Numerik f¨ ur Maschinenbauer und Mechaniker Ubung 11, L¨ ¨ osungsvorschlag
Gruppen¨ubung
G 32 (Symmetrie, positive Definitheit)
Gegeben sei eine Faktorisierung einer Matrix A in der Form
A =
1 0 0 2 1 0 3 4 1
2 4 6 0 2 8 0 0 −1
.
Beantworten Sie (ohne auszumultiplizieren!) folgende Fragen:
a) Ist A symmetrisch?
b) Ist A positiv definit?
a) Wir schreiben A als
A=
1 0 0 2 1 0 3 4 1
2 0 0 0 2 0 0 0 −1
1 2 3 0 1 4 0 0 1
.
Dies ist eine Zerlegung der Form A = LDLT mit einer Diagonalmatrix D. Da DT =D, giltAT = (LDLT)T = (LT)TDTLT =LDLT =A. Also istAsymmetrisch.
b) Es ist det(A) = det(L) det(R) = 1·(−4) =−4<0. Also istA nicht positiv definit.
G 33 (Cholesky–Zerlegung) Gegeben sei die Matrix
A =
3 9 6
9 29 16 6 16 17
.
Berechnen Sie die Cholesky–Zerlegung vonA. Ist die Matrix positiv definit?
Die Cholesky–Zerlegung von A=LLT ist gegeben durch l11 = √a11 =√
3
l21 = l111a21 = √13 ·9 = 3√ 3 l31 = l1
11a31 = √13 ·6 = 2√ 3 l22 = p
a22−l221= q
29−(3√
3)2 =√ 2 l32 = l122(a32−l21l31) = √12(16−3√
3·2√
3) = −√ 2 l33 = p
a33−l231−l232= q
17−(2√
3)2−(−√
2)2 =√ 3
Numerik f¨ur Maschinenbauer und Mechaniker, ¨Ubung 11, L¨osungsvorschlag 2 Damit ergibt sich
L=
√3 3√
3 √
2 2√
3 −√ 2 √
3
.
Die Matrix ist somit positiv definit, da die Cholesky-Zerlegung existiert und regul¨ar ist (alle Diagonalelemente vonL sind strikt positiv).
G 34 (Schwach besetzte Matrix, Gaußelimination) Gegeben sei die schwach besetzte Matrix
A :=
× × × × ×
× ×
× ×
× ×
× ×
,×steht f¨ur ein Element 6= 0.
a) Zeigen Sie: Bei der Gaußelimination werden im ersten Hauptschritt (Elimination der Elemente in Positionen (2,1) bis (5,1)) in A im allgemeinen alle urspr¨unglichen Nullen zerst¨ort.
b) Finden Sie Permutationen P1 und P2, so dass bei Anwendung der Gaußelimination auf P1AP2 alle vorhandenen Nullen erhalten bleiben.
a) Rechne den ersten Schritt derLR–Zerlegung symbolisch.
× × × × ×
× ×
× ×
× ×
× ×
7→
× × × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
b) P1 von links permutiert Zeilen und die Matrix P2 von rechts permutiert Spalten von A. Damit die urspr¨unglichen Nullen bei der Gaußelimination nicht zerst¨ort werden, muss man die erste Zeile auf den letzten Platz tauschen. Wenn man die erste Spalte mit der letzten tauscht, wird man im ersten Gaußschritt nur das letzte Element eliminieren m¨ussen. Diese Vertauschungen kann man z.B. auf folgende Art und Weise durchf¨uhren:
– komplettes Umkehren der Spalten- und Zeilenreihenfolge (Permutation (5,4,3,2,1))
P1 =P2 =
1 1 1 1 1
Numerik f¨ur Maschinenbauer und Mechaniker, ¨Ubung 11, L¨osungsvorschlag 3 – oder Tausch der ersten Spalte mit der letzten und dir erste Zeile mit der letzten
(Permutation (5,2,3,4,1)):
P1 =P2 =
1 1
1 1 1
.
In beiden Fallen ergibt sich:
P1AP2 =
× ×
× ×
× ×
× ×
× × × × ×
.
Der erste Gaußschritt ergibt
× ×
× ×
× ×
× ×
× × × ×
.
Auch in den folgenden Schritten bleiben die Nullen erhalten.
