Prof. Dr. M. Joachim Blatt 3
Dr. T. Timmermann Abgabe bis 26.04, 10 Uhr
timmermt@math.uni-muenster.de Besprechung vom 30. bis 04.05
Ubungen zur Funktionentheorie ¨
Aufgabe 1. Sei M ⊆C offen, a ∈M beliebig. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Menge
Ua :={b ∈M :a und b sind in M durch einen Streckenzug verbindbar}.
offen ist. Zeigen Sie direkt ohne Verwendung von Aussagen aus der Vorlesung:
(a) Ua ist abgeschlossen in M.
(b) WennM zusammenh¨angend ist, dann sind je zwei Punkte inM durch einen Streckenzug verbindbar. (Verwenden Sie hierf¨ur (a) und Offenheit von Ua.) Aufgabe 2. Sei D := C\N und uk: D → C f¨ur jedes k ∈ N definiert durch
z 7→uk(z) = 1
k(z−k). Sei ferner K ⊂D kompakt. Zeigen Sie:
(a) Es gibt ein n ∈N mit |z−k|> k/2 f¨ur allek ≥n und z ∈K.
(b) Die Reihe P
kuk konvergiert normal auf K in dem Sinn, dassP
kkukkK <
∞, wobei kukkK = supz∈K|uk(z)| f¨ur alle k ∈N.
Aufgabe 3. Seien f, g: C→C definiert durch f(z) =z und g(z) =|z|2 f¨ur alle z ∈C. Zeigen Sie:
(a) Die Funktion f ist in keinem Punkta ∈Ckomplex differenzierbar.
(Hinweis: Schreiben Sie den Differenzenquotienten mit Polarkoordinaten.) (b) Die Funktion g ist in 0 ∈ C komplex differenzierbar und in keinem Punkt
a ∈C\ {0} komplex differenzierbar. (Hinweis: Kann man (a) benutzen?) Aufgabe 4. Die komplexe Exponentialfunktion und die komplexen Winkelfunk-
tionen exp,sin,cos,sinh,cosh : C→C sind f¨ur alle z ∈C definiert durch exp(z) =
∞
X
k=0
zk k!, sin(z) = exp(iz)−exp(−iz)
2i , cos(z) = exp(iz) + exp(−iz)
2 ,
sinh(z) = exp(z)−exp(−z)
2 , cosh(z) = exp(z) + exp(−z)
2 .
(a) Zeigen Sie: sin(z+z0) = sin(z) cos(z0) + cos(z) sin(z0) f¨ur alle z, z0 ∈C. (b) Zeigen Sie: sin(x+iy) = sin(x) cosh(y) +icos(x) sinh(y) f¨ur alle x, y ∈R. (c*) Schlussfolgern Sie aus (a): Sind sin und cos in 0 komplex differenzierbar und
gilt sin0(0) = 1, cos0(0) = 0, so folgt, dass sin in jedem Punkta∈Ckomplex differenzierbar ist mit sin0(a) = cos(a).
