Kombinatorische Probleme in der Physik Wintersemester 2005/2006. Inhalt

Inhalt

0 Einleitung

A) Historischer Streifzug durch die Kombinatorik

B) Beispiel aus der altgriechischen Literatur(Plutarch) und Schroeder-Zahlen (Schroeders Problem II) OEIS A001003

OEIS = On Line Encyclopedia of Integer Sequences http://www.research.att.com/˜njas/sequences/

C) Schroeders Problem I und Catalan-Zahlen (A000108) I Rekursionsformeln und Erzeugende Funktionen

Allgemeines: Ring formaler Potenzreihen A) Lineare Ketten

1. Endliche harmonische N-Kette mit n¨achster Nachbarwechselwirkung und festen Enden

Transfermatrixmethode, Kettenpolynomsysteme{Sn} und {Sˆn} Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen

Jacobi-Matrix. Orthogonale Polynomsysteme (OPS) in einer Variablen, Satz von Favard

2. Endliche harmonische N-Kette mit freien Enden ( ¨Ubung)

3. Unendliche harmonische Kette mitN−Elementarzelle und periodischen Rand- bedingungen definiert

4. Kombinatorische Interpretation der Kettenpolynome: ,, Morse-Kode ‘‘-Polynome 5. Spezialfall monoatomare Ketten und S−Tschebyschew-Polynome

Eigenschaften: Erzeugende Funktion. Differentialgleichung, Rodrigues-Formel, orthogonales Polynomsystem OP S, Gewichtsfunktion, Kettenbruchnenner,

Binet-de Moivre-Formel, trigonometrische Version T−Tschebyschew Spurpolynome, explizite Summenform

Spezielle Werte der S_n(x)-Polynome. Anwendung f¨ur Graph P_N. Nullstellen Cassini-Identit¨at

Potenzen von 2×2 Matrizen, Cayley−Hamilton-Theorem und S−Polynome mit deren Binet-de Moivre-Formel

6. Unendliche harmonische Kette mitN−Elementarzelle

SpurpolynomeT_N := (SpM_N)/2. Bloch-Floquet-L¨osung mit Phase, B¨ander aus|TN(x)| ≤ 1

Beispiele: N = 2 B¨ander, N = 3 ( ¨Ubung)

Fortsetzung auf S. 2

- 2 - B) (N + 1)-Term Rekursionsformeln

1. Rekursionsformel der s^(N)n -Polynome in den Unbestimmten y_n−(j−1)^(j) , j = 1, ..., N Interpretation als Strichkode. Kombinatorische Faktoren

2. Spezialfalln−unabh¨angiger Koeffizienten

Explizite Summenformel ders^(Nn ⁾(σ1, .., σN)-Polynome (y_k^(j) ≡ Y^(j) →σj).

3. Anwendung bei symmetrischen Funktionen (Polynomen) s^(Nn ⁾(σ1, .., σN) = hn|~σ mit σN+1 = 0 = σN+2 = ...

Definition der elementarsymmetrischen Funktionen {σn}, der monomialen symmetrischen Funktionen {kn}, der komplettsymmetrischen Funktionen {hn}, auch mit Partitionenλ als Index

Zusammenhang zwischen den erzeugenden Funktionen Σ(t) und H(t).

4. Potenzsummen {pn}

Erzeugende Funktion P(t) und Zusammenhang zur logarithmischen Ableitung von Σ(t). Newton-Identit¨aten

L¨osung dieser Identit¨aten: Determinantenformel f¨ur r! (−1)^rσr aus den Potenz- summen {pn}

Analoge Determinantenformel f¨ur hr aus den {σn} und deren Umkehrung.

Sp¨ater: analoge Formel f¨ur r!h_r aus den Potenzsummen {p_n} als L¨osung der Brioschi-Identit¨aten

5. Waring-Formel

L¨osung der Newton-Identit¨aten, um die Potenzsummen pr, bzw. die Momente aus den {σ_n} zu erhalten

Verallgemeinerte Mehrvariablen-t^(N)−Tschebyschew-Polynome (R. Lidl- Ch. Wells) Rekursionsformeln und Zur¨uckf¨uhrung auf die s^(Nn ⁾-Polynome via Strichkode- argument. Explizite, iterierte Summenform

C) Fibonacci-Kette

1. 1D quasiperiodische Kette mit zwei rational unabh¨angigen Vektoren des Fourier- Moduls.

Streifenprojektionsmethode

Zweiwertige quasiperiodische Folge{hn(ϕ)} mit dem goldenen Schnitt ϕals irrationaler Zahl.

Fourier-Transformierte, Intensit¨aten

Beatty-Folgen: {A(n)}, {B(n)}zu vorgegebnen irrationalenx, y mit 1/x+ 1/y = 1 Mit x = 1/ϕ: Wythoff-Folgen. {hn(ϕ)≡h(n)}-Folge als Substitutionsfolge,

Fibonacci-Baum

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2. Fibonacci-Zahlensystem: Zeckendorf-Darstellung von Zahlen. S¨atze dazu.

Wythoff-Folgen aus der Zeckendorf-Darstellung. Kettenbruchtheorieresultate zum Beweis

Fibonacci-Baum (mit 0↔1) und Substitutionsfolge {h(n)}

Identit¨aten zu den Wythoff-Folgen und ihren Iterationen

Abz¨ahlfolgen: z(n) f¨ur Zahl der A−Zahlen ≤ n; p(n) f¨ur Zahl der AB-Zahlen< n;

Wythoff-Darstellung von Zahlen. ( ¨Aquivalenz zur Zeckendorf-Darstellung) 3. Fibonacci-Ketten und Kombinatorik

Kettenpolynome in zwei Unbestimmten: {Sn(Y, y)} und {Sˆn(Y, y)}. Rekursion, Formel aus Strichkode mit Koeffizienten (n;l, k) kombinatorische Bedeutung im Zeckendorf- bzw. Wythoff-Zahlensystem.

D) Total asymmetrischer Exklusionsprozess (TASEP)

1. Definition des eindimensionalen, getriebenen, stochastischen Kettensystems mit N Pl¨atzen.

Suche nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung im statischen (Langzeit-)zustand:

PN(τ1, ..., τN).

2^N linear abh¨angige Gleichungen f¨ur die P_N’s, Reservoirparameter α undβ, Symmetrie des Prozesses

Zustandssumme Z_N^(α,β) mit unnormiertenf_N^(α,β)(τ1, ..., τN).

2. Rekursion der N = 3 Kette auf die N = 2 Kette. Verallgemeinert f¨ur Rekursion N → N −1, N ≥ 2

L¨osung der Rekursionsformel ¨uber BlockerwartungswerteY_N^(α,β)(K),K = 1, ..., N+1, mit Y_N^(α,β)(N + 1) = Z_N^(α,β). Rekursionsformeln dieser Erwartungswerte

BeispielY_N^(1,1)(K) identifiziert als Unterzahlendreieck desCatalan−Faltungsdreiecks OEIS A033184

Erzeugenden Funktion GY_M^(α,β)(x) := P_∞

N=M−1 Y_N^(α,β)(N −M + 2)x^N, M = 1,2, .., als Diagonalenabz¨ahler

Rekursions inM f¨ur diese erzeugende Funktionen

L¨osung dieser inhomogenen Rekursion mit M-unabh¨angigen Koeffizienten.

Allgemeiner homogener Fall, dann spezielle L¨osung der inhomogenen Rekursion.

Faktorisierte L¨osung: GY₁^(α,β)(x) = g₁^(α,β)(x)g₁^(β,α)(x), mit g₁^(α,β)(x) := (1 − β − α β x c(α β x))/(1 − β − α x), wobei c(x) die erzeugende Funktion der Catalan-Zahlen ist.

Formel f¨ur Z_N^(α,β)-Folge ergibt Zweiparameterverallgemeinerte Catalan-Zahlen C_N+1^(α,β) (siehe OEIS f¨ur kleine Zahlen α, β ∈N₀)

Formel f¨ur GY_M^(α,β)(x),M >= 2

3. Mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit T_N,p^(α,β) (Einpunktfunktion).

Blockerwartungswerte X(α, β;N, p, K), p= 1..N, K =p+ 1, ..., N + 1, mit T_N,p^(α,β) = X(α, β;N, p, N+ 1)

Rekursion derX(α, β;N, p, K). Umorganisation mit k = K−p statt K: Zahlendreiecke X_k^(α,β)(N, p), k = 1, ... und vorgegebene α, β Parameter T_N,p^(α,β) = X_N^(α,β)_−p+1(N, p)

Umgeschriebene Rekursionsformeln. Zahlenpyramidenstruktur, mit Niveauabz¨ahler k = 1,2, ...

Diagonalabz¨ahler M = 1,2, ... und Schichtenabz¨ahler s := M −k = 0,1, ....

Gesucht: T_N,p=N^(α,β) _+1−M = X_M^(α,β)(N, N −M + 1) Erzeugende Funktion GX_k,M^(α,β)(x) = P_∞

N=M X_k^(α,β)(N, N + 1−M)x^N

Rekursion dieser erzeugenden Funktionen ink undM mit denGY₁^(α,β)(x) als input.

Erzeugene Funktion f¨ur Pyramidenschichten:

GXs^(α,β)(z, x) = P_∞

M=s+1 GX_M−s,M^(α,β) (x)z^M

Rekursion dieser erzeugenden Funktionenund deren L¨osung Allgemeiner homogener Fall und spezieller inhomogener Fall

Ergebnis f¨ur T_N,p^(α,β) mittels Catalan−Faltungsdreieck (OEIS A044104) II Symmetrische Gruppe SN und Schur-Funktionen sλ

A) Einleitung und ¨Uberblick

darin: Formeln f¨ur sλ aus den Potenzsummen{pn}und irreduziblen Charakterenχ^λ der S_N. Definition von Multinomialkoeffizient M2(n, ρ) mit ρ`n ρ

Permanente P er(A) (Beispiel: Probl`eme des rencontres als ¨Ubung) Immananten|A|^(λ) mit Charakteren χ^λ_ρ der S_N

Brioschi-Identit¨aten und Determinantenformel f¨ur komplett symmetrische Funktionen h_r aus den Potenzsummen {p_n} und Permanentenformel.

Schur-Funktionen sλ, λ ` N als Immanante einer gewissen Matrix PN der Potenz- summen. Speziell: s(1^N) = σN und s(N) = hN .

Schur-Funktionen als kombinatorische Gr¨oßen: Definition von spaltenstrengen ebenen Partitionen (csp) zu Young- (oder Ferrers)-Diagramm Y^λ, λ`n. Menge csp^λ

sλ(x) = P

π∈csp^λ x^π_^x^π_^· · ·, mit Anzahl der Zahlen j im csp-Element π gleich πj, j=1,2,...

Fortsetzung auf S. 5

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Definition von Young-Tableaux Y_j^λ, j = 1,2, ..., N!

Standardtableaux. Hakenregel zur Bestimmung von f^λ, der Zahl der Standard- tableaux zu Y^λ

Satz ¨uber die irreduziblen Matrixdarstellungen der SN und Young-Diagramme Y^λ, λ`N, und deren Dimension f^λ

B) Permutationen, Konjugationsklassen, Partitionen 1. Permutationen

Gruppeneigenschaften von SN, Reihenfolgefestlegung, Zykelschreibweise, Transposition

S¨atze: a) Jedes π ∈SN eindeutig (b.a.R.) als elementfreie Zykeln Zykeltyp und Partitionen in zwei Schreibweisen und deren Umrechnung Konjugierten Partititonen

b) Jeder k-Zykel, (nicht eindeutig) als Produkt von 2-Zykeln, wobei die Reihenfolge wichtig ist

c) Aus a) und b): Jede Permutationπ ∈SN als Produkt von Transpositionen.

Parit¨at einer Permutation ¨uber das alternierende Polynom A(x1, ..., xn) := Q

1≤i<j≤N(xi − xj).

AlsVandermonde Determinante (Beweis per Induktion als ¨Ubung) Alternierende GruppeA_N der geraden Permutationen

Parit¨at von π ∈SN aus dessen Zykelzerlegung: identisch mit Parit¨at der Anzahl Zykeln mit gerader L¨ange

2. Zykelindexpolynome (P´olyascher Zykelzeiger) f¨ur Untergruppe H von S_N Definition Z[H;p1, ..., pN] und Formeln f¨ur H =e, H =SN, H =AN, H =CN, mit der zyklischen GruppeC_N. Ordnung einer Permutation.

Euler-Totient Funktion ϕ(n) (OEIS A000010) und

Teileranzahlfunktion τ(n) (mit 1 und n) (OEIS A000005) 3. Konjugationsklassen inS_N und Partitionen von N

Definition der ¨Aquivalenzrelation π1 ∼ π2: ∃γ ∈SN :γ π1γ⁻¹ = π2.

Berechnung von π2 aus Anwendung von γ als Substitutionsoperation ∗ auf π1

Satz: π₁ ∼ π₂ ⇔ π₁ und π₂ vom selben Zykeltyp.

Konjugationsklassen vonSN durch Zykelstruktur, d.h. durch Partitionen von N, bestimmt: C_j^SN, j = 1, ..., p(N)

Partitionsfunktion p(N) (OEIS A000041). Partitionen von N mit mTeilen und deren Anzahl (OEIS A008284). Erzeugende Funktionen.

Fortsetzung auf S. 6

Ordnung von Partitionen: ASt-Ordnung (Abramowitz-Stegun Handbuch, S.831-2), auch uASt (umgekehrte ASt-Ordnung)

Multinomialzahlen M2(N, α) als Anzahl der Elemente der Konjugationsklasse C_<1^SNα1,2^α2,...,N^αN>

C) Schur-Funktionen (S−Funktionen) sλ, λ `nmit Teilezahl m(λ)≥N 1. s_λ als Quotient zweier Determinanten

Jacobi-Trudi-Identit¨at: sλ als Determinante aus den{hn} (Beweis: Macdonald S.25, Krishnamurthy S. 225-7) Analoge Identit¨at: sλ als Determinante aus den{σn} Beweis aus der bekannten Identit¨at P_N

r=0 σrhN−r = 0 und Determinantentechnik (Macdonald S.15, (2,9’))

2. Basen im Vektorraum (¨uber Q) der symmetrischen Funktionen (Polynome) ΛN

Basis in Λ_N: {k_λ}, daraus andere Basen {σ_λ}, {h_λ}, {p_λ} und {s_λ} Ubergangsmatrizen:¨ s_λ = P

µ J_λ,µh_µ und k_λ = P

µ J_λ,µ^> s_µ Zu beweisen ¨uber sλ = P

ρ Kλ,ρkρ und hλ = P

ρ K_λ,ρ^> sρ, mit der Kostka-Matrix K, deren Eintr¨age kombinatorische Zahlen sind.

Kλ,µ := |cst^λ| mit: die Zahlen j ∈ {1,2, ..., m} kommenµj mal in spaltenstrengem verallgem. Tableau (cst) zu Young-Diagramm λ vor.

Beweise aus der kombinatorischen Interpretation der Schur-Funktionen (Krishnamurthy Buch S.228, (22), S. 229, [23))

J^> = K−1.

Ubergangsmatrix¨ N!sλ = P

ρ Cλ,ρpρ, um sp¨ater die irreduziblen Charaktere χ^λρ der S_N als C_λ,ρ/|C_ρ^SN| zu berechnen.

Krishnamurthy Buch, S. 239, Ex. 6^∗ und S. 278) 3. Frobenius-Schur-Charakterformel

S¨atze zu endlichen Gruppen verwendet: Zahl der (in¨aquiv.) irreduziblen komplexen (Matrix-)Darstellungen ist Klassenzahl (f¨urSN also p(N)).

Orthogonalit¨atsrelation f¨ur irreduzible Darstellungen und deren Charaktere Regul¨are DarstellungD der Dimension N! (reduzibel)

Permutationsmatrixdarstellung (Dimension N)

Von einer Untergruppe H induzierte Darstellung einer Gruppe G und deren Charaktere

F¨urG = SN und die Young-Untergruppen Hλ zu Partititon λ `N mit trivialer Darstellung der Untergruppe.

Fortsetzung auf S. 7

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Beweis, dass der zusammengesetzte Charakter tats¨achlich einfach (irrreduzibel) ist (Krishnamurthy Buch, S. 271-2)

Endresultat: pρ = P

λ χ^λ

ρsρ und Umkehung N!sλ = P

ρ gρχ^λ

ρpρ mit g_ρ :=M2(N, rho)

Beweis: Schurfunktion sλ als Immanante einer gewissen Matrix PN. (`a la B. G. Wybourne: Symmetry Principles and Atomic Spectroscopy)