Ubungen zum Kurs ¨

Ubungen zum Kurs ¨

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

7. Ubung – Stabilit¨ ¨ atstheorie, Rand- und Eigenwertprobleme

1. Man zeige, dass f¨ ur das System

˙

x

= −x

˙

x

= −x

+ x

˙

x

= x

und das entsprechende im Nullpunkt linearisierte System die Abbildung

H(x

, x

, x

) =









 x

x

− x

3 x











eine Realisierung des Theorems von Hartman-Grobman darstellt, d.h., f¨ ur den Fluss Φ(t, x) des nichtlinearen Systems gilt H(Φ(t, x)) = e

H(x) , wobei A die Matrix des linearisierten Systems ist.

2. Diskutieren Sie das Stabilit¨ atsverhalten der Gleichgewichtspunkte des Systems ˙ x = v(x) . Hinweis: Benutzen Sie das Hartman-Grobman-Theorem.

(a) v(x) =

x

− x

− 1 2 x

, (b) v(x) =

x

− x

+ 2 2 x

− 2 x

x

, (c) v(x) =

−4 x

− 2 x

+ 4 x

x

.

3. Zeigen Sie mit Hilfe einer Ljapunov-Funktion der Gestalt L(x

, x

) = c

(x

− x

)

+ c

(x

− x

)

,

wobei x

= (x

, x

) der zu untersuchende Gleichgewichtspunkt ist, dass der Nullpunkt f¨ ur das System

˙ x =

0 −1

1 0

x + F (x) im Falle

(a) F (x) =

−x

− x

x

−x

− x

x

asymptotisch stabil, (b) F (x) =

x

+ x

x

x

+ x

x

instabil, (c) F (x) =

−x

x

x

stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist.

1

4. Bestimmen Sie in Abh¨ angigkeit vom reellen Parameter λ 6= 0 alle L¨ osungen des Rand- wertproblems

y

+ λ

y = 0 , die die Bedingungen

(a) y(0) = 0, y(π) = 1, (b) y(0) = y(π) = 1, erf¨ ullen.

5. F¨ ur welche reellen Zahlen λ hat das Randwertproblem y

(x) − 2y

(x) + λy(x) = 0 , y(0) = y(1) = 0 nichttriviale L¨ osungen?

2