Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun
D¨usseldorf, den 15.10.2019 Blatt 2
Ubungen zur Analysis II ¨
1. Auf demR2 definieren wir k(x, y)k=|y|+|y−x|.
(a) (4P) Zeigen Sie, dassk·keine Norm ist.
(b) (4P) Zeigen Sie explizit, dassk·k¨aquivalent zur euklidischen Norm ist, in dem SieA, B >0 angeben mit
Ak·k ≤ k·k2 ≤Bk·k.
Hinweis: Die ZahlenA und B brauchen nicht optimal zu sein.
(c) (2P) Skizzieren Sie die Einheitskugel B1(0) ={(x, y)∈R2| k(x, y)k<1}.
2. (a) (Je 2P) Welche der folgenden Teilmengen vonRsind offen, welche sind abge- schlossen?
A= [−2,0[∪]0,2] B = ]−1,∞[ C ={0} ∪ e−n
n∈N . Begr¨unden Sie jeweils Ihre Behauptung.
(b) (4P) Zeigen Sie, dass die folgende Menge abgeschlossen imR2 ist. Sie d¨urfen dabei keine Ergebnisse aus§3 verwenden.
E ={(x, y)∈R2 |xy≤1}
3. (10P) Es seien (X, d) ein metrischer Raum, Y ⊆X und dY die Teilraummetrik.
Zeigen Sie, dass A ⊆ Y genau dann abgeschlossen in (Y, dY) ist, wenn es eine in (X, d) abgeschlossene Menge B mitA=B∩Y gibt.
Hinweis: Das ist Satz 2.26. Es gen¨ugt nicht, diesen Satz zu zitieren.
4. Auf dem VektoraumC[0,1] der stetigen Funktionen f: [0,1]→R erkl¨aren wir kfk1:=
Z 1 0
|f(x)|dx und kfk∞:= sup
0≤x≤1
|f(x)|.
(a) (3P) Zeigen Sie, dass durch k·k1 eine Norm aufC[0,1] gegeben wird.
(b) (3P) Zeigen Sie, dass durch k·k∞eine Norm auf C[0,1] gegeben wird.
(c) (2P) F¨ur n ∈ N0 sei pn(x) := xn. Bestimmen Sie kpnk1 und kpnk∞ f¨ur alle n∈N0.
(d) (2P) Sind die Normenk·k1 undk·k∞ ¨aquivalent?
Werfen Sie Ihre L¨osungen in den daf¨ur vorgesehenen ¨Ubungsbriefkasten auf dem Flur zum Gesch¨aftszimmer 25.22.O0.55, nachdem Sie sie mit einem ausgef¨ullten Deckblatt zusammengeheftet haben. Nach dem Abgabetermin eingeworfene Bearbeitungen k¨onnen nicht ber¨ucksichtigt werden. Es ist nur ein Name pro Bearbeitung erlaubt.
Abgabe:Di, 22.10.2019, 12:20 Besprechung:30.–31. Oktober