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(1)

20 d 0

(

dH0

)

f f

(

dH1

)

Entscheidung:

H0 H1

IMBIE

Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie

Ent- scheidung

Unbekannte Wirklichkeit

H0 H1

H0 β

H1 α

Wo sind αund βin der Grafik zu finden?

α α α

α: P(Entscheidung: H1| Wirklichkeit: H0)=

ββ

ββ: P(Entscheidung: H0| Wirklichkeit: H1)=

P(Entscheidung: H1| Wirklichkeit: H0)=

αverändert sich nicht:

P(Entscheidung: H0| Wirklichkeit: H1)=

βverändert sich:

20 d 0

(

dH0

)

f f

(

dµd=20

)

Entscheidung:

H0 H1

(

d 10

)

f µd=

10

IMBIE

Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie

An welcher Stelle wurden Sie über den Tisch gezogen?

Antwort: H1: µd= 20 H1lautet µd > 0

Was passiert, wenn gilt H1: µd= 10?

a) in der Grafik

c) mit β b) mit α

Die Dichtefunktion verschiebt sich nach links, die Dichtefunktion verändert sich nicht.

(

dH1

)

f

(

d H0

)

f

(2)

20 d 0

(

dH0

)

f f

(

dH1

)

IMBIE

Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie

Konsequenz:

• α kann fest definiert werden

• β ist (zunächst) nicht definiert, da die Alternativhypothese nicht definiert ist

Ausweg: Minimal relevante Differenz

Beispiel: Nur Blutdrucksenkungen von mindestens 20 mmHg sind therapeutisch wichtig

→β kann nach oben abgeschätzt werden (1 - β) =: Power (Mächtigkeit) eines Tests

20 d 0

(

dH0

)

f f

(

dH1

)

IMBIE

Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie

Konsequenz:

• α kann fest definiert werden

• β ist (zunächst) nicht definiert, da die Alternativhypothese nicht definiert ist

Ausweg: Minimal relevante Differenz

Beispiel: Nur Blutdrucksenkungen von mindestens 20 mmHg sind therapeutisch wichtig

→β kann nach oben abgeschätzt werden (1 - β) =: Power (Mächtigkeit) eines Tests

(3)

0 d

(

dH0

)

f

IMBIE

Schließende Statistik:

einseitige – zweiseitige Fragestellung

Schließende Statistik:

einseitige – zweiseitige Fragestellung

H0: keine Wirkung µd= 0

H1: Wirkung µd≠0

In welche Richtung die Wirkung geht, ist nicht vorhergesagt

Entscheidung:

H1

H0

H1

• Entscheidungsgrenzen an beiden Seiten der Verteilung

• Fehler 1. Art: α = P(Entscheidung: H1| Wirklichkeit: H0) = + =α2+α2

5%

0

(

dH0

)

f

IMBIE

Schließende Statistik:

Entscheidungsgrenze - Quantil

Schließende Statistik:

Entscheidungsgrenze - Quantil

H0: µd= 0 H1: µd> 0 Einseitige Fragestellung

Stichprobe

15 175 190 n

-5 185 180 2

5 185 190 1

Differenz nachher vorher Patient

M M M M

d d

Wo lege ich meine Entscheidungsgrenze hin?

Ich will ein „signifikantes“ Ergebnis links von d

rechts von d Ich will kein „signifikantes“ Ergebnis

FALSCH !

Die Entscheidungsgrenze muss vorder Stichprobe festgelegt werden.

α = 5 %

Die Entscheidungsgrenze wird festgelegt indem α festgelegt wird.

Wie sieht die Entscheidungsgrenze bei festgelegtem α = 5 % aus ? Es ist das 95% - Quantil von f

(

d H0

)

(4)

5%

0

(

dH0

)

f

IMBIE

Schließende Statistik:

Entscheidungsgrenze - Quantil

Schließende Statistik:

Entscheidungsgrenze - Quantil

Wie sieht die Verteilung aus ?

= Xi

n

d 1

X

i

N ( 0 , σ

2

)

X, Y normalvt. dann auch X+Y und aX E(X+Y) = E(X) + E(Y)

E(aX) = aE(X)

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) Var(aX) = a2Var(X)

[ ]

= 1

i=1

[ ∑

i

]

=1

E

[ ]

Xi =µ=0

n X E n X n E d E

( ) ( )

( )

n X Var n X Var n X n Var d

Var i i i

2 2

2

1 1

1 σ

=

=

=

 

= 

∑ ∑ ∑

95 . 0

1 0 u

n u

n

c σ σ

µ+ α= +

=

20 d 0

(

dH0

)

f f

(

dH1

)

IMBIE

Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie

20 d 0

(

dH0

)

f f

(

d H1

)

(5)

d

• Mittelwert der Differenzen d

IMBIE

Schließende Statistik:

Prüfgröße - Teststatistik

Schließende Statistik:

Prüfgröße - Teststatistik

Hypothesen H0: µd= 0 H1: µd≠0 α = 5 %

Stichprobe

15 175 190 n

-5 185 180 2

5 185 190 1

Differenz nachher vorher Patient

M M M M

0 d

Was geht in die Größe zur Entscheidungsfindung ein?

• Standardabweichung s

• Stichprobenumfang n

Teststatistik t

(

t H0

)

f

t

IMBIE

Schließende Statistik:

t- Test für verbundene Stichproben

Schließende Statistik:

t- Test für verbundene Stichproben

Hypothesen H0: µd= 0 H1: µd≠0

(Zweiseitige Fragestellung)

α = 5 %

Stichprobe

15 175 190 n

-5 185 180 2

5 185 190 1

Differenz nachher vorher Patient

M M M M

s n : d t = ⋅

0

(

t H0

)

f

t

Bilde die Prüfgröße:

Voraussetzung: dinormalverteilt Zielgröße: Blutdrucksenkung d

n , s , d

⇒ Prüfgröße t ist t - verteilt mit (n-1) Freiheitsgraden

(6)

IMBIE

Schließende Statistik: t- Verteilung Schließende Statistik: t- Verteilung

p=

f= 0,95 0,975

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 30

40 50 60 70 80 90 100 200

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.725 1.697

1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.653

1.645 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.086 2.042

2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.972

1.960 Tab. 2: Quantile tf;0.95und tf;0.975

der tf– Verteilung

2,5% 2,5%

0

(

t H0

)

f

t IMBIE

Schließende Statistik:

t- Test für verbundene Stichproben (Beispiel)

Schließende Statistik:

t- Test für verbundene Stichproben (Beispiel)

Stichprobe

15 175 190 15

-5 185 180 2

5 185 190 1

Differenz nachher vorher Patient

M M M M

21 , 6

27 15 , 6

05 , 10

s n d t

=

=

=

Entscheidung Hypothesen

H0: µd= 0 H1: µd≠0

(Zweiseitige Fragestellung)

α = 5 %

Zielgröße: Blutdrucksenkung d

15 n

27 , 6 s

05 , 10 d

=

=

=

2.160 2.145 2.131 2.086 1.771 1.761 1.753 1.725 13 14 15 20

0,975 0,950 f=

p=

n=15 f=n-1=14 2,145 -2,145

Vergleiche t = 6,21 mit dem Quantil

Entscheidung:

H0verwerfen H1annehmen

mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α=5 % 6,21

t = 6,21 > 2,145 = t14; 0.975

(7)

IMBIE

Schätzen des Erwartungswertes Schätzen des Erwartungswertes

X: Zielgröße:

„Blutdrucksenkung“ [mmHg]

H0: µd = 0 H1: µd> 0

Gedankenexperiment 2 Es sei bekannt, dass gilt:

H1: µd = 20

Stichprobe 3 d3 55

n=

d3 Stichprobe 1

n=50

15 175 190 50

-5 185 180 2

5 185 190 1

Differenz nachher vorher Patient

M M M M

d1 d1

usw.

(

dH1

)

f

d2

d2 5

Stichprobe 2

n=70

-5 180 175 70

-10 190 180 2

180 185 1

Differenz nachher vorher Patient

M M M M

20 d 0

IMBIE

Schätzen des Erwartungswertes Schätzen des Erwartungswertes

Ein Intervall (symmetrisch zum emp. Mittelwert)

[

xc,x+c

]

das mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) den wahren Parameter überdeckt.

Für eine Normalverteilung mit bekannter Varianz σ2ist das z.B.:





+

2

2 1

1α, α

σ

σ u

n x u n x

Ist die Varianz nicht bekannt :





+

2

2 1,1

1 ,

1 α, n α

n t

n x s t n x s

Konfidenzintervall

Konfidenzwahrscheinlichkeit (1-α) Überdeckungswahrscheinlichkeit Coverage probability

Referenzen

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