Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
7. Ableitungsregeln
H. Rodner, G. Neumann
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Differentialrechnung
Die Kettenregel
Die Ableitung des Sinus
Die Ableitung der Exponentialfunktion
Klausur
Prüfungstermin: Freitag, 08.07.2011
Uhrzeit: 15 bis 16 Uhr Raum: RUD 26, 0.310
Anmeldung bis: 24.06.2011
Rücktrittsfrist bis: 01.07.2011
Die Kettenregel: Anwendungsaufgabe
In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius R = 10 cm und der Höhe H = 30 cm werden pro Sekunde 20 cm 3 Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers hängen also von der Zeit ab.
a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t) → V (t).
b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell.
Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser im
Behälter 5 cm hoch steht?
Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe a)
Für das Volumen in Abhängigkeit der Zeit in Sekunden sowie für r Radius der Wasseroberfläche im Kegel
und h Höhe des Wasserstands - ebenfalls abhängig von der Zeit - in cm gilt:
V(h(t)) = 1 3 πr 2 h
Außerdem gilt H R = 10 30 nach Voraussetzung für den Kegel mit Höhe H und Radius R. Mit dem Strahlensatz und H R = r h folgt: r = h 3 Dann ist
V(h(t)) = π
27 (h(t)) 3
Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe b)
Gesucht ist die Änderungsrate der Füllhöhe in cm pro Sekunde, also h 0 (t 0 )
und zwar bei der Füllhöhe 5 cm, also für h(t 0 ) = 5
Die Änderungsrate des Volumens wiederum errechnet sich mit der Kettenregel nach:
V 0 (t) = π
9 (h(t)) 2 · h 0 (t)
Nach Voraussetzung steigt das Volumen 20 cm 3 pro Sekunde:
V (t) = 20t und damit V 0 (t) = 20
20 = π
9 5 2 · h 0 (t) h 0 (t) = 9 · 20
25π
h 0 (t) ≈ 2, 29 ( cm
s )
Die Ableitung des Sinus
Einführung der Ableitungsfunktion
Die Ableitung der Sinusfunktion
Graphisches Differenzieren
Zeichnen Sie den Graphen der Sinusfunktion f(x) = sin(x) im Intervall [− π 2 ; 2π].
Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an ausgewählten Punkten
und stellen Sie eine Vermutung auf über die Ableitungsfunktion f 0 .
Die Ableitung der Sinusfunktion
Beweis der Vermutung f 0 (x) = cos(x) über den Differenzenquotienten:
f (x + h) − f (x)
h = sin(x + h) − sin(x)
h
Die Ableitung der Sinusfunktion
Benötigtes Additionstheorem:
sin(α) − sin(β) = 2 · cos( α+β 2 )sin( α−β 2 )
Die Ableitung der Sinusfunktion
f (x + h) − f (x)
h = sin(x + h) − sin(x)
h = cos(x + h 2 ) · sin( h 2 )
h 2
= cos(x + h
2 ) · sin( h 2 )
h
2
Die Ableitung der Sinusfunktion
= cos(x + h
2 ) · sin( h 2 )
h 2
Für h → 0 stellt sich die Frage des Grenzwerts von sin(h) h .
Die Ableitung der Sinusfunktion
Mögliches Vorgehen:
I Ergebnis über Testwerte annähern: lim
x→0 sin(x)
x = 1
I Approximation des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts am
Einheitskreis
Flächeninhalt eines Kreisausschnitts am Einheitskreis
I Untersuchen Sie die Flächeninhalte A, A 1 und A 2 .
I Vorgabe der Herleitung als Lückentext
I Vorgabe der Herleitung als Puzzle, Schüler
rekonstruieren die Reihenfolge
Für die Flächeninhalte gilt:
A 1 = 1 2 sin(x) · cos(x) A = 2π x · 1 2 · π A 2 = 1 2 tan(x) · 1
Für die Größenverhältnisse gilt:
A 1 < A < A 2
1
2 sin(x) · cos(x) < 2π x · 1 2 · π < 1 2 tan(x) · 1 | · sin(x) 2 cos(x) < sin(x) x < cos(x) 1 | Kehrwert
1
cos(x) > sin(x) x > cos(x)
Für x → 0, x 6= 0, ist dann sin(x) x = 1.
Hausaufgabe
Skizzieren Sie eine Einführungsstunde zum Thema Ableitung der Exponentialfunktion
mit dem Ziel der Einführung der
Exponentialfunktion zur Basis e.
Die Ableitung der Exponentialfunktion Möglicher Ablauf:
I Vorab: Reaktivierung der Potenzgesetze, Darstellung von Graphen von Exponentialfunktionen
I Hinführung über Modellierung exponentieller Prozesse
I Einführungsstunde
1. Graphisches Differenzieren von Graph
fmit f (x) = 2
x→ Vermutung für f
0(x) ≈ 0, 7 · f (x)
2. Herleitung von f
0(x) über Differentialquotient, Approximation über Testeinsetzungen 3. Berechnung des Faktors lim
h→0
b
h− 1
h für Basen b = 1, 5 oder b = 3.
Vermutung der Existenz von Zahl b mit lim
h→0