Bachelorarbeit B → D ∗∗ BerechnungvonkinematischenFaktorenindifferentiellenZerfallsraten

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult¨at I Institut f¨ur Physik

Berechnung von kinematischen Faktoren in differentiellen

Zerfallsraten B → D ^∗∗

Bachelorarbeit

Zur Erlangung des akademischen Grades

Bachelor of Science

im Fach Physik

Eingereicht von

Christian Riha

geboren am 20.01.1988 in Berlin

1. Gutachter : Prof. Dr. Marc Wagner 2. Gutachter : Prof. Dr. Heiko Lacker

eingereicht am 7.11.2011

Abstract

Das angeregteD^∗∗-Meson, das bei dem ZerfallB→lνD¯ ^∗∗ entsteht, kann in vier unter- schiedlichen P-wave-Zust¨anden vorliegen. Die leichten Freiheitsgrade des Mesons tragen hierbei in jeweils zwei Zust¨anden den Drehimpulsjl= 1/2 bzw.jl= 3/2. Die Zerfallsra- ten dieser vier Zust¨ande wurden bereits von diversen theoretischen Methoden untersucht, wobei eine Mehrheit von ihnen voraussagt, dass in den Zerf¨allen die j_l = 3/2-Zust¨ande dominant gegen¨uber denjl = 1/2-Zust¨anden sind. Diese Vorhersage steht allerdings in einem gewissen Widerspruch zu einigen experimentellen Befunden, wie den Ergebnissen der Testreihen, die am DELPHI durchgef¨uhrt wurden. In dieser Arbeit werden die Zer- fallsraten der vier P-wave Zust¨ande desD^∗∗ auf analytischem Wege hergeleitet und die Ergebnisse der theoretischen Methoden somit nachvollziehbarer gemacht.

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation und Vorgehensweise 4

2 Komponenten der Zerfallsrate 5

2.1 Matrixelement und Phasenraumfaktor . . . 5

2.2 Helizit¨at der Leptonen (V-A Kopplung) . . . 6

2.3 Heavy-Quark-Symmetry . . . 7

2.4 Lepton-Spinsummation und-Integration . . . 8

3 Berechnung der Zerfallsraten 9 3.1 Einf¨uhrung der Variablew . . . 9

3.2 Berechnung der Zerfallsrate f¨ur denB →l¯νlD^∗∗-Zerfall mit dem Gesamt- drehimpuls J^P = 0⁺ . . . 10

3.3 Berechnung der Zerfallsraten f¨ur die B → l¯ν_lD^∗∗-Zerf¨alle mit dem Ge- samtdrehimpuls J^P = 1⁺ . . . 11

3.3.1 Berechnung der Zerfallsraten Γ1 und Γ2 f¨urB →l¯ν_lD₁^1/2 . . . 12

3.3.2 Berechnung der Zerfallsrate Γ3 f¨urB →l¯νlD^1/2₁ . . . 13

3.3.3 Berechnung der Zerfallsraten Γ₁ und Γ₂ f¨urB →l¯ν_lD₁^3/2 . . . 15

3.3.4 Berechnung der Zerfallsrate Γ₃ f¨urB →l¯ν_lD^3/2₁ . . . 16

3.4 Berechnung der Zerfallsrate f¨ur denB →l¯ν_lD^∗∗-Zerfall mit dem Gesamt- drehimpuls J^P = 2⁺ . . . 17

3.4.1 Berechnung der Zerfallsraten Γ₂ und Γ₃ f¨urB →l¯v_lD₂^3/2 . . . 18

3.4.2 Berechnung der Zerfallsrate Γ5 f¨urB →l¯v_lD₂^3/2 . . . 19

4 Vergleich der Zerfallswahrscheinlichkeiten untereinander 20 5 Zusammenfassung 22 6 Acknowledgement 22 7 Anhang 24 7.1 Feynman-Regeln . . . 24

7.2 Anwendung des Linksh¨andigkeitsoperatorsv_L f¨ur das Antineutrino . . . . 25

7.3 Verfahren zur Lepton-Spinsummation . . . 26

7.4 Herleitungen . . . 26

1 Motivation und Vorgehensweise

F¨ur den angeregtenD^∗∗-Zustand k¨onnen die leichten Freiheitsgrade entweder den Dre- himpuls j_l^πl = ¹₂⁺ oder j_l^πl = ³₂⁺ tragen. Zusammen mit dem Drehimpuls des im D^∗∗

enthaltenen schweren c-Quarksj_Q^πQ = ¹₂⁺ koppelt j_l^πl dementsprechend zu den Gesamt- drehimpulsen J^πJ = (0⁺,1⁺,1⁺,2⁺). Die vier m¨oglichen Zust¨ande f¨ur das angeregte D^∗∗-Meson sind demnach

D_J^jl= (D^1/2₀ , D^1/2₁ , D^3/2₁ , D^3/2₂ )

In theoretischen Berechnungen wird vorhergesagt, dass dieB →l¯νD^∗∗-Zerf¨alle mitj_l= 3/2 um eine Gr¨oßenordnung wahrscheinlicher sind, als die mit j_l = 1/2, was allerdings nicht von experimentellen Befunden gest¨utzt werden kann. Im Gegenteil wurde hier die Beobachtung gemacht, dass die Zerf¨alle mit j_l = 1/2 gegen¨uber den Zerf¨allen mit j_l = 3/2 um eine Gr¨oßenordnung dominant sind. Diese widerspr¨uchlichen Aussagen werden unter dem Begriff

”1/2 VS 3/2 Puzzle“ zusammengefasst. Folgende Tabelle verdeutlicht diese Diskrepanz:

Abbildung 1: Aus Referenz [3]; Vergleich zwischen Befunden der a) ALEPH, b) DELPHI, c) CLEO -Experimente und einer Modellrechnung zur Zerfallsrate desB- Meson-Zerfalls.

”wide“ steht f¨ur undefinierte Ereignisse

Die ermittelten Daten der Experimente, die am CLEO, ALEPH und DELPHI durch- gef¨uhrt wurden, stimmen miteinander ¨uberein und ¨uberschneiden sich im Rahmen der Zerf¨alle mit j_l = 3/2 ebenfalls mit den Ergebnissen der Modellrechnung. Das Problem tritt bei den Zerf¨allen mit j_l = 1/2 auf. Die Abweichung zwischen theoretischen und

experimentellen Befunden wirft die Frage auf, ob die j_l = 1/2-Zust¨ande nun um den Faktor ≈ 10 dominant oder unterdr¨uckt gegen¨uber den jl = 3/2-Zust¨anden sind. Was die theoretischen Ergebnisse betrifft, so lassen sich diese mithilfe der in Referenz [3] gege- benen Formeln f¨ur die Zerfallsraten vonB →l¯νD^∗∗ mitD^∗∗= (D₀^1/2, D₁^1/2, D₁^3/2, D₂^3/2) nachvollziehen.

Ziel dieser Arbeit ist es, mittels analytischer Techniken, die Zerfallsraten von [3] zu re- produzieren und ihre Herleitung p¨adagogisch aufzuarbeiten. Hierzu gehen wir auf alle Komponenten der Zerfallsraten explizit ein und werden die dazu n¨otigen Rechenschritte in detaillierter Weise aufzeigen. Nachdem wir die Formeln aus [3] reproduziert haben, werden wir zum Abschluss die relativen Verh¨altnisse der Zerfallsraten untereinander bestimmen. Hierf¨ur ist es n¨otig, das hadronische Matrixelement τ(w), die Isgur-Wise- Funktion, zu kennen. Da sich τ(w) jedoch schwer berechnen l¨asst (z.B. mit Gitterrech- nungen), werden wir es gen¨ahert als Konstante betrachten.

Im Anhang der Arbeit befinden sich Herleitungen, die aufgrund ihrer L¨ange den Rahmen der einzelnen Kapitel sprengen w¨urden. Auf sie wird an den entsprechenden Stellen verwiesen.

2 Komponenten der Zerfallsrate

2.1 Matrixelement und Phasenraumfaktor

Abbildung 2: Feynman-Graph des B→l¯νD^∗∗-Zerfalls

In dieser Arbeit nehmen wir uns einer allgemeinen Form des semileptonischenB-Meson- Zerfalls an, der entweder in der Form ¯B⁰→l¯νlD^∗∗oderB⁻→l¯vlD^∗∗vorkommen kann.

Beide F¨alle unterscheiden sich lediglich durch das jeweilige leichtere Quark, das entwe- der ein Anti-Down oder ein Anti-Up-Quark sein kann. Dieser Unterschied wird jedoch in den folgenden Berechnungen keine Relevanz haben, sodass wir ¯B⁰ und B⁻ durch B repr¨asentieren werden. Ebenso verh¨alt es sich f¨ur die Art des Leptons und seines Anti- neutrinos, die wir allgemein mit lund ¯ν_l bezeichnen werden.

Um die Zerfallsrate Γ f¨ur den B-Meson-Zerfall ermitteln zu k¨onnen, m¨ussen wir sei- nen lorentzinvarianten Phasenraumfaktor dLips, die Masse m_B des B-Mesons und das Matrixelement M kennen:

dΓ = M²

2m_BdLips (1)

Der Phasenraumfaktor setzt sich zusammen aus der Delta-Funktion, die die Energie- Impulserhaltung beinhaltet, und der Zahl der verf¨ugbaren Endzust¨ande des Dreiteil- chensystemsD^∗∗,l, ¯ν_l.

dLips= (2π)⁴δ⁴(p_D^∗∗ +p_l+p_ν¯l−p_B) d³p_D^∗∗

2ED^∗∗(2π)³ d³p_l 2El(2π)³

d³p_¯νl

2Eν¯l(2π)³ (2) Die Komponenten des Matrixelements lassen sich aus dem Feynman-Graphen in Abbil- dung 2 ablesen (siehe Feynman-Regeln im Anhang 7.1).

M = g_w

√

2j_had^µ −g_µν+q_µq_ν/M_W² q²−M_W²

g_w

√

2j_lep^ν ≈jhad,µ

g_w²

2M_W² j_lep^µ (3) Der Term in der Mitte ist der Propagatorterm desW⁻-Austauschteilchens mit der Bo- sonenmasseM_W und der Kopplungskonstante der schwachen Wechselwirkungg_w. Unter der Annahme, dass der Vierer-Impuls¨ubertragq²klein gegen¨uber der BosonenmasseM_W ist, l¨asst sich die in (3) gemachte N¨aherung nachvollziehen. jhad undjlep bezeichnen den vierdimensionalen Hadron- bzw. Leptonstrom. Um den Lepton-Viererstromj_lepgenauer bestimmen zu k¨onnen, gehen wir n¨aher auf die Spineigenschaften der Leptonen an die- sem Vertex im Abschnitt (2.2) ein. jhad hingegen erfordert die Ausnutzung der

”Heavy Quark Symmetry“ und wird im Abschnitt 2.3 besprochen.

2.2 Helizit¨at der Leptonen (V-A Kopplung)

Der Lepton-Viererstrom jlep an einem Vertex fasst die vierdimensionalen Spinoren der ein- bzw. auslaufenden Teilchen, sowie dieγ-Matrix zusammen.

j_lep^µ = ¯u(l)γ^µv_L(¯ν_l) (4) Die Spinoren sind die L¨osungen der Dirac-Gleichung. Man unterscheidet zwischen u_1,2, den L¨osungen mit positiver Energie und v1,2, den L¨osungen mit negativer Energie. In der Feynman-Interpretation haben Teilchen den Spinoru1 oderu2 und Antiteilchen den Spinor v₁ oder v₂, da Antiteilchen gerade als Teilchen betrachtet werden, die sich mit

negativer Energie r¨uckw¨arts in der Zeit ausbreiten. Wir nehmen die im Zerfall auftreten- den Antineutrinos als masselos an. F¨ur ein masseloses Teilchen ist die Helizit¨at eindeutig bestimmt und f¨allt mit seiner Chiralit¨at zusammen, da sich masselose Teilchen stets mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und es somit kein Bezugssystem gibt, von dem sie ¨uberholt werden k¨onnten. Masselose Antineutrinos kommen in der Natur nur mit positiver Heli- zit¨at vor und haben demnach die Chiralit¨at

”rechtsh¨andig“. Da Antineutrinos nach der Feynman-Interpretation nun aber Neutrinos darstellen, die r¨uckw¨arts in der Zeit laufen, haben sie gerade die umgekehrte Spinrichtung und m¨ussen demnach negative Chira- lit¨at haben. Um bei einem masselosen Antiteilchen

”Rechtsh¨andigkeit“ sicherzustellen, ben¨otigt man also den Linksh¨andigkeitsoperator P_Lv = v_L = ¹₂(1−γ⁵)v. Dieser Sach- verhalt kann rechnerisch im Anhang 7.2 nachvollzogen werden. Die Rechtsh¨andigkeit unseres Antineutrinos wird somit gew¨ahrleistet, wenn wir (4) durch folgende Form er- setzen:

j_lep^µ = ¯u(l)γ^µ1

2(1−γ⁵)v(¯ν_l) (5)

Obwohl wir f¨ur weitere Betrachtungen (5) verwenden werden, sei erw¨ahnt, dass der Leptonstrom j_lep nun aus zwei Termen besteht: Dem Vektorstrom V^µ = ¯u(l)γ^µ1₂v(¯ν_l) und dem Axialvektorstrom A^µ = ¯u(l)γ^µ1₂γ⁵v(¯ν_l). In diesem Zusammenhang reden wir von der V −A-Kopplung, die uns im n¨achsten Abschnitt f¨ur den Hadronstrom erneut begegnen wird.

2.3 Heavy-Quark-Symmetry

In der Heavy-Quark-Symmetry betrachtet man die Masse mQ des schweren Quarks im B-Meson als unendlich schwer (m_Q → ∞). Aus dieser N¨aherung heraus ergibt sich unter anderem die Eigenschaft, dass die Compton Wellenl¨ange des schweren Quarks zu klein ist, um von den leichten Freiheitsgraden (den leichten Quarks und den Gluonen) des Hadrons erfasst zu werden. Dadurch koppeln der Drehimpuls der leichten Freiheitsgrade j_l und der des schweren Quarks j_Q nicht mehr aneinander und sind jeder f¨ur sich eine Erhaltungsgr¨oße. Der Quantenzustand desD^∗∗-Mesons wird damit von dem Drehimpuls j_lder leichten Freiheitsgrade bestimmt. Im angeregten Zustand desD^∗∗-Mesons k¨onnen die leichten Freiheitsgrade die Drehimpulsej_l^πl = ¹₂⁺ und j_l^πl= ³₂⁺ annehmen, w¨ahrend j_Q^πQ = ¹₂⁺ der Drehimpuls des schweren Quarks ist. π_l und π_Q bezeichnen hierbei die jeweiligen Parit¨aten. Somit ist der Zustand desD^∗∗ jeweils zweifach inj_l entartet:

D^∗∗=D^j_J^l = (D₀^1/2, D₁^1/2, D₁^3/2, D₂^3/2) (6) Die zugeh¨origen Gesamtdrehimpulse sind J^P = (0⁺,1⁺,1⁺,2⁺). Der Hadronstrom be- schreibt nun den ¨Ubergang desB-Mesons in einen dieser vier Zust¨andeD_J^jl

j_had,µ=|V_cb|< D_J^jl|V_µ−A_µ|B > (7) Die Operatoren des Vektor- und Axialstroms vermitteln dabei in Form der V −A- Kopplung den jeweiligen ¨Ubergang.|V_cb|ist ein Teil der CKM-Matrix und dient als Maß f¨ur die Wahrscheinlichkeit der b→c-Transition des schweren Quarks.

2.4 Lepton-Spinsummation und-Integration

Nutzt man die aus den letzten Abschnitten gewonnenen Ausdr¨ucke (5) und (7) und setzt diese in (3) ein, so ergibt sich

M = 2G√F

2 |V_cb|< D^j_J|V_µ−Aµ|B >u(l)γ¯ ^µ(1−γ⁵)v(¯νl) (8) wobei die Fermikonstante GF durch die Beziehung ^G√F

2 = _8M^gw22 W

eingebunden wurde.

Da die Spins der Leptonen in verschiedenen Endzust¨anden auftreten k¨onnen, m¨ussen wir ¨uber diese summieren. Die Spinsummation f¨ur den hadronischen Anteil des Zerfalls nehmen wir vorl¨aufig noch nicht vor, da wir die einzelnen Spineinstellungen des D^∗∗

in den nachfolgenden Abschnitten separat behandeln werden. Aufgrund von Γ ∝ |M|² muss M zun¨achst quadriert werden:

|M|²= 2G²_FH_µνL^µν (9) Hµν =|V_cb|² < D^j_J|(V −A)µ|B >< D^j_J|(V −A)ν|B > (10)

L^µν = X

s1,s2

¯

u(l)γ^µ(1−γ⁵)v(¯νl)¯v(¯νl)γ^ν(1−γ⁵)u(l) (11) Die Ausdr¨ucke Hµν undL^µν bezeichnen die Quadrate des Hadron- bzw. Leptonstroms.

Bei (11) ist zu erw¨ahnen, dass die Summation ¨ublicherweise mit einem Vorfaktor ¹₂ erfolgt, hier jedoch wegen des festgelegten Spins von ¯ν_l entf¨allt. Mit einer Methode, die im Anhang 7.3 erl¨autert wird, l¨asst sich bei Vernachl¨assigung der Leptonenmassen (11) umformen zu

L^µν=Spur[γ^µ(1−γ⁵)p/_lγ^ν(1−γ⁵)p/_¯ν

l] = 8p_α,¯vlp_β,lx^µανβ (12) x^µανβ=g^µαg^νβ−g^µνg^αβ+g^µβg^αν +i^µανβ (13) und ergibt somit f¨ur das Quadrat des Matrixelements, das alle Leptonenspins ber¨ucksichtigt

M² = 16G²_FH_µνp_α,¯vlp_β,lx^µανβ (14) Dies f¨uhrt nun zusammen mit (2) und (1) zu

dΓ = G²_FHµνpα,¯v_lp_β,lx^µανβ (2π)⁵mB

δ⁴(p_D^∗∗ +p_l+p_¯νl−p_B)d³p_D^∗∗

ED^∗∗

d³p_l El

d³p_ν¯l Eν¯l

(15) Weiterhin ist es m¨oglich, ¨uber die Leptonimpulse zu integrieren, indem man sich einer Technik aus [5] bedient

Iαβ(q) = Z

d³p~ld³p~v¯l

p_l,αp_v¯l,β E_lEv¯_l

δ⁽⁴⁾(pl+pv¯l−q) = 1

6π(gαβq²+ 2qαqβ) (16) Dies vereinfacht unsere Zerfallsrate nun auf

dΓ = πG²_FHµν

6(2π)⁵m_B

d³p_D^∗∗

E_D^∗∗ x^µανβ(g_αβq²+ 2q_αq_β) (17)

Außerdem k¨onnen wir die Relationd³~p_D^∗∗ =|~p_D^∗∗|E_D^∗∗dE_D^∗∗dΩ_D^∗∗ verwenden, wobei die Integration ¨uber alle RaumwinkeldΩD^∗∗ = 4π ergibt.

dΓ = G²_FH_µν 48π³mB

|~pD^∗∗|dE_D^∗∗x^µανβ(gαβq²+ 2qαqβ) (18) Die letzte Gr¨oße, die noch betrachtet werden muss, ist das Quadrat des Hadron-Viererstroms H_µν. Da diese aufgrund der Einsteinschen Summenkonvention nur im Zusammenhang mitx^µανβ(g_αβq²+ 2q_αq_β) berechnet werden kann, f¨uhren wir an dieser Stelle die Schreib- weise

H˜ =H_µνx^µανβ(g_αβq²+ 2q_αq_β) (19) dΓ = G²_FH˜

48π³mB

|~pD^∗∗|dE_D^∗∗ (20) ein. Die Berechnung von ˜H werden wir f¨ur jeden der vier B −D^j_J^l- ¨Uberg¨ange im fol- genden Kapitel separat vornehmen und k¨onnen somit die jeweiligen Gleichungen f¨ur die Zerfallsrate aufstellen.

3 Berechnung der Zerfallsraten

3.1 Einf¨uhrung der Variable w

Die Zerfallsraten in [3] h¨angen nur von der Variablew=vBvD^∗∗ ab. Sie ist das Produkt der Vierergeschwindigkeiten desB-Mesons und desD^∗∗-Mesons. Wir wollen unsere Aus- gangsformel f¨ur die Berechnung der Zerfallsraten (20) ebenfalls auf die FormdΓ =dΓ(w) bringen und begeben uns in das Ruhesystem desB-Mesons. Die Vierergeschwindigkeiten der Mesonen sind dann

v_B = _m^pB

B =







 1 0 0 0







 und v_D^∗∗ = _m^pD∗∗

D∗∗ =









ED∗∗

m_D∗∗

0 0 γ|~v_D^∗∗|









Mit diesen Vierergeschwindigkeiten bzw. -Impulsen ergibt sich w = _m^pD∗∗pB

Bm_D∗∗ = _m^ED∗∗

D∗∗

und wir erhalten weiterhin

dE_D^∗∗ =m_D^∗∗dw (21)

|~p_D^∗∗|= (E_D^2∗∗ −m²_D^∗∗)^1/2 =m_D^∗∗(w²−1)^1/2 (22) Mit diesen Umformungen wird aus (20)

dΓ dw = ^G

2 Fm²_D∗∗

48π³mB(w²−1)^1/2H˜ (23)

Diese Form werden wir als Ausgangspunkt f¨ur die Herleitung aller folgenden Zerfalls- raten nutzen. Mit den Formeln (22) und (21) erhalten wir f¨ur die Viererimpulse der Mesonen

p_B=







 m_B

0 0 0









p_D^∗∗ =m_D^∗∗









w 0 0 (w²−1)^1/2









3.2 Berechnung der Zerfallsrate f¨ur den B →l¯ν_lD^∗∗-Zerfall mit dem Gesamtdrehimpuls J^P = 0⁺

Durch die N¨aherungm_Q→ ∞der Heavy-Quark-Symmetry ergeben sich Symmetrien, die die Berechnung der Hadronstr¨ome erheblich erleichtern. Die vier Hadronstr¨ome k¨onnen dann vereinfacht als Funktionen von |τ_jl(w)|, der Isgur-Wise-Funktion, betrachtet wer- den. Die Ans¨atze f¨ur die Berechnung des Hadronstroms lassen sich den Arbeiten von Nathan Isgur und Mark B. Wise (Referenz [2]) entnehmen. F¨ur denB−D₀^1/2- ¨Ubergang haben wir

< D₀^1/2|V_ν−Aν|B >= 2(v_D^∗∗ −vB)ν[mBmD^∗∗]^1/2|τ_1/2(w)| (24) Hµν = 4(v_D^∗∗ −vB¯)µ(v_D^∗∗ −vB¯)νm_Bm_D^∗∗|V_cb|²|τ_1/2(w)|² (25) Es bleibt noch, den Ausdruck ˜H = H_µνx^µανβ(g_αβq² + 2q_αq_β) zu bestimmen. Hierzu nehmen wir in (25) die Substitution (vD^∗∗ −vB)µ = (_m^pD∗∗

D∗∗ − _m^pB

B)µ := χµ vor und erhalten

H˜ = 4∗2[(χq)²−χ²q²]m_Bm_D^∗∗|V_cb|²|τ_1/2(w)|² (26) Eine detailliertere Rechnung hierf¨ur findet sich im Anhang 7.4. Setzt man nun (26) in (23) ein, so ergibt sich

dΓ

dw = G²_Fm³_D∗∗

48π³ 4(w²−1)^1/22[(χq)²−χ²q²]|V_cb|²|τ_1/2(w)|² (27) Der letzte Schritt, der nun noch getan werden muss, um die Zerfallsrate desB →l¯ν_lD₀^1/2- Zerfalls zu berechnen, ist [(χq)²−χ²q²] zur¨uckzusubstituieren.

[(χq)²−χ²q²] = ((pD^∗∗

m_D^∗∗ − pB

m_B)(pB−pD^∗∗))²−( pD^∗∗

m_D^∗∗ − pB

mB¯

)²(pB−pD^∗∗)² (28) [(χq)²−χ²q²] = [(p_Bp_D^∗∗)²−p²_Bp²_D^∗∗][−2 1

m_Bm_D^∗∗ + 1 m²_D∗∗

+ 1

m²_B] (29) [(χq)²−χ²q²] =m²_B(w²−1)[1−mD^∗∗

m_B ]² (30)

Mithilfe der Umformung

r= mD^∗∗

m_B (31)

erhalten wir schließlich f¨ur die erste Zerfallsrate

dΓ dw = ^G

2 Fm⁵_B¯

48π³ |V_cb|²4r³(w²−1)^3/22(1−r)²|τ_1/2(w)|² (32)

Dieses, sowie jedes folgende Ergebnis f¨ur die Zerfallsraten, unterscheidet sich von den Vorgaben in Referenz [3] um den Faktor 2. Da alle Zerfallsraten um denselben Faktor von [3] abweichen, liegt die Vermutung nahe, dass es sich um unterschiedliche Normierungen zwischen unseren Ausgangsformel und denen aus Referenz [3] handelt.

3.3 Berechnung der Zerfallsraten f¨ur die B →lν¯_lD^∗∗-Zerf¨alle mit dem Gesamtdrehimpuls J^P = 1⁺

Die Zust¨ande D^1/2₁ und D₁^3/2 sind gekennzeichnet durch J^P = 1⁺ und tragen somit, im Gegensatz zum D₀^1/2-Zustand, einen Drehimpuls. Dieser Umstand macht es erfor- derlich, dass wir nun dem Spin desD^∗∗-Mesons mithilfe von -Vektoren Rechnung tra- gen. Zun¨achst wollen wir die Zerfallsrate des B →l¯νlD₁^1/2-Zerfalls berechnen. Aufgrund der Analogien der beiden Zust¨ande mit J^P = 1⁺ wenden wir im Anschluss dasselbe L¨osungsverfahren auf den B→l¯ν_lD^3/2₁ -Zerfall an. Der Referenz [2] entnehmen wir

< D₁^1/2|V^ν−A^ν|B >=

[2(w−1)^ν

| {z }

a^ν

−2v_D^ν∗∗αvB,α

| {z }

b^ν

−i^ναβγα(vB+vD^∗∗)β(vB−vD^∗∗)γ

| {z }

ic^ν

][mBmD^∗∗]^1/2|τ_1/2(w)|

(33) H^µν =|V_cb|²[a^νa^µ−a^νb^µ−ia^νc^µ−b^νa^µ+b^νb^µ+ib^νc^µ−ic^νa^µ+ic^νb^µ−c^νc^µ]m_Bm_D^∗∗|τ_1/2(w)|²

(34) Nun berechnen wir wieder ˜H

H˜ = 2|V_cb|²[[[(aq)−(bq)]²+ 2i[(bq)−(aq)](cq)−(cq)²] (35)

−((a−b)²+ 2i[(bc)−(ac)]−c²)q²][mBmD^∗∗]|τ_1/2(w)|²

Um die genaue Herleitung von (35) nachvollziehen zu k¨onnen, wird an dieser Stelle auf den Anhang 7.4 verwiesen. Diese Formel wird uns als Ansatz f¨ur ˜H bei der Berechnung der Zerfallsraten von nun an immer wieder begegnen. Was die verschiedenen Spinein- stellungen = (₁, ₂, ₃) f¨ur Zust¨ande mit J^P = 1⁺ betrifft, so lassen sich diese durch folgende Vektoren kennzeichnen.

₁ =







 0 1 0 0









₂ =







 0 0 1 0









₃ =







 γβ

0 0 γ









Da unser entstehendes D^∗∗-Meson nicht ruht, sondern wir uns im Ruhesystem des B- Mesons befinden, wurden diese Spinvektoren bereits mit einer speziellen Lorentztrans- formation versehen. Dies wird deutlich bei ₃, da es den Spin in z-Richtung, der Aus- breitungsrichtung desD^∗∗-Mesons, repr¨asentiert. Im Folgenden wird f¨ur jeden m¨oglichen Spinzustand i jeweils das zugeh¨orige Γi miti= 1,2,3 errechnet und im Anschluss die Summe Γ =P

Γ_i gebildet.

3.3.1 Berechnung der Zerfallsraten Γ1 und Γ2 f¨ur B →lν¯lD^1/2₁ Wir betrachten nun die einzelnen Summanden in (35)

a^ν = 2(w−1)^ν b^ν = ^2p

ν D∗∗

m_D∗∗m_B(δp^δ_B) q^ν = (p_B−p_D^∗∗)^ν c^ν =^ναβγα(_m^pB

B + _m^pD∗∗

D∗∗)β(_m^pB

B −_m^pD∗∗

D∗∗)γ

und erinnern uns an die Konvention des Levi-Civita-Symbols ^ναβγ =







+1, wennναβγ eine gerade Permutation von 0123 ist

−1, wennναβγ eine ungerade Permutation von 0123 ist 0, bei mehrfach auftretenden Indizes

Im Folgenden werden die Schritte f¨ur die Aufl¨osung des inc auftretenden-Tensors aus p¨adagogischen Gr¨unden im Detail erl¨autert:

Da der Term c = c(ν, α, β, γ) den -Tensor enth¨alt, muss ˜H(₁) ¨uber alle m¨oglichen c(ν, α, β, γ) summiert werden. Hierbei kann jeder Index die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen, sodass es prinzipiell 4⁴ = 256 M¨oglichkeiten f¨ur c(ν, α, β, γ) gibt. Jedoch gibt es nur wenige Index-Kombinationen, bei denen c nicht 0 wird, da doppelt auftretende Indizes nicht vorkommen d¨urfen. Der Index α muss den Wert 1 annehmen, da ¨uber ihn mit ₁ multipliziert wird. ¨Uber die Indizes β und γ wird ^ναβγ mit den Viererimpulsen pD^∗∗

und p_B, die zusammen ¨uber eine 0. und 3. Komponente verf¨ugen, multipliziert.β und γ teilen sich also die Werte 0 und 3. F¨ur den Index ν, ¨uber den c mit den Termen a, b und q multipliziert wird, bleibt somit der Wert 2. c kann also nur dann mit anderen Termen multipliziert werden, wenn diese eine 2. Komponente haben, die ungleich 0 ist.

Aus diesem Grund ist (cq) = 0 und (ac) = 0.b ist ebenfalls gleich 0, dap_B und₁ ¨uber keine gemeinsame Komponente multipliziert werden k¨onnen, die verschieden von 0 ist.

Dasselbe gilt f¨ur (aq) = 0. Ber¨ucksichtigt man alle genannten Argumente, vereinfacht sich (35) zu.

H(˜ 1) = 2mD^∗∗mB|V_cb|²|τ_1/2(w)|²[−a²q²

| {z }

S

+c²q²

|{z}

T

] (36)

S = 4(w−1)²q² (37)

(37) tr¨agt ein positives Vorzeichen, da_ν^ν =−1. Die beiden TermeS undT wollen wir getrennt betrachten, da sich S verh¨altnism¨aßig leicht ermitteln l¨asst, T hingegen eine Betrachtung und Summation aller in c² vorkommenden Indexkombinationen erfordert.

Die Indizes α und ν haben eindeutige Wertzuweisungen. F¨ur β und γ gibt es jedoch zwei M¨oglichkeiten, sich die Werte 0 und 3 zu teilen. Da c quadriert wird, ergeben sich dementsprechend vier verschiedene M¨oglichkeiten f¨urT:

T =TβγBC = (T0303, T0330, T3003, T3030) (38) Die Indizes dienen hierbei lediglich der Kennzeichnung vonT und weisen nicht auf einen kontravarianten Term hin.

TβγBC = [^21βγ( pB

m_B + pD^∗∗

m_D^∗∗)β(pB

m_B − pD^∗∗

m_D^∗∗)γ^21BC(pB

m_B + pD^∗∗

m_D^∗∗)B(pB

m_B − pD^∗∗

m_D^∗∗)C]q² (39)

T₀₃₀₃= (1 +w)²(w²−1)q² T0330= (1−w²)(w²−1)q² T₃₀₃₀= (1−w)²(w²−1)q²

T₃₀₀₃ =T₀₃₃₀

Eine detaillierte Fassung dieser Rechnung befindet sich im Anhang 7.4. Da das T nun die Summe all dieser Teilterme ist, ergibt sich entsprechend.

T =T₀₃₀₃+T₀₃₃₀+T₃₀₀₃+T₃₀₃₀= [(1 +w)²+ 2(1−w²) + (1−w)²](w²−1)q² (40)

T = 4(w²−1)q² (41)

Damit ist die Summe der Terme S und T

S+T = 4[(w−1)²+ (w²−1)]q² = 4[2w(w−1)]q² (42) Bedient man sich, unter Zuhilfenahme von (21) und (31), der Relation

q² = (p_B−p_D^∗∗)² = (m²_B−2m_BE_D^∗∗ +m²_D∗∗) = (1−2rw+r²)m²_B (43) und setzt dies nun in den Ausdruck (36) ein, so ergibt sich

H(˜ 1) = 8mD^∗∗m³_B|V_cb|²|τ_1/2(w)|²2w(1−2rw+r²)(w−1) (44) Analog dazu l¨asst sich

H(˜ 1) = ˜H(2) (45)

f¨ur die zweite Spineinstellung mit 2 ermitteln, da die Unterschiede zwischen 1 und 2

f¨ur die gezeigten Rechenschritte nicht von Bedeutung sind. F¨ur die Zerfallsraten Γ₁ und Γ2 ergibt sich nach (23) und bei erneuter Anwendung von (31)

dΓ₁

dw = dΓ₂

dw = G²_Fm⁵_B

48π³ |V_cb|²8r³(w−1)(w²−1)^1/22w(1 +r²−2rw)|τ_1/2(w)|² (46) 3.3.2 Berechnung der Zerfallsrate Γ3 f¨ur B→lν¯lD^1/2₁

Betrachten wir nun erneut die einzelnen Terme aus (35). Um Γ3 berechnen zu k¨onnen, m¨ussen wir auf 3 zur¨uckgreifen. Es handelt sich dabei um einen Lorentz-Boost in z- Richtung f¨ur Vierervektoren und enth¨alt somit eine 0. und 3. Komponente. Wir erinnern uns daran, dass bereits zwei der vier Indizes des Vertauschungstensors in c die Werte 0 und 3 annehmen k¨onnen. Wenn ein weiterer Index 0 oder 3 annehmen muss, folgt daraus, dass mindestens zwei Indizes denselben Wert annehmen m¨ussen und cdadurch 0 wird. Ber¨ucksichtigt man diesen Sachverhalt, so k¨urzt sich (35) f¨ur3 zu

H(˜ ₃) = 2m_Bm_D^∗∗|V_cb|²|τ_1/2(w)|²[[(aq)−(bq)]²

| {z }

S

−(a−b)²q²

| {z }

T

] (47)

Was folgt, ist ein l¨angerer Prozess der Termumformung, dem wir zum besseren Verst¨andnis zumindest in den Ans¨atzen nachgehen wollen.

S= [2(w−1)(m_Bγβ−wm_D^∗∗γβ+m_D^∗∗γ(w²−1)^1/2)− 2γβm_B

m_D^∗∗m_B(wm_D^∗∗m_B−m²_D∗∗)]² (48) T = [−4(w−1)²−2[2(w−1) 2γβm_B

m_D^∗∗m_B(βγwm_D^∗∗−γm_D^∗∗(w²−1)^1/2)]+4m²_Bγ²β²p²_D∗∗

m²_D∗∗m²_B ]q² (49) Diese ausgedehnten Terme werden mit den folgenden Relationen erheblich vereinfacht.

γ =w (50)

γβ= (w²−1)^1/2 (51)

Die Herleitungen f¨ur (50) und (51) befinden sich im Anhang 7.4. Mit diesen Umformun- gen ergibt sich

S = [2(w−1)m_B−2(wm_B−m_D^∗∗)]²(w²−1) (52) T = [−4(w−1)²+ 4(w²−1)]q² (53) Nach einigen weiteren Umformungsschritten und der Relation (43) erhalten wir das Ergebnis

S−T = 4(w−1)²(m_B+m_D^∗∗)² (54) mit dem wir nun, unter Anwendung von (31) die Zerfallsrate Γ3 berechnen k¨onnen:

H(˜ 3) = 8m³_BmD^∗∗|V_cb|²|τ_1/2(w)|²(w−1)²(1 +r)² (55) dΓ3

dw = G²_Fm⁵_B

48π³ |V_cb|²8r³(w²−1)^1/2(w−1)²(1 +r)²|τ_1/2(w)|² (56) Nachdem wir nun f¨ur den D^1/2₁ -Endzustand die Zerfallsraten f¨ur alle drei Spineinstel- lungenkennen, sind wir in der Lage, seine Zerfallsrate Γ = Γ₁+ Γ₂+ Γ₃ zu berechnen.

dΓ dw = ^G

2 Fm⁵_B

48π³ |V_cb|²4r³(w−1)2(w²−1)^1/2[(w−1)(1 +r)²+ 4w(1 +r²−2rw)]|τ_1/2(w)|² (57) Wie bereits angek¨undigt, werden wir die Zerfallsrate f¨urB→D^3/2₁ nun mit dem gleichen L¨osungsverfahren behandeln.

< D^1/2₁ |V^ν−A^ν|B >= [a^ν −b^ν−ic^ν][mBmD^∗∗]^1/2|τ_3/2(w)| (58) F¨ur ˜H k¨onnen wir erneut (35) verwenden, wobei wir nun allerdings mit|τ_3/2(w)|rechnen werden.

H˜ = 2|V_cb|²[[[(aq)−(bq)]²+ 2i[(bq)−(aq)](cq)−(cq)²]

−((a−b)²+ 2i[(bc)−(ac)]−c²)q²]mBmD^∗∗|τ_3/2(w)|²

Mita,bund c wurden die folgenden Terme substituiert:

a^ν = ^{(1−w√ 2)}

2 ^ν b^ν = (^√3

2 p^µ_B

mB +^2−w√

2 p^ν_D∗∗

mD∗∗)(_δm^pδB

B) q^ν = (p_B−p_D^∗∗)^ν c^ν = (−^w+1

2√

2)^ναβγ_α(_m^pB

B +_m^pD∗∗

D∗∗)_β(_m^pB

B −_m^pD∗∗

D∗∗)_γ

DaD^3/2₁ ebenfalls einen Drehimpuls besitzt, m¨ussen die Zerfallsraten Γ = Γ1+ Γ2+ Γ3

f¨ur die einzelnen Spineinstellungen = (1, 2, 3) auch hier getrennt berechnet werden und im Anschluss wieder zur Gesamtzerfallsrate zusammengef¨uhrt werden.

3.3.3 Berechnung der Zerfallsraten Γ₁ und Γ₂ f¨ur B →lν¯_lD^3/2₁

In diesem Teilabschnitt widmen wir uns zun¨achst wieder den M¨oglichkeiten der In- dexkombinationen in dem Term c(ναβγ) f¨ur die c nicht 0 wird. Da D₁^3/2 ein Zustand mit Drehimpuls J = 1 ist, haben die -Vektoren dieselbe Form wie bei D₁^1/2. Auch der konzeptionelle Aufbau der Terme a,b und c ist identisch mit dem der Terme der B −D^1/2₁ -Transition. Die in (3.3.1) dargelegte Argumentationskette f¨uhrt also wieder zur folgenden Vereinfachung f¨ur (35)

H(˜ ₁) = 2m_D^∗∗m_B|V_cb|²|τ_3/2(w)|²[−a²q²

| {z }

S

+c²q²

|{z}

T

] (59)

Auch die TermeSundTlassen sich dank der Analogien zwischen demD^1/2₁ -Zustand und demD^3/2₁ -Zustand in bereits angewendeter Weise l¨osen. Die Berechnung vonT wird an dieser Stelle nicht wiederholt, da sie vollkommen identisch mit der in 3.3.1 ist. Lediglich der Vorfaktor ^(w+1)

2√

2 , der nun in centhalten ist, wird erg¨anzt.

S = (1−w²)²

2 q² (60)

T = (w+ 1)²

2 (w²−1)q² (61)

S+T = (w²−1)

2 [(w²−1) + (w+ 1)²]q²=w(w+ 1)(w²−1)q² (62) Unter Anwendung der Beziehungen (31), (43) und dem gerade gewonnenen Ausdruck f¨urS+T l¨asst sich nun ˜H(1) f¨ur den B−D^3/2₁ - ¨Ubergang berechnen

H(˜ ₁) = 2m_D^∗∗m³_B|V_cb|²|τ_3/2(w)|²w(w+ 1)(w²−1)(1−2rw+r²) (63) Mit der abermals auftretenden Gleichheit ˜H(1) = ˜H(2) ergibt sich schließlich f¨ur die Zerfallsraten Γ1 und Γ2:

dΓ₁

dw = dΓ₂

dw = G²_Fm⁵_B

48π³ |V_cb|²2r³(w+ 1)(w²−1)^3/2w(1 +r²−2rw)|τ_3/2(w)|² (64)

3.3.4 Berechnung der Zerfallsrate Γ3 f¨ur B→lν¯lD^3/2₁

Dank der Analogien der Zerf¨alle mit J = 1 k¨onnen wir die Vereinfachung c = 0 aus Abschnitt 3.3.2 erneut verwenden und erhalten

H(˜ ₃) = 2m_Bm_D^∗∗|V_cb|²|τ_3/2(w)|²[[(aq)−(bq)]²

| {z }

S

−(a−b)²q²

| {z }

T

] (65)

Auch hier f¨uhrt das Resubstituieren und Rechnen zu ausgedehnten Termen, S= [(1−w²)

√2 (m_Bγβ−wm_D^∗∗γβ+γm_D^∗∗(w²−1)^1/2) (66)

−γβ[^√3

2(m_B−wm_D^∗∗) +^2−w√

2 (wm_B−m_D^∗∗)]]² T = [−(w²−1)²

2 −2γβ(1−w²)

2 [3∗γβ+ (2−w)mD^∗∗wγβ−mD^∗∗(w²−1)^1/2γ

m_D^∗∗ ] (67)

+^γ2₂^β2[9 + 6(2−w)w+ (2−w)²]]q² die sich nach Verwendung von (50) und (51) vereinfachen zu

S = [(1−w²)

√2 m_B−[ 3

√2(m_B−wm_D^∗∗) +2−w

√2 (wm_B−m_D^∗∗)]]²(w²−1) (68)

T = [−(w²−1)²

2 + 3(w²−1)²+(w²−1)

2 [9 + 6(2−w)w+ (2−w)²]]q² (69) und nach einigen Termumformungen das Folgende ergeben:

S−T = 2(w²−1)(w+ 1)(w−1)(mB+mD^∗∗)² (70) Wir sind nun in der Lage, ˜H(3) und somit Γ3 zu bestimmen.

H(˜ ₃) = 2m³_Bm_D^∗∗2|V_cb|²|τ_3/2(w)|²(w²−1)(w+ 1)(w−1)(1 +r)² (71) dΓ₃

dw = G²_Fm⁵_B

48π³ |V_cb|²2r³2(w+ 1)(w²−1)^3/2(w−1)(1 +r)²|τ_3/2(w)|² (72) Nachdem wir nun f¨ur denB →l¯ν_lD^3/2₁ -Zerfall die Zerfallsraten f¨ur alle drei _i kennen, sind wir in der Lage, die Summe der Zerfallsraten Γ = Γ1+ Γ2+ Γ3 zu berechnen.

dΓ

dw = ^G_48π^2Fm3^5B|V_cb|²2r³(w+ 1)2(w²−1)^3/2[(w−1)(1 +r)²+w(1 +r²−2rw)]|τ_3/2(w)|² (73)

3.4 Berechnung der Zerfallsrate f¨ur den B →l¯ν_lD^∗∗-Zerfall mit dem Gesamtdrehimpuls J^P = 2⁺

Der letzte der vier m¨oglichen ¨Uberg¨ange des B-Mesons in dasD^∗∗-Meson l¨asst sich in bereits vertrauter Weise in die Form

< D^1/2₁ |V^ν−A^ν|B >= [a^ν −b^ν−ic^ν][m_Bm_D^∗∗]^1/2|τ_3/2(w)| (74)

¨uberf¨uhren, sodass man f¨ur ˜H den Ausdruck (35) verwenden kann. Die Substitutionen wurden hierbei folgendermaßen durchgef¨uhrt:

a^ν =−√

3(w+ 1)^p_m^B,δ

B^δν b^ν = ⁻

√ 3p^ν_D∗∗

m²_BmD∗∗(δωp^δ_Bp^ω_B) q^ν = (pB−pD^∗∗)^ν c^α= (−

√3

2 )^ανβγν,δ p^δ_B mB(_m^pB

B +_m^pD∗∗

D∗∗)β(_m^pB

B − _m^pD∗∗

D∗∗)γ

Es f¨allt auf, dass die Spineinstellungen nun in Form eines zweidimensionalen Tensors vorliegen. Dies l¨asst sich dadurch erkl¨aren, dass der GesamtdrehimpulsJ desD^∗∗in die- sem Zustand nun 2 ist, was auch der Grund daf¨ur ist, dass wir nun f¨unf Spineinstellungen f¨ur die B −D₂^3/2-Transition ber¨ucksichtigen m¨ussen. Die m¨oglichen Spineinstellungen werden somit durch die f¨unf, auf den Wert 1 normierten, spurlosen und symmetrischen ⁰-Matrizen dargestellt:

⁰₁ = ^√1

2









0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0









⁰₂ = ^√1

2









0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0









⁰₃ = ^√1

2









0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0









⁰₄ = ^√1

2









0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0









⁰₅ = ^√1

6









0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −2









Diese f¨unf Matrizen m¨ussen des Weiteren mit einer speziellen Lorentztransformation in das Ruhesystem desB-Mesons ¨uberf¨uhrt werden, da sich dasD^∗∗-Meson mitsamt seines Spins relativ zu diesem Ruhesystem bewegt. Die Spineinstellung ⁰ = (⁰₁, ⁰₂, ⁰₃, ⁰₄, ⁰₅) kann hierf¨ur mithilfe der Lorentzmatrixλdurch

=λ^T0λ (75)

transformiert werden. Die Lorentzmatrix hat die Form

λ=









γ 0 0 γβ

0 1 0 0

0 0 1 0

γβ 0 0 γ









Nach der Ausf¨uhrung der speziellen Lorentztransformation, erhalten wir die f¨unf - Matrizen, mit denen wir auch im Ruhesystem von B rechnen k¨onnen.