0.00.20.40.60.81.00.00.10.20.30.000.040.080.120.000.010.020.030.040.05

(1)

3 Zentraler Grenzwertsatz

Starkes Gesetz der großen Zahlen: fast sichere Konvergenz der Realisierungen einer Folge von ZVen.

Nun: Konvergenz der Verteilungen einer Folge von ZVen.

Bezeichnung

C

_X

= { x ∈ R : F

_X stetig in

x }

^{Menge der}

Stetigkeitspunkte der Verteilungsfunktion

X

. 39. Beispiel

X ∼ U ([a, b]) ⇒ C

_X

= R X ∼ N (µ, σ

²

) ⇒ C

_X

= R

X ∼ B (n, p) ∧ p ∈ ]0, 1[ ⇒ C

_X

= R \ { 0, . . . , n }

(2)

40. Definition Folge

(X

_n

)

_n∈^N von ZVen konvergiert in Verteilung gegen eine ZV

X

, falls

∀ x ∈ C

_X

: lim

n→∞

F

_X_n

(x) = F

_X

(x)

Bez.:

X

_n

−→

^d

X

41. Beispiel F¨ur

X

_n

= a

_n und

X = a

mit

a, a

_n

∈ R

gilt

X

_n

−→

^d

X ⇔ lim

n→∞

a

_n

= a.

Beachte: Aus

a

_n

> a

folgt

F

_X_n

(a) = 0

^{, w¨ahrend}

F

_X

(a) = 1

^.

(3)

42. Beispiel

(i) Satz III.37: Gelte

X

_n

∼ B (n, p

_n

)

^mit

lim

_n→∞

n · p

_n

= λ > 0

^sowie

X ∼ P (λ)

^{. Dann}

X

_n

−→

^d

X

.

(ii) ¨U^BUNG M:H9, WInf:H9: Gelte

X

_n

∼ H (n, n

₀

(n), k)

^mit

n

₀

(n) ∈ { 1, . . . , n }

^und

lim

_n→∞

n

₀

(n)/n = p ∈ ]0, 1[

^sowie

X ∼ B (k, p)

^.

Dann

X

_n

−→

^d

X

.

(4)

(iii) ¨U^BUNG: Sei

Y

_n Anzahl der F¨uhrungszeitpunkte bei symmetrischer Bernoulli-Irrfahrt der L ¨ange

n

,

X

_n

= Y

_n

/n

und

X

Arcussinus-verteilt, d.h.

F

_X

(x) = 2/π · arcsin( √ x)

f¨ur

x ∈ [0, 1]

. Dann

X

_n

−→

^d

X

.

(5)

(iv) T^UTORIUM T2:3: Satz von de Moivre-Laplace. Gelte

Y

_n

∼ B (n, p)

mit

p ∈ ]0, 1[

und

X

_n

:= Y

_n

− n · p p n · p(1 − p)

sowie

X ∼ N (0, 1)

^{. Dann}

X

_n

−→

^d

X

.

(6)

43. Bemerkung Es existiert eine Metrik

ρ

auf

M := { Q : Q

Wahrscheinlichkeitsmaß auf

B

₁

} ,

so daß

X

_n

−→

^d

X ⇔ lim

n→∞

ρ(P

_X_n

, P

_X

) = 0,

siehe Vorlesung ”Probability Theory“.

44. Lemma Falls

F

_X stetig und

X

_n

−→

^d

X

:

n→∞

lim sup

x∈R

| F

_X_n

(x) − F

_X

(x) | = 0.

Beweis. ¨U^BUNG

(7)

45. Lemma Falls

F

_X stetig und

X

_n

−→

^d

X

:

∀ A ∈ M : lim

n→∞

P ( { X

_n

∈ A } ) = P ( { X ∈ A } ).

Beweis. Gilt nach Defi nition für A = ]−∞, x]. Für A = {x} ûnd ε > 0 P({X_n ∈ A}) ≤ P ({x − ε < X_n ≤ x})

= P({X_n ≤ x}) − P({X_n ≤ x − ε}).

Somit

0 ≤ lim sup

n→∞

P({X_n ∈ A}) ≤ F_X(x) − F_X(x − ε).

Aufgrund der Stetigkeit von F_X ⁱⁿ x ^folgt

n→∞lim P({X_n ∈ A}) = 0 = P({X ∈ A}).

(8)

Im folgenden

• (X

_i

)

_i∈^N ^{iid und}

X

₁

∈ L

₂ mit

σ

²

:= Var(X

₁

) ∈ ]0, ∞ [

• µ := E(X

₁

)

• S

_n^∗

:= S

_n

− n · µ σ · √

n

standardisierte Summenvariablen

• Z

standard-normalverteilte Zufallsvariable Es gilt

E(S

_n^∗

) = 0

und

Var(S

_n^∗

) = 1

.

46. Satz Zentraler Grenzwertsatz

F¨ur jede Folge

(X

_i

)

_i∈^N wie oben gilt

S

_n^∗

−→

^d

Z

.

Beweis. Irle (2001, Kap. 12) und Vorlesung ”Probability Theory“.

(9)

47. Bemerkung Der zentrale Grenzwertsatz besagt grob: ”Ein Gesamteffekt, der Summe vieler kleiner zentrierter

unabh¨angiger Einzeleffekte ist, ist n ¨aherungsweise normalverteilt.“

(10)

48. Beispiel Dichten von Summen n unabh ¨angiger Exp(1)-verteilter ZVen

0 1 2 3 4 5 6 7

0.00.20.40.60.81.0

n= 1

0 2 4 6 8

0.00.10.20.3

n= 2

0.040.080.12

n= 10

0.010.020.030.040.05

n= 50

(11)

49. Beispiel Dichten von standardisierten Summen n unabh ¨angiger

Exp(1)-verteilter ZVen

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.40.5

n= 1

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.40.5

n= 2

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.40.5

n= 10

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.40.5

n= 50

(12)

50. Beispiel Sei

α > 0

. Betrachte symmetrische

Bernoulli-Irrfahrt

(S

_n

)

_n∈^N. Gesucht: Folge

(c

_n

)

_n∈^N in

]0, ∞ [

, so daß

n→∞

lim P ( {| S

_n

| ≤ c

_n

} ) = α.

(13)

Wahrscheinlichkeitsfunktion von S_n f¨ur n = 100

−1000 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

k

P({S n=k})

(14)

Wahrscheinlichkeitsfunktion von S_n f¨ur n = 1000

−100000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

0.01 0.02 0.03 0.04

k

P({S n=k})

(15)

Standardisieren mit µ = 0 und σ = 1:

{|S_n| ≤ c_n} = {−c_n ≤ S_n ≤ c_n} = {−c_n/√

n ≤ S_n^∗ ≤ c_n/√

n}.

Also f¨ur c_n := c · √ n

n→∞lim P({|S_n| ≤ c_n}) = lim

n→∞ P({−c ≤ S_n^∗ ≤ c})

= Φ(c) − Φ(−c) = 2Φ(c) − 1.

Somit leistet das (1 + α)/2^-Quantil

c := Φ⁻¹((1 + α)/2)

der Standard-Normalverteilung das Verlangte.

(16)

51. Beispiel ¨Uberbuchung von Flugverbindungen:

•

^Kapazit¨at

K ∈ N

•

Buchungsanzahl

n ∈ N

, wobei die Passagiere

unabh¨angig jeweils mit Wahrscheinlichkeit

p ∈ ]0, 1[

erscheinen

Gegeben

α ∈ ]0, 1[

^{. Bestimme}

n ∈ N

, so daß ¨Uberbuchung ungef¨ahr mit Wahrscheinlichkeit

α

.

Modell:

X

₁

, . . . , X

_n iid,

X

₁

∼ B (1, p)

^.

(17)

Es gilt nPn

i=1 X_i > Ko

= {S_n^∗ > c_n} ^mit S_n^∗ :=

Xn

i=1

(X_i − p)/p

n · p · (1 − p), c_n := (K − n · p)/p

n · p · (1 − p).

Somit ist c_n n¨aherungsweise durch c_n = Φ⁻¹(1 − α) gegeben.

F¨ur K := 1000, p := 0, 9 und α := 0, 01 ergibt sich n ¨aherungsweise

c_n = 2, 33 und

n = 1086.

Hiermit gilt f¨ur die erwartete Anzahl nicht bef ¨orderter Passagiere bei hinreichend großem n

E

max

Xn

X_i − K, 0

≤ 86 · P nXⁿ

X_i > Ko

< 1.

320/1

(18)

52. Satz F¨ur

a, b, µ, µ

_i

∈ R

mit

a 6 = 0

und

σ, σ

_i

∈ ]0, ∞ [

gilt:

(i) Falls

X ∼ N (µ, σ

²

)

^{, dann}

a · X + b ∼ N (a · µ + b, a

²

· σ

²

)

^.

(ii) Falls

X

₁

, . . . , X

_n unabh¨angig und

X

_i

∼ N (µ

_i

, σ

_i²

)

, dann

P

_n

i=1

X

_i

∼ N (µ, σ

²

)

mit

µ := P

_n

i=1

µ

_i und

σ

²

:= P

_n

i=1

σ

_i².

Beweis. ¨U^BUNG

53. Bemerkung Satz 52 zeigt, daß

S

_n^∗

∼ N (0, 1)

^{, falls}

X

₁

∼ N (µ, σ

²

)

^.