ~ u n d a e invers sind.
6.11. W i r v e r s t e h e n u n t e r
R e die Menge eller a e, a r R . e linksinveriant, wenn R e = e ist.
J e d e G r u p p e befindet sich in einem der beiden folgenden F/~lle:
W i r n e n n e n
E n t w e d e r fiir jedes e
u n d
R e ~ ~ 6 . 1 1 . 1
e -1 = ~ . 6 . 1 1 . 2
6 . 1 1 . 3 O d e r : es g i b t einen l i n k s i n v a r i a n t e n E n d p u n k t ,
u n d jeder l i n k s i n v a r i a n t e E n d p u n k t eo erfiillt
e -1 = eo fiir jedes e =/= % . 6 . 1 1 . 4 Z u m Beweise n e n n e n wir
V(eo) die Menge aller e m i t e - l = % ,
w e n n eo irgendein E n d p u n k t ist. V(eo) k a n n natiirlich leer sein; im ellge- meinen b e s t e h t ja e -1 aus m e h r als einem E n d p u n k t .
19
W i t h a b e n
fiir jedes eo, d e n n ist so ist
es gibt d a n n eine F o l g e a , m i t u n d
also ist n a c h 6 . 6
@ = V ( e o ) ,~ R e o
e ~ V ( e o ) ,
e -1 9 ~= eo ;
lima,,:
ee0 n i c h t H ~ u f u n g s p u n k t y o n aZ ~ ; l i m a n eo = e
in R e , e n t h a l t e n . Also gilt 6 . 1 1 . 5 in d e r T a t . W i t h a b e n n u n zwei F i l l e :
6 . 1 1 . 5
a) V(e) = 0 ffir jedes e. D a r m ist n a e h 6 . 1 1 . 5 R e = @
ffir jedes e, also 6 . 1 1 . 1 gfiltig. I s t weiter el ein E n d p u n k t in e - i , so ist n a c h 6 . 1 0
a e l C e -1 ,
u n d n a c h 6 . 9 also n a c h 6 . 1 1 . 1
so d a b a u c h 6 . 1 1 . 2 gilt.
R e i C e -i
R e l C e -i ,
e-1 _=
(~,
b) F i b ein gewisses e0 ist V(e0) :/: o . D a n n ist fiir ein gewisses e
r = % . ( 6 . 1 1 . 6 )
N a c h 6 . 1 0 sind d a n n a b e r a u c h e u n d ae0 invers, also w e g e n 6 . 1 1 . 6 a e o = Co,
w o m i t 6 . 1 1 . 3 b e w i e s e n ist. M a n h a t a l s o
R eo =- eo , also n a c h 6 . 1 1 . 5
e c V(eo) fiir a ] l e e :/: eo, d . h .
e -1 = eo fiir jedes e ~ eo, u n d d a m i t ist z u m SehluB a u e h 6 . 1 1 . 4 bewiesen.
6.12. H a t G zwei l i n k s i n v a r i a n g e E n d p u n k t e , so h a t es g e n a u zwei E n d p u n k t e .
D e n n n a e h 6.11 gilt, w e n n eo l i n k s i n v a r i a n t ist, e -1 ---- eo fiir jedes e % eo 9 E b e n s o , w e n n a u c h el l i n k s i n v a r i a n t ist,
e -~ ---- el ffir jedes e % e~.
Es k a n n also k e i n e ~ eo u n d % el geben.
6 . 1 2 a . H a t G g e n a u zwei E n d p u n k t e , so sind sie z u e i n a n d e r invers.
Sind sie o b e n d r e i n i n v a r i a n t , so ist k e i n e r zu sieh selbst invers. (Folgt aus 6 . 1 1 . 2 u n d 6 . 1 1 . 4 . )
6.13. Sind e, e I zwei v e r s e h i e d e n e e i n a n d e r inverse E n d p u n k t e u n d {Q}, {Qr} bzw. (fremde) U m g e b u n g e n , so g i b t es ein c d e r a r t , d a b
cQ e e h t i n Q , c_lQr e e h t in Qr e n t h a l t e n ist.
D a e u n d e ~ invers sind, g i b t es n~mlich eine Folge a . , lira a~ = e
lim a n 1 = e t .
N a e h 6 . 5 gilt also fiir ein an (das wir a u c h c n e n n e n dfirfen) cQ c Q1,
c-lQ ' c Q~,
21
wo Q1 und Qr 1 irgendwelche echte Teflumgebungen yon Q und Qr seien.
Daraus folgt die Behauptung.
6.14. Eine Gruppe mit genau zwei E n d p u n k t e n besitzt eine unend- liche zyklische Untergruppe yon endlichem IndexXa).
Zum Beweise w~hle m a n ein c gems 6.13. (Wegen 6.12a ist das m6glich.) Dann bilden die Mengen
c,~Q
eine absteigende Folge. Der Durchschnitt ist leer, da Q sonst eine Folge
c - n b
enthielte, was nach 6.13 nicht m6glieh ist. Jedes Element yon Q liegt also in einer der Mengen
cnQ\cn+lQ (n = O, 1 , 2 . . . . )
= C n
(Q\cQ).
Ebenso liegt jedes Element yon Q' in einer der Mengen c-~ ( Q ' \ c - I Q ' ) .
Q \ c Q und Q ' \ c - I Q ' sind endlieh.
Jedes Element yon G i s t also darstellbar in der Form
C h a l k . . . , c n a k ,
mit geeigneten (aber festen) a i , . . . , a k und ganzem n.
c erzeugt also die gesuchte zyklische Untergruppe yon endliehem Index.
6.15. Eine Gruppe, die eine unendliche zyklische Untergruppe y o n
endlichem I n d e x besitzt, besitzt genau zwei Endpunktela).
Jedes Element yon G ist n~mlich in der F o r m
( 3 n a l ~ . . . ~ c n a k
darstellbar. Die von c erzeugte Untergruppe besitzt die E n d p u n k t e e = lim c ~ und e r = lira c -= .
~a) A u c h d i e s e r S a t z i s t y o n H o p / , 1. c., S. 97.
Jede unendliche Folge aus G 1/iBt sich in Folgen cnaK und v-naK
,nit festem ~ zerlegen. Nach 6.2 konvergieren diese gegen e und e'.
Also sinddas dieeinzigen Endpunkte yon G. e ~ e' in G, da n > 0 bzw.
n < 0 zueinander fremde Umgebungen yon e bzw. e' sind.
6.16. Satz 3:
1. Die Kompaktisierung einer Gruppe G yon endlieh vielen Erzeugenden dutch ihre Endpunktmenge ~ ist eindeutig bestimmt.
2. ~ besteht aus 0, 1, 2 Punkten, oder ist perfekt12).
3. 0 Endpunkte besitzen die endlichen Gruppen und nur diese.
4. 2 Endpunkte besitzen die Gruppen mit unendlicher zykli- scher Untergruppe von endlichem Index und nur diesela).
5. ~ ist invariant bei Linksmultiplikationen und punktweise invariant bei Reehtsmultiplikationen.
6. Die a e liegen entweder fiberall dicht oder e ist linksinvariant.
7. Es kann 0, 1 oder 2
linksinvariante Endpunkte geben -- wir sprechen dann von elliptischen, parabolischen oder hyperbolischen Gruppen.
8. Gruppen mit 0 E n d p u n k t e n sind elliptiseh.
9. Gruppen mit 1 E n d p u n k t sind parabolisch.
10. Gruppen mit 2 E n d p u n k t e n sind elliptisch oder hyper- bolisch.
11. Gruppen mit c~ viel Endpunkten sind elliptisch oder (?) paraboliseh. (Ob hier der parabolische Fall wirklich ein- troten kann, ist unsicher.)
12. Bei elliptischen Gruppen ist e -1 -~ ~ fiir jedes e.
13. Bei parabolischen Gruppen mit dem linksinvarianten End- punkt e0ist e - l ~ e 0 fiir alle e 7 ee0 und eo ~ - ~ . 14. Bei hyperbolisehen Gruppen sind die beiden (invarianten)
Endpunkte zueinander invers, aber keiner zu sich selbst invers.
1,) S a t z v o n Hop], 1. c., S. 82.
*') A u c h d i e s e r S a t z i s t y o n .Hop], 1. c., S. 97.
23
Wir geben zu jeder N n m m e r an, wo sie bewiesen ist. 1. in 5 . 2 - - 3 . 2. in 6.7. 3. trivial. 4. in 6.14--15. 5. in 6 . 1 - - 3 . 6. in 6 . 1 1 . 1 u n d 6 . 1 1 . 3 . 7. in 6.12 (Beispiele folgen). 8. trivial. 9. trivial. 10. trivial (Beispiele folgen). 11. in 6.12. 12. in 6 . 1 1 . 2 . 13. Die erste Aussage s t e h t in 6 . 1 1 . 4 , die andere ergibt sich so: r ~'~e0, also = {~ wegen der Abgeschlossenheit y o n e -1 u n d der Perfektheit y o n ~ . 14. in 6 . 1 2 a .
6.17. Beispiele:
1. Gruppe m i t einem E n d p u n k t : abelsche Gruppe y o n 2 Er- zeugenden.
2. Hyperbolische Gruppe: zyklische unendliche Gruppe.
3. Elliptische Gruppe m i t 2 E n d p u n k t e n : die Gruppe m i t den 2 Erzeugenden s u n d t u n d den R e l a t i o n e n
s 2 = s t s t --- I d e n t i t ~ t .
4. Elliptisehe Gruppe m i t c~ vielen E n d p u n k t e n : freie Gruppe y o n 2 Erzeugenden.
1. ~n(1) b e s t e h t aus u ~ v ~ m i t Ill q- I?1 --~ n , wenn u , v die Erzeugenden sind. R \ ~ ( 1 ) ist also z u s a m m e n h ~ n g e n d .
2. ~n(1) b e s t e h t aus d e n u ~, l il _~ n , wenn u die Erzeugende ist. R \ ~ n ( 1 ) besitzt die K o m p o n e n t e n u i, i > n u n d i < -- n . u. u ~ ~- u ~+1, d. h.
die E n d p u n k t e bleiben lest.
3. M a n zieht aus den beiden R e l a t i o n e n :
a l s o
8 t ~ - t - 1 8 ,
8 t i ~ t - i s .
M a n k a n n m i t dieser Relation alle E l e m e n t e von G a u f die Gestalt
~i80 , 1
bringon. Man erh~lt ftir
~ n ( 1 ) : t i , ] i [ ~ n
t s, lil
g n - - 1 .Die K o m p l e m e n t ~ r m e n g e besitzt also wieder zwei K o m p o n e n t e n P , P~.
Bei don t~so, a ~ p ist i > 0 , E P ~ i < 0 .
Linksmultiplikation mit 8 liefert
8 t i 8 ~ ~ ~ t - t 8 1 , o j
also Vertauschung der beiden Endpunkte.
4. Die Erzeugenden seien u und v. Die ,,Worte"
W ~ U i V j 9 9 9 ~ k v l --~
verteflen sich a u f vier Mengen:
U + : i > O . U _ : i < O .
V + : i : O, j > O . V _ : i : O , j < O .
Alle haben die Franse 1, geh6ren also zu s sind unendlich mid paar- weise elementefremd. Jede enth~lt mindestens einen E n d p u n k t ; es gibt also vier, also c~ viel Endpunkte. Der Automorphismus
U < - - ' - - ~ V
vertauscht die linksinvarianten E n d p u n k t e untereinander, aber auch U+ mit V+ und U_ mit V_. Gibt es e i n e n linksinvarianten End- punkt, so gibt es zwei, was nicht m6glich ist.
Die Gruppe ist demnach nicht parabolisch, also elliptisch.
Problem: Gibt es tiberhaupt parabolische Gruppen mit unendlich vielen E n d p u n k t e n ?
7. Untergruppen.
7.1. Wir nennen
S e die Untergruppe aller a mit a e ~- e .
7 . 2 . See = c S e c - 1 .
7.3. Sei a . eine Folge aus S e. Dann ist
entweder lim a , --- r
oder e Hgufungspunkt der a~ 1
7.3.1
7 . 3 . 2
25
D e n n sei 7 . 3 . 2 falsch u n d a . , eine Teilfolge m i t D a n n ist n a e h 6 . 6
also w e g e n a~, e = e
l i m a . , = e 1 : ~ e . l i m a n , e = e l ,
e1~__ r
7 . 3 . 3
i m W i d e r s p r u c h zu 7 . 3 . 3 . Also m u g e n t w e d e r 7 . 3 . 1 o d e r 7 . 3 . 2 gelten.
7 . 4 . I s t S e ~, S e, unendlich, so sind e u n d e I gleich o d e r invers.
D e n n sei a . eine Teilfolge y o n S e ~- S e, . D a n n g i b t es a u c h eine Teil- folge b. m i t
lim b~ = e
(nfimlich e n t w e d e r a , selbst o d e r - - n a c h 7 . 3 - - eine Teilfolge v o n a~X).
N u n ist
lira b~ = er ~ e ausgeschlossen, also n a e h 6 . 6
e / H~Lufungspunkt y o n b~ 1 . E s g i b t also eine Teilfolge c~ m i t
l i m c , = e , l i m c ~ x - ~ e
I,
w . z . b . w .
7.5. Sind %, e~, e3 drei v e r s c h i e d e n e E n d p u n k t e , so ist Se~ ~ Se, ~ Se,
endlich.
D e n n n a c h 7 . 4 g i b t es eine F o l g e c~ m i t ]~mc n = e l , l i m c ~ 1 = ez i m W i d e r s p r u c h z u 7 . 3 , a n g e w a n d t a u f %.
7 . 6 . W i r fiihren d e n G e d a n k e n g a n g y o n 6 . 1 3 w e i t e r : e u n d e r sind z u e i n a n d e r i n v e r s e E n d p u n k t e m i t d e n i m Sinne y o n R z u s a m m e n - h ~ n g e n d e n U m g e b u n g e n {Q}, {QI}. M a n finder ein c so, d a b die
xmd die
a b s t e i g e n d e F o l g e n bilden.
c,~Q
c - n Q t
N c"Q : N c - " Q ' = O ,
n
d a sonst z. B. Q eine Folge c-rib enthielte, was n i e h t m6glich ist. c"Q ist z u s a m m e n h ~ n g e n d . E s gibt also (siehe 4 . 1 - - 3 ) zu j e d e m k ein n , so dab
c~Q in genau einem P k 13a) e n t h a l t e n ist.
n c"{Q} (ebenso N c-~(Q~})
n n
b e s t e h t also aus g e n a u einem E n d p u n k t
e l = l i m c n (bzw. e l - - - - l i m c f - n ) . Man h a t
t
f
d.h.
Se~ '-' Ste~ enthi~lt ein E l e m e n t u n e n d l i e h e r Ordnung.
Wir h a b e n d e m n a e h bewiesen :
Zu j e d e m P a a r verschiedener, z u e i n a n d e r inverser E n d p u n k t e e, e ~ gibt es in beliebiger NEhe ein P a a r inverser E n d p u n k t e el, e~ m i t u n e n d l i c h e m !
Se, ~ S I
e l "
Sowie :
J e d e G r u p p e m i t m e h r als einem E n d p u n k t besitzt E l e m e n t e u n e n d l i c h e r O r d n u n g . (Dieser Satz gilt a b e r allgemeiner.) 7.7. I s t T eine unendliche U n t e r g r u p p e v o n S e ~, S e, u n d c T c -1
ebenfalls in S e ~, S e, e n t h a l t e n , so ist
C e = e , C g t = e I
Sei n~mlich
o d e r c e = e t, ce t = e ,
c ~ e S e ~ S e , .
a~ E T c S e ~ S e,
eine u n e n d l i e h e Folge. Man d a r f a u f G r u n d v o n 7 . 3 (naeh evtl. U b e r g a n g zur i n v e r s e n u n d Auswahl) voraussetzen, dab
l i m a , , = e l i m a n x . (1)
laa) k ist hier natiirlich nicht Exponent.
27
N u n ist a u c h
ca,~c - 1 ~ c T c - 1 c S e ,-, S e, ;
m a n d a f t also n a c h 7 . 3 w i e d e r u m v o r a u s s e t z e n , d a b e n t w e d e r lim c a , ~ c - 1 = r , lim c a ~ l c - 1 = e I
o d e r lim c a , c - 1 : - e~, lim c a ~ l c - 1 = e
ist, also n a e h 6 . 2
e n t w e d e r lin c a , , ~ e , l i m c a - ~ 1 ~ e I
o d e r lira c a , , --- e ~, l i m c a ~ ~ - : e ,
d. h. w e g e n (1)
e n t w e d e r c e d e , c e a s e
oder c e d e ~, ce ~ = e ,
jedenfaUs a b e r
G2e ~ e , g2e: I ~ r ,
also
W. z . b . w .
c 2 c S e :~ S e, ,
7 . 8 .
S a t z 4:
W i r f a s s e n die E r g e b n i s s e z u s a m m e n in
1. Die U n t e r g r u p p e n S e d e r E l e m e n t e y o n R , die die E n d p u n k t e e bei L i n k s m u l t i p l i k a t i o n festlassen, h a b e n zu je dreien einen endlichen D u r c h s c h n i t t u n d zu je zweien h 6 c h s t e n s d a n n einen u n e n d l i e h e n D u r c h s c h n i t t , w e n n die zugeh6rigen E n d p u n k t e z u e i n a n d e r i n v e r s sind; in j e d e r U m g e b u n g jedes i n v e r s e n E n d p u n k t p a ~ r e s k a n n m a n ein E n d p u n k t p a a r finden, fiir d a s d e r D u r c h s c h n i t t in d e r T a t u n e n d l i c h ist.
2. I s t
T unendlich, T ~ S e ,-, S e, , c T c - 1 ~ S e ,', S e, ,
so ist
Cr ~ r , Cr 1~-- r
o d e r c e = e ~, ce ~ - : e
u n d c ~ ~ S e :~ S e, .
7 . 9 . M a n k a n n S a t z 4 zu e i n e m a b s t r a k t e n n o t w e n d i g e n K r i t e r i u m fiir die E x i s t e n z u n e n d l i c h vieler E n d p u n k t e a u s g e s t a l t e n , i n d e m m a n y o n d e r zwischen S e u n d s e i n e m E n d p u n k t e b e s t e h e n d e n B e z i e h u n g a b s t r a h i e r t .
Satz 5: Zu einer Gruppe G mit unendlich vielen E n d p u n k t e n gibt es ein System 2: yon Untergruppen S mit folgender Eigensehaft:
1. • enth~lt mit jeder Gruppe alle konjugierten.
2. Jedes Tripel yon • hat einen endliehen Durchschnitt.
3. Es gibt unendlich viel Paare yon Z mit unendlichem Dureh- sehnitt.
4. I s t $1, S~ ein Paar von •, T unendlich, T c S 1 ~ $ 2 , c T c -1 c S i " S~, so ist c 2 r S 1 ~, S~ und c S l c -1 = S 1 oder S~.
Ist die Gruppe obendrein paraboliseh, so fifllt genau eine der Gruppen S yon Z mit G zusammen.
Man nehme nattirlieh ftir Z das System aller unendlichen Gruppen S e . Die im parabolisehen Fall mit G zusammenfallende Gruppe geh6rt zum linksinvarianten Endpunkt.
7.10. Als Anwendungsbeispiel beweise ich:
Das direkte Produkt zweier unendlicher Gruppen G und H besitzt genau einen Endpunkt.
(Allerdings karm m a n diesen Satz mit anderen Methoden einfacher beweisen -- siehe die zweite zitierte Arbeit des Verf.~), Satz 8 -- aber darauf soil es uns hier nieht ankommen.)
Naeh Satz 3, (3)--(4) sind die MSglichkeiten ,,0 und 2 E n d p u n k t e " aus- gesehlossen. Wir sehlieBen nun die M6ghchkeit ,, c~ viel E n d p u n k t e " aus.
Seien c~viel E n d p u n k t e vorhanden. Nach 7.6 gibt es ein Element unendlicher Ordnung
c = a x b , a ~ G , b e H , limc n = e , limc - n - = e t . c erzeugt eine unendliche zyklische Gruppe T = S e
c o = l •
mit T elementweise vertauschbar, also naeh Satz 4 c ~ = 1 • b ~ r e ~ , S e,.
Wegen der Gruppeneigensehaft ist
c h = = aS x 1 ' , S ,
~,S e,. Nun ist
29
c ~ oder c ~ ist v o n u n e n d l i e h e r O r d n u n g u n d e r z e u g t eine u n e n d l i c h e
o o o
zyklisehe G r u p p e T ~ c S e ,~ S e, . E n t w e d e r jedes E l e m e n t v o n G o d e r jedes E l e m e n t y o n H ist m i t T I e l e m e n t w e i s e v e r t a u s c h b a r . Also n a c h 7 . 7 :
Alle c e G • 1I o d e r alle c r 1 • H
v e r t a u s e h e n e u n d e ' u n t e r e i n a n d e r . D a S e ,', Se, in d e r G r u p p e der e u n d e ' v e r t a u s c h e n d e n L i n k s m u l t i p l i k a t i o n e n v o m I n d e x 2 ist, gilt:
U n e n d l i c h viel c ~ G • 1/
o d e r u n e n d l i c h viel c ~ 1 • H
liegen in S e ,~ S e, . D u r e h n o e h m a l i g e A n w e n d u n g y o n 7 . 7 folgt h i e r a u s : alle c EG • 11
u n d alle c e 1 • H , v e r t a u s e h e n e u n d e ~, also a u e h
alle c o g • H . S e ~ S e, ist a l s o v o m I n d e x 2 i n G • H ,
w a s der A n n a h m e der E x i s t e n z v o n m e h r als e i n e m E n d p u n k t wider- s p r i e h t .
8. N o r m a l t e i l e r .
8.1. Die R e e h t s n e b e n g r u p p e n H a u n d H b y o n H in G heiflen b e n a c h - b a r t , w e n n a u n d b b e n a c h b a r t sind. Gilt d a s fiir H a u n d H b , so gilt sogar: Z u j e d e m a r e H a g i b t es ein b e n a c h b a r t e s b l e H b . M a n n e h m e ni~mlieh a l a - l b .
8.2. B e n a c h b a r t e N e b e n g r u p p e n h ~ u f e n sich gegen dieselben E n d - p u n k t e . D e n n sei l i m a n ~ e, an c H a , u n d sei H b b e n a c h b a r t zu H a . D a n n g i b t es zu an e i n e n N a e h b a r bn in H b : bn ~ a,~un, Unc U . D a U endlich ist, zerf~llt die F o l g e der b~ in endlich viel Teilfolgen, die n a c h 6 . 2 d e n L i m e s e besitzen. D a r a u s folgt die B e h a u p t u n g .
8.3. J e zwei Rechtsnebengruppen yon H in G haufen sich gegen die- selben E n d p u n k t e . Man kann ja irgend zwei Elemente, also auch zwei Rechtsnebengruppen yon H in G durch eine K e t t e benachbarter ver- binen. Nach 8.2 folgt hieraus die Behauptung.
8.4. H sei eine feste Untergruppe yon G. Q sei E ~i~. Gilt fiir ein H a Q ~ H a endlich,
so gilt es ffir alle H a .
Denn ist Q ,~ H a endlich, so gibt es in Q keinen E n d p u n k t r der H~ufungspunkt yon H a ist. Nach 8.3 gilt dieselbe Aussage hinsichtlich eines jeden H a , und da Q Umgebung des etwaigen e ist, muB dann auch wieder bzw. Q ~ H a endlich sein.
8.5. Ist N Normalteiler yon G, so haben natiirlich auch alle Links- nebengruppen yon N in G dieselben H~ufungspunkte. Andererseits ist nach 6.3, wenn r Hi~ufungspunkt yon N ist, auch a e H~ufungspunkt yon a N . Hieraus folgt:
M i t e sind alle a e H~ufungspunkte yon N . Nach 6.11 ergeben sich also zwei MSglichkeiten:
Satz 5. Ist N N o m a l t e i l e r yon G, so h~uft sich N entweder gegen alle E n d p u n k t e yon G, oder es h~uft sich gegen genau einen, n~mlich den invarianten E n d p u n k t yon G.
8.6. Ist H Untergruppe yon G u n d Q E Q (also F (Q) endlich), so ist fiir fast alle Rechtsnebengruppen H a
Q ,-, H a abgeschlossen in H a
(also nach 3.5 aus K o m p o n e n t e n yon H a zusammengesetzt).
Denn man hat
~ ( Q ~ H a ) ,", H a c ~ ( Q ~ H a ) ~ H a c ~ ( Q ) ~ H a , also
~ ( Q ,-, H a ) ,', H a c ( ~ ( Q ) ,~ H a ) \ ( Q ,~ H a ) : ~ ( Q ) \ H a . Die Vereinigung aller
~ ( Q ,~ H a ) ,~ H a
ist also endlich, also sind fast alle leer, d . h . fast alle Q ,-, H a abge- schlossen in ihrem H a .
8.7. Satz 6. Besitzt G einen zusammenh~ngenden unendlichen Normalteiler mit unendlicher Faktorgruppe, so besitzt G genau einen E n d p u n k t .
31
Zum Beweise wenden wit 8.6 auf den zusammenh~ngenden Normal- teller N a n :
Ist Q c ~ , so gilt f'tir fast alle a N :
Q , - , a N ~ o
oder --- a N . (1)
Anders formuliert:
Q ,-, a N oder ( R \ Q ) ,-, a N ~ o ffir fast alle a N , (1/) trod da es unendlich viel a N gibt, auch fiir mindestens eines. Also gilt naeh 8.4
Q ~, a N oder ( R \ Q ) ,-, a N endlich fiir alle a N . (2) Einer dieser beiden F~lle kann nut eintreten, z. B.
Q ,-, a N endlich fiir alle a N . (2 I)
Dann muB in (1) auch der Fall
Q ~ a N ~ o fiir fast alle a N (11) eintreten, da a N ja unendlich ist. Die A u s n a h m e - a N , f'tir die hier
Q ,-, a N : r i o
ist, werden nun durch (2/) erfal]t. Also ist
Q endlich. (3 I)
H a t man hingegen s t a t t (2/)
( R \ Q ) ,-, a N endlich f'tir fast aUe a N , (21/) so schlieBt man analog:
R \ Q endlich. (a ~)
AUe Q ~ ~ befinden sich also im Falle (3/) oder im Falle (31I), d . h . sie sind bis a u f endlich viel Elemente mit O oder G identisch. Es kann daher keine zwei E n d p u n k t e geben (die ja disjunkte Umgebungen Q haben mtiBten). Da G unendlich ist, gibt es demnach genau einen End- punkt.
8.7. Zusatz zu Satz 6: Besitzt G einen unendlichen Normalteiler yon endlich viel Erzeugenden mit unendlicher Faktorgruppe, so besitzt (7 genau einen Endpunkt.
W~hlt man n~mlich, wenn eine Gruppe G yon endlich vielen Erzeu- genden und eine Untergruppe H gegeben sind, das System U f(ir G (gem~tB 5.1) so, dab es ein Erzeugendensystem yon H als Teflmenge enth~lt, so stimmt der Nachbarschaftsbegriff in H mit dem yon G indu- zierten iiberein und H wird zusammenh~ngend. Daraus ergibt sich der Zusatz.
Daraus folgt insbesondere: Eine freie Gruppe yon endlich vielen Er- zeugenden besitzt keine Normalteiler yon endlich vielen Erzeugenden und unendlichem Index. -- Jedoch kann man das leicht auch direkt beweisen.
Bemerkung zu Satz 5: Der Satz erinnert an Satz 18 meiner Disserta- tioni): Besitzt die abgeschlossene Untergruppe yon G genau einen End- punkt, so besitzt auch G genau einen Endpunkt. Etwas Derartiges gilt bei diskreten Gruppen nicht ; man kann die Forderung, dab N ein Normal- teiler sein soll, nicht fallen lassen, wenn man den Satz aufrecht erhalten will. Beispiel: Die Gruppe yon 4 Erzeugenden ul, us, vl, v 2 und den Relationen u l u ~ ~ u 2 u l , v ~ v 2 - ~ v 2 v ~ , yon der man genau wie yon der Gruppe 6.17.4 beweist, dab sie unendlich viel E n d p u n k t e besitzt.
Man sieht ohne weiteres, dab sie eine -- sogar abgeschlossene -- Unter- gruppe mit genau einem E n d p u n k t besitzt, z. B. die von Ul, us erzeugte.
Bemerkung zu Satz 6: Dieser Satz erinnert an Satz 8 meiner Disser- tation: Das kartesische P r o d u k t zweier nichtkompakter R~ume hat genau einen E n d p u n k t . Er ist mit diesem Satz auch begrifflich verwandt.
Ubrigens ist natiirlich auch 7.10 als einfache Folge yon Satz 6 einzu- sehen.
Die Frage liegt nahe, ob auch ftir die in meiner Dissertation behandelten Gruppen ein Analogon des Satzes 6 gilt. Die Frage ist zu bejahen, selbst unter den weiteren Voraussetzungen meiner unter 2) zitierten Arbeit.
Wit zeigen das im Anhang.
9. Darstellungen diskreter Gruppen.
9.1. R sei ein im kleinen kompakter, im kleinen zusammenhgngender, zusammenhangender R a u m mit 2. Abz~hlbarkeitsaxiom. Die diskrete Gruppe G sei dargestellt durch topologische Selbstabbildungen yon R.
a e G entspricht / a ( R ) : R .
3 Comment~rii Mathemat|ci Helvetici 3 3
