Minimale Elemente in HO

(1)

Modellierung von

I Aussagendurch Logiken I Datendurch

I Mengen, Folgen, Sprachen

Darstellungsformen, Anwendungen, Beziehungen, Operationen I Zusammenh¨angenundEigenschaftendurchRelationen

Darstellungsformen, Anwendungen, Beziehungen, Operationen I Eigenschaften bin¨arer RelationenR ⊆M²

I reflexive, symmetrische, transitive H¨ullen I spezielle bin¨are Relationen:

I Aquivalenzrelationen, Zerlegung in ¨¨ Aquivalenzklassen I Halbordungen, Hasse-Diagramm

(2)

RelationR ⊆M² heißt Halbordnung

gdw.R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch (antisymmetrische Quasiordnung)

a∈M undb ∈M heißen genau dannvergleichbarbzgl. R, wenn (a,b)∈R oder (b,a)∈R

Beispiele:

I R ⊆ {a,b,c,d}² mit

R ={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,d),(c,c),(d,d)}

I ≤ ⊆N² (≤ ⊆Z²,≤ ⊆R²)

I R ⊆( Menge aller MIB-Studenten )² mit

(p,q)∈R gdw.(Matrikelnr. vonp) ≤(Matrikelnr. von q) I Teilerrelation | ⊆N² mita|b gdw. ∃c ∈Z|ac =b

(Warum ist | ⊆Z² keine Halbordnung?) ( ¨UA) I Teilmengenrelation⊆ ⊆ 2^{a,b,c}2

(Tafel) I v ⊆({a,b}^∗)²

(3)

F¨ur HalbordnungR ⊆M²:

x heißt minimalbzgl. R in M gdw.

1. x ∈M und

2. ∀y ∈M : ((y,x)∈R→y =x)

Enth¨altM genau ein bzgl. R minimales Element, dann heißt diesesMinimumbzgl. R inM. Beispiele:

I bzgl. ≤ist 2 minimal in {2,3,6}, 2 ist auch Minimum bzgl. ≤in {2,3,6}, I 3 ist bzgl. ≤nicht minimal in {2,3,6}, I 0 ist Minimum von Nbzgl.≤

I Z enth¨alt kein minimales Element bzgl.≤ I bzgl. |sind 2 und 3 minimal in{2,3,6},

aber in {2,3,6} existiert kein Minimum bzgl. |

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(4)

F¨ur HalbordnungR ⊆M²:

x heißt maximalbzgl. R in M gdw.

1. x ∈M und

2. ∀y ∈M : ((x,y)∈R→y =x)

Enth¨altM genau ein bzgl. R maximales Element, dann heißt diesesMaximum bzgl.R inM. Beispiele:

I bzgl. ≤ist 6 maximal in {2,3,6}, 6 ist auch Maximum bzgl. ≤in {2,3,6}, I 3 ist bzgl. ≤nicht maximal in {2,3,6}, I bzgl. |ist 6 maximal in{2,3,6},

6 ist auch Maximum bzgl. |in {2,3,6},

I bzgl. vsind b,aaund aba maximal in{a,b,aa,aba}, aber in {a,b,aa,aba}, existiert kein Maximum bzgl.v

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