UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE Institut f¨ur Analysis
HDoz. Dr. P. C. Kunstmann
WS 2008/09 31.01.2009
Ubungsklausur¨
H¨ohere Mathematik I f¨ur die Fachrichtung Physik
Aufgabe 1 (10 Punkte)
a) Pr¨ufen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und berechnen Sie diese gegebe- nenfalls.
i) lim
x→0
sin2(x) sinh(x2) ii) lim
x→1−ln(x) ln(1−x)
iii) lim
x→0
x sin(cosx)
b) F¨ur jedes n ∈N sei
bn:=
n
X
k=0
2k k!
!n
.
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
∞
X
n=1
bn
n3xn
und bestimmen Sie alle x∈R, f¨ur die diese Reihe konvergiert.
Aufgabe 2 (10 Punkte)
a) Die Funktionf: R→R ist gegeben durchf(x) := e3x+ arctan(x).
i) Zeigen Sie, dass f eine Umkehrfunktion f−1: f(R) → R besitzt, indem Sie be- gr¨unden, dass f injektiv ist, und das Bild f(R) von f angeben.
ii) Bestimmen Sie f−1(1) und berechnen Sie (f−1)0(1).
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass f¨ur alle x, y ∈[−π/3, π/3] gilt ln(cosx)−ln(cosy)
6√
3|x−y|.
– bitte wenden –
Aufgabe 3 (10 Punkte)
a) Berechnen Sie die folgenden Integrale.
i) Z
√ 2 0
x3e−x2dx
ii) Z 2π
−2π
sinh(x) cosh(x)dx
b) Zeigen Sie, dass f¨ur alle m, n∈N gilt Z 1
0
xn(1−x)mdx= Z 1
0
xm(1−x)ndx .
c) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral Z ∞
0
sin2(x) x2 dx
konvergent ist und dass sein Wert in [0,2] liegt.
Hinweis:F¨ur jedes x∈[0,1] gilt |sin(x)|6x.
Aufgabe 4 (10 Punkte)
a) F¨ur n∈N sei die Funktionfn: [0,1]→R definiert durch fn(x) := e−nsin(x).
i) Bestimmen Sie die Funktion f: [0,1]→R, gegen die die Funktionenfolge (fn)n∈N punktweise konvergiert.
ii) Zeigen Sie, dass (fn)n∈N auf [0,1] nicht gleichm¨aßig konvergent ist.
iii) Zeigen Sie: F¨ur jedes ε ∈(0,1) konvergiert (fn)n∈N gleichm¨aßig auf [ε,1].
b) Seien f, g: [−1,1] → R. Die Funktion g sei beschr¨ankt und f sei differenzierbar mit f0(0) =f(0) = 0.
Zeigen Sie, dass f·g in 0 differenzierbar ist, und berechnen Sie (f ·g)0(0).
Viel Erfolg!
Nach der Klausur:Die korrigierten ¨Ubungsklausuren k¨onnen ab Dienstag, den10.02.2009, im Sekretariat (Zimmer 3B-02, Allianzgeb¨aude 05.20) abgeholt werden.
Fragen zur Korrektur sind ausschließlich am Donnerstag, den 12.02.2009, von 13.15 Uhr bis 13.45 Uhr im Seminarraum S 31 (Geb¨aude 20.30) m¨oglich.
