20 d 0
(
dH0)
f f
(
dH1)
Entscheidung:
H0 H1
IMBIE
Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie
Ent- scheidung
Unbekannte Wirklichkeit
H0 H1
H0 β
H1 α
Wo sind αund βin der Grafik zu finden?
α α α
α: P(Entscheidung: H1| Wirklichkeit: H0)=
ββ
ββ: P(Entscheidung: H0| Wirklichkeit: H1)=
P(Entscheidung: H1| Wirklichkeit: H0)=
αverändert sich nicht:
P(Entscheidung: H0| Wirklichkeit: H1)=
βverändert sich:
20 d 0
(
dH0)
f f
(
dµd=20)
Entscheidung:
H0 H1
(
d 10)
f µd=
10
IMBIE
Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie
An welcher Stelle wurden Sie über den Tisch gezogen?
Antwort: H1: µd= 20 H1lautet µd > 0
Was passiert, wenn gilt H1: µd= 10?
a) in der Grafik
c) mit β b) mit α
Die Dichtefunktion verschiebt sich nach links, die Dichtefunktion verändert sich nicht.
(
dH1)
f
(
d H0)
f
20 d 0
(
dH0)
f f
(
dH1)
IMBIE
Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie
Konsequenz:
• α kann fest definiert werden
• β ist (zunächst) nicht definiert, da die Alternativhypothese nicht definiert ist
Ausweg: Minimal relevante Differenz
Beispiel: Nur Blutdrucksenkungen von mindestens 20 mmHg sind therapeutisch wichtig
→β kann nach oben abgeschätzt werden (1 - β) =: Power (Mächtigkeit) eines Tests
20 d 0
(
dH0)
f f
(
dH1)
IMBIE
Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie
Konsequenz:
• α kann fest definiert werden
• β ist (zunächst) nicht definiert, da die Alternativhypothese nicht definiert ist
Ausweg: Minimal relevante Differenz
Beispiel: Nur Blutdrucksenkungen von mindestens 20 mmHg sind therapeutisch wichtig
→β kann nach oben abgeschätzt werden (1 - β) =: Power (Mächtigkeit) eines Tests
0 d
(
dH0)
f
IMBIE
Schließende Statistik:
einseitige – zweiseitige Fragestellung
Schließende Statistik:
einseitige – zweiseitige Fragestellung
H0: keine Wirkung µd= 0
H1: Wirkung µd≠0
In welche Richtung die Wirkung geht, ist nicht vorhergesagt
Entscheidung:
H1
H0
H1
• Entscheidungsgrenzen an beiden Seiten der Verteilung
• Fehler 1. Art: α = P(Entscheidung: H1| Wirklichkeit: H0) = + =α2+α2
5%
0
(
dH0)
f
IMBIE
Schließende Statistik:
Entscheidungsgrenze - Quantil
Schließende Statistik:
Entscheidungsgrenze - Quantil
H0: µd= 0 H1: µd> 0 Einseitige Fragestellung
Stichprobe
15 175 190 n
-5 185 180 2
5 185 190 1
Differenz nachher vorher Patient
M M M M
d d
Wo lege ich meine Entscheidungsgrenze hin?
Ich will ein „signifikantes“ Ergebnis →links von d
→rechts von d Ich will kein „signifikantes“ Ergebnis
FALSCH !
Die Entscheidungsgrenze muss vorder Stichprobe festgelegt werden.
α = 5 %
Die Entscheidungsgrenze wird festgelegt indem α festgelegt wird.
Wie sieht die Entscheidungsgrenze bei festgelegtem α = 5 % aus ? Es ist das 95% - Quantil von f
(
d H0)
5%
0
(
dH0)
f
IMBIE
Schließende Statistik:
Entscheidungsgrenze - Quantil
Schließende Statistik:
Entscheidungsgrenze - Quantil
Wie sieht die Verteilung aus ?
∑
= Xi
n
d 1
X
i≈ N ( 0 , σ
2)
X, Y normalvt. dann auch X+Y und aX E(X+Y) = E(X) + E(Y)
E(aX) = aE(X)
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) Var(aX) = a2Var(X)
[ ]
= 1∑
i=1[ ∑
i]
=1∑
E[ ]
Xi =µ=0n X E n X n E d E
( ) ( )
( )n X Var n X Var n X n Var d
Var i i i
2 2
2
1 1
1 σ
=
=
=
=
∑ ∑ ∑
95 . 0
1 0 u
n u
n
c σ σ
µ+ α= +
= −
20 d 0
(
dH0)
f f
(
dH1)
IMBIE
Schließende Statistik: Testtheorie Schließende Statistik: Testtheorie
20 d 0
(
dH0)
f f
(
d H1)
d
• Mittelwert der Differenzen d
IMBIE
Schließende Statistik:
Prüfgröße - Teststatistik
Schließende Statistik:
Prüfgröße - Teststatistik
Hypothesen H0: µd= 0 H1: µd≠0 α = 5 %
Stichprobe
15 175 190 n
-5 185 180 2
5 185 190 1
Differenz nachher vorher Patient
M M M M
0 d
Was geht in die Größe zur Entscheidungsfindung ein?
• Standardabweichung s
• Stichprobenumfang n
Teststatistik t
(
t H0)
f
t
IMBIE
Schließende Statistik:
t- Test für verbundene Stichproben
Schließende Statistik:
t- Test für verbundene Stichproben
Hypothesen H0: µd= 0 H1: µd≠0
(Zweiseitige Fragestellung)
α = 5 %
Stichprobe
15 175 190 n
-5 185 180 2
5 185 190 1
Differenz nachher vorher Patient
M M M M
s n : d t = ⋅
0
(
t H0)
f
t
Bilde die Prüfgröße:
Voraussetzung: dinormalverteilt Zielgröße: Blutdrucksenkung d
n , s , d
→
⇒ Prüfgröße t ist t - verteilt mit (n-1) Freiheitsgraden
IMBIE
Schließende Statistik: t- Verteilung Schließende Statistik: t- Verteilung
p=
f= 0,95 0,975
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 30
40 50 60 70 80 90 100 200
∞ 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.725 1.697
1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.653
1.645 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.086 2.042
2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.972
1.960 Tab. 2: Quantile tf;0.95und tf;0.975
der tf– Verteilung
2,5% 2,5%
0
(
t H0)
f
t IMBIE
Schließende Statistik:
t- Test für verbundene Stichproben (Beispiel)
Schließende Statistik:
t- Test für verbundene Stichproben (Beispiel)
Stichprobe
15 175 190 15
-5 185 180 2
5 185 190 1
Differenz nachher vorher Patient
M M M M
21 , 6
27 15 , 6
05 , 10
s n d t
=
⋅
=
⋅
=
Entscheidung Hypothesen
H0: µd= 0 H1: µd≠0
(Zweiseitige Fragestellung)
α = 5 %
Zielgröße: Blutdrucksenkung d
15 n
27 , 6 s
05 , 10 d
=
=
=
→
2.160 2.145 2.131 2.086 1.771 1.761 1.753 1.725 13 14 15 20
0,975 0,950 f=
p=
n=15 ⇒f=n-1=14 2,145 -2,145
Vergleiche t = 6,21 mit dem Quantil
Entscheidung:
H0verwerfen H1annehmen
mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α=5 % 6,21
t = 6,21 > 2,145 = t14; 0.975
IMBIE
Schätzen des Erwartungswertes Schätzen des Erwartungswertes
X: Zielgröße:
„Blutdrucksenkung“ [mmHg]
H0: µd = 0 H1: µd> 0
Gedankenexperiment 2 Es sei bekannt, dass gilt:
H1: µd = 20
Stichprobe 3 d3 55
n= →
d3 Stichprobe 1
n=50
15 175 190 50
-5 185 180 2
5 185 190 1
Differenz nachher vorher Patient
M M M M
d1 d1
usw.
(
dH1)
f
d2
d2 5
Stichprobe 2
n=70
-5 180 175 70
-10 190 180 2
180 185 1
Differenz nachher vorher Patient
M M M M
20 d 0
IMBIE
Schätzen des Erwartungswertes Schätzen des Erwartungswertes
Ein Intervall (symmetrisch zum emp. Mittelwert)
[
x−c,x+c]
das mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) den wahren Parameter überdeckt.
Für eine Normalverteilung mit bekannter Varianz σ2ist das z.B.:
−
− − +
2
2 1
1α, α
σ
σ u
n x u n x
Ist die Varianz nicht bekannt :
−
− − − − +
2
2 1,1
1 ,
1 α, n α
n t
n x s t n x s
Konfidenzintervall
Konfidenzwahrscheinlichkeit (1-α) Überdeckungswahrscheinlichkeit Coverage probability