Die relative Verteilung als Ansatz zur Analyse von Gruppenunterschieden

(1)

Die relative Verteilung als Ansatz zur Analyse von Gruppenunterschieden

Ben Jann

ETH Z¨ urich, jannb@ethz.ch

Ludwig-Maximilians-Universit¨ at M¨ unchen

23. Juni 2009

(2)

Gliederung

Einleitung

Die relative Verteilung Grundlegende Konzepte

Dekomposition von Lage- und Formunterschieden Kontrolle von Drittvariablen

Sch¨ atzung

Anwendungsbeispiele

Zusammenfassung

(3)

Einleitung

Ziel: Vergleich von zwei Gruppen (oder Zeitpunkten) bez¨ uglich eines kontinuierlichen Merkmals.

Ein prominentes Beispiel ist die Analyse von Erwerbseinkommen bzw. L¨ ohnen nach Geschlecht.

Aus Gr¨ unden der Einfachheit werden solche Vergleiche h¨ aufig nur

anhand einiger weniger, als zentral angesehener Masszahlen

durchgef¨ uhrt (i.d.R. Erwartungswert).

(4)

Einleitung

Beispiel: Einkommen/L¨ ohne und Geschlecht.

Wie wird das analysiert?

I

¨ offentliche Statistik: Differenz im Mittelwert (oder Median) der (standardisierten) L¨ ohne

I

Kontrolle von Drittvariablen I: Geschlecht als Dummy-Variable in einem Regressionsmodell ⇒ konditionale Mittelwertsdifferenz

I

Kontrolle von Drittvariablen II (kontrafaktischer Ansatz):

Dekomposition der (logarithmierten) Lohnunterschiede in einen

” erkl¨ arten Teil“ (Effekt der Unterschiede in den Drittvariablen) und einen

” unerkl¨ arten Teil“ (Effekt der Unterschiede in den

Koeffizienten; Diskriminierung?) (Blinder 1973, Oaxaca 1973, etc.)

(5)

Einleitung

Solche Analysen sind zwar informativ, decken aber nicht immer alle wichtigen Aspekte ab.

W¨ unschenswerte sind deshalb (nicht-parametrische) Verfahren, mit

denen Verteilungen detailliert verglichen werden k¨ onnen.

(6)

Einleitung

Einige Ans¨ atze:

I

Semi-parametrische Erweiterung der Blinder-Oaxaca-Dekomposition auf beliebige Masszahlen (Quantile, Streuung, etc.) mit Hilfe der Invertierung der Verteilung von Residuen aus Regressionsmodellen (Juhn, Murphy und Pierce 1993; Blau und Kahn 1996a).

I

Mit einem ¨ ahnlichen Ansatz: Analyse der Ver¨ anderung von Gruppenunterschieden unter Ber¨ ucksichtigung der

” allgemeinen“

Ver¨ anderung der Verteilung (Juhn, Murphy und Pierce 1991; Blau und Kahn 1992, 1996b, 1997).

I

Untersuchung von Verteilungen mit Hilfe von Quantils-Regressionen (Buchinsky 1998); Erweiterung der Blinder-Oaxaca-Dekomposition auf Quantile (Machado und Mata 2005); nicht-parametrische Blinder- Oaxaca-Dekomposition mit Hilfe von Matching ( ˜ Nopo 2004).

I

Analyse von Differenzen in Dichtefunktionen; kontrafaktische

Betrachtung mit Hilfe von Gewichten (DiNardo, Fortin und Lemieux

1996).

(7)

Einleitung

Die relative Verteilung: Weiterer (nicht-parametrischer) Ansatz zur Visualisierung und Analyse der Unterschiede oder Ver¨ anderungen von Verteilungen.

Einige zentrale Literaturhinweise: Morris, Bernhardt und Handcock (1994), Bernhardt, Morris und Handcock (1995), Handcock und Morris (1998, 1999), Handcock und Janssen (2002).

Grundlegender Gedanke: Interpretation der Werte von Gruppe A als relative Positionen in der Verteilung von Gruppe B ⇒ Analyse der Verteilung von

” relativen R¨ angen“.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft des Ansatzes ist, dass die Resultate weitgehend unabh¨ angig sind von monotonen

Transformationen der Daten (z.B. L¨ ohne versus logarithmierte L¨ ohne).

Der Ansatz ist eng verwandt mit dem Ansatz von DiNardo, Fortin

und Lemieux (1996).

(8)

Relative Daten: Definition

Sei Y ₀ das interessierende Merkmal in der Referenzgruppe und Y das Merkmal in der Vergleichsgruppe. Die dazugeh¨ origen

Dichtefunktionen (PDF) bzw. kumulativen Verteilungsfunktionen (CDF) werden mit f 0 (y ) und f (y ) bzw. F 0 (y ) und F (y ) symbolisiert.

Die ” relativen Daten“ (relativen R¨ ange) sind dann definiert als R = F 0 (Y ), R ∈ [0, 1]

Das heisst, man erh¨ alt die relativen Daten, indem man die

Verteilungsfunktion der Referenzgruppe auf die Daten der

Vergleichsgruppe anwendet.

(9)

Relative Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der relativen Daten R ist dann gegeben als

G (r ) = F (F ₀ ⁻¹ (r)), 0 ≤ r ≤ 1

wobei F ⁻¹ die Inverse von F , also die Quantils-Funktion symbolisiert.

(10)

Veranschaulichung: Dichtefunktion f¨ ur zwei Gruppen

0.1.2.3.4.5Dichte

−3 −2 −1 0 1 2 3

x

f_0 f

Überlagerte Dichtefunktionen

two fun normalden(x) , range(-3 3) ///

—— fun 1/2*normalden(x) + 1/2*normalden(x,-1,1/2), range(-3 3) ///

—— , xlab(-3(1)3) yti(”Dichte”) ti(”¨Uberlagerte Dichtefunktionen”) ///

legend(order(1 ”f˙0” 2 ”f”) pos(2) ring(0) col(1)) name(a)

(11)

Relative Verteilungsfunktion (P-P plot)

0.1.2.3.4.5.6.7.8.91F

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 F_0

Relative CDF

two pci 0 0 1 1 , lsty(yxline) ///

—— fun (1/2*normal(invnormal(x)) ///

+ 1/2*normal((invnormal(x)+1)/0.5)) ///

, psty(p1) legend(off) xlabel(0(.1)1,grid) ///

ylabel(0(.1)1,grid) ti(”Relative CDF”) ///

xti(”F˙0”) yti(”F”) aspectratio(1)

(12)

Relative Dichte

Anschaulicher als die relative Verteilungsfunktion ist die

” relative Dichte“.

Die relative Dichte entspricht der Dichte der relativen Daten R und ist gegeben als

g (r ) = f (F ₀ ⁻¹ (r ))

f 0 (F ₀ ⁻¹ (r )) , 0 ≤ r ≤ 1

Die relative Dichte entspricht also dem Verh¨ altnis der Dichten der beiden Gruppen, evaluiert an den Quantilen der Referenzgruppe.

Die relative Dichte ist eine echte Dichte, d.h. sie integriert zu 1.

R folgt einer Gleichverteilung (relative Dichte gleich 1), falls es

zwischen den Verteilungen der beiden Gruppen keine Unterschiede

gibt.

(13)

Veranschaulichung: Relative Dichte

.511.522.50Relative Dichte

0 .2 .4 .6 .8 1

r

Relative PDF

two fun (1/2*normalden(invnormal(x)) ///

+ 1/2*normalden(invnormal(x),-1,1/2)) ///

/ normalden(invnormal(x)) ///

, yline(1) ti(”Relative PDF”) ///

ylabel(0, add) yti(”Relative Dichte”) xti(”r”) name(b)

(14)

Veranschaulichung: Relative Dichte

0.1.2.3.4.5Dichte

−3 −2 −1 0 1 2 3

x

f_0 f

Überlagerte Dichtefunktionen

.511.522.50Relative Dichte

0 .2 .4 .6 .8 1

r

Relative PDF

graph combine a b, xsize(7.5) iscale(1)

(15)

Dekomposition von Lage- und Formunterschieden

Unterschiede in der Verteilungsform werden dann sichtbar, wenn die Lage der Verteilungen angeglichen wird.

Dekomposition von Lage- und Formunterschieden:

f (y r )

f ₀ (y r ) = f A (y r )

f ₀ (y r ) × f (y r ) f _A (y r ) Total = Lage × Form wobei y _r = F ₀ ⁻¹ (r ), r ∈ [0, 1].

F _A (y ) ist eine Verteilungsfunktion mit angepasster Lage. Zum Beispiel:

F _A (y ) = F ₀ (y + ρ) wobei

ρ = Median(Y ) − Median(Y 0 )

Alternativ k¨ onnte auch das arithmetische Mittel verwendet werden.

Je nach Art der Daten kann zudem eine multiplikative

Transformation sinnvoll sein.

(16)

Kontrolle von Drittvariablen

Die kontrafaktische Verteilungen unter Kontrolle einer Drittvariable X kann ganz einfach durch Gewichtung mit der relativen Dichte von X simuliert werden.

Bei mehreren Kontrollvariablen ist dies aufgrund der

Multidimensionalit¨ at nicht mehr m¨ oglich. Eine L¨ osung ist die Verwendung von Gewichten, die aus der Modellierung der Gruppenzugeh¨ origkeit abgeleitet werden (propensity-score reweighting).

Die Gewichte k¨ onnen allgemein auch mit Matching-Methoden ermittelt werden.

Grunds¨ atzliches Problem: Die individuellen Beitr¨ age einzelner

Drittvariablen k¨ onnen nur sequenziell bestimmt werden

(Pfadabh¨ angigkeit).

(17)

Sch¨ atzung der relativen Dichte: einige Komplikationen

Relative Daten liegen zwischen null und eins. ¨ Ubliche Kerndichte- Sch¨ atzer sind in diesem Fall ungeeignet, da an den R¨ andern starke Verzerrungen (nach unten) entstehen. Es m¨ ussten also entsprechend korrigierte Sch¨ atzer verwendet werden.

Die Resultate von Dichtesch¨ atzungen h¨ angen vom Grad der Gl¨ attung ab. Verschiedene Ans¨ atze zur Bestimmung der optimalen Gl¨ attung f¨ ur Kerndichte-Sch¨ atzer existieren. F¨ ur relative Daten werden allerdings einige Anpassungen ben¨ otigt (vgl. z.B. Cwik and Mielniczuk 1993).

Statistische Inferenz f¨ ur relative Daten? Die Sch¨ atzung der

Varianzen ist nicht ganz trivial und approximative Standardformeln sind nicht besonders pr¨ azise f¨ ur endlichen Stichproben.

Replikationstechniken (Bootstrap, Jackknife) k¨ onnen aber einfach

angewendet werden.

(18)

Grenzkorrektur bei der Sch¨ atzung der relativen Dichte

01234relative Dichte

0 .2 .4 .6 .8 1

unkorrigiert Renormalisierung Reflektion Linearkombination

(19)

Anwendungsbeispiele

Daten: Schweizerische Arbeitskr¨ afteerhebung (SAKE) 1991–2006 des Bundesamts f¨ ur Statistik

Vergleich der Stundenl¨ ohne von Frauen ¨ uber die Zeit Vergleich von Stundenl¨ ohnen nach Geschlecht Auswahl

I

Alter 20–62

I

nur Arbeitnehmerinnen/Arbeitnehmer

I

Arbeitszeit ≥ 6 Stunden/Woche

I

nur Schweizerinnen/Schweizer

(20)

Stundenl¨ ohne von Frauen 1992-2006: Dichte

0.01.02.03.04Dichte

0 100 200 300

1992 2006

Stundenlöhne

0.2.4.6.81Dichte

1 2 3 4 5 6

1992 2006

logarithmierte Stundenlöhne

. use reldist, clear

(Excerpt from the Swiss Labor Force Survey (SLFS) 1991 - 2006) . two kdens wage if year==1992 & inlist(female,1) [pw=wt], bw(sj) ///

¿ —— kdens wage if year==2006 & inlist(female,1) [pw=wt], bw(sj) ///

¿ ti(Stundenl¨ohne) yti(Dichte) xti(””) name(a) legend(order(1 ”1992” 2 ”2006”)

¿ )

(bandwidth = 5.0365478) (bandwidth = 4.4375098) . generate lnwage = ln(wage)

. two kdens lnwage if year==1992 & inlist(female,1) [pw=wt], bw(sj) ///

¿ —— kdens lnwage if year==2006 & inlist(female,1) [pw=wt], bw(sj) ///

¿ ti(logarithmierte Stundenl¨ohne) yti(Dichte) xti(””) name(b) legend(order(1 ”

¿ 1992” 2 ”2006”)) (bandwidth = .17970022) (bandwidth = .16139899)

Ben Jann (ETH Z¨urich) Die relative Verteilung LMU, 23. Juni 2009 20 / 33

(21)

Stundenl¨ ohne von Frauen 1992-2006: relative CDF

0 .2 .4 .6 .8 1

Proportion of Comparison Group

0 .2 .4 .6 .8 1

Proportion of Reference Group

Stundenlöhne

0 .2 .4 .6 .8 1

Proportion of Comparison Group

0 .2 .4 .6 .8 1

. reldist wage if female==1 [pw=wt], by(y0692) cdf ti(Stundenl¨ohne) name(a) (reference group: y0692 = 0; comparison group: y0692 = 1)

. reldist lnwage if female==1 [pw=wt], by(y0692) cdf ti(logarithmierte Stundenl

¿ ¨ohne) name(b)

(reference group: y0692 = 0; comparison group: y0692 = 1) . graph combine a b, xsize(7.5)

(22)

Stundenl¨ ohne von Frauen 1992-2006: relative Dichte

.5 1 1.5 2

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

Stundenlöhne

.5 1 1.5 2

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

. reldist wage if female==1 [pw=wt], by(y0692) bw(sj) pdf hist ti(Stundenl¨ohne)

¿ name(a)

(reference group: y0692 = 0; comparison group: y0692 = 1) (bandwidth = .101835217)

. reldist lnwage if female==1 [pw=wt], by(y0692) bw(sj) pdf hist ti(logarithmie

¿ rte Stundenl¨ohne) name(b)

(reference group: y0692 = 0; comparison group: y0692 = 1) (bandwidth = .101835217)

(23)

Stundenl¨ ohne von Frauen 1992-2006: Formeffekt

.5 1 1.5 2

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

.5 1 1.5 2

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

. reldist wage [pw=wt] if female==1, by(y0692) bw(sj) ci ///

¿ shape multiplicative pdf hist vce(boot, reps(100)) name(a) (reference group: y0692 = 0; comparison group: y0692 = 1) (bandwidth = .094174664)

Bootstrap replications (100)

1 2 3 4 5

... 50 ... 100

. reldist wage if female==1 [pw=wt], by(y0692) bw(sj) pdf hist name(b) (reference group: y0692 = 0; comparison group: y0692 = 1)

(bandwidth = .101835217)

(24)

L¨ ohne von Frauen und M¨ annern 2006

0.51kdensity lnwage

1 2 3 4 5 6

x

Männer Frauen

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

. two kdens lnwage if female==0 [pw=wt], bw(sj) ///

¿ —— kdens lnwage if female==1 [pw=wt], bw(sj) ///

¿ legend(order(1 ”M¨anner” 2 ”Frauen”)) name(a) (bandwidth = .13849496)

(bandwidth = .16139899)

. reldist lnwage [pw=wt], by(female) bw(sj) pdf hist name(b) (reference group: female = 0; comparison group: female = 1) (bandwidth = .070460862)

(25)

L¨ ohne von Frauen und M¨ annern 2006: Formeffekt

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

. reldist lnwage [pw=wt], by(female) bw(sj) ci ///

¿ shape multiplicative pdf hist vce(boot, reps(100)) name(a) (reference group: female = 0; comparison group: female = 1) (bandwidth = .131032266)

Bootstrap replications (100)

1 2 3 4 5

... 50 ... 100 . reldist lnwage [pw=wt], by(female) bw(sj) pdf hist name(b) (reference group: female = 0; comparison group: female = 1) (bandwidth = .070460862)

(26)

L¨ ohne von Frauen und M¨ annern 2006: Bildungseffekt

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

Total

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

Bildung kontrolliert

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

Bildungseffekt

. bys year educ: egen sumwtmale = total(wt*(1-female)) . bys year educ: egen sumwtfemale = total(wt*female)

. generate relwt = cond(female, wt * sumwtmale / sumwtfemale , wt) . expand 2

(9333 observations created) . bys id: gen byte second = ˙n==2 . replace relwt = wt if second==0 (4650 real changes made)

. gen byte femA0 = (female&second) if (female&second) — (female==0&second==0) (9333 missing values generated)

. gen byte fem1A = (female&second==0) if (female&second) — (female&second==0) (9366 missing values generated)

. reldist lnwage if second==0 [pw=relwt], by(female) bw(sj) hist pdf ti(Total)

¿ name(a)

(reference group: female = 0; comparison group: female = 1) (bandwidth = .070460862)

. reldist lnwage [pw=relwt], by(femA0) bw(sj) hist pdf ti(Bildung kontrolliert)

¿ name(b)

(reference group: femA0 = 0; comparison group: femA0 = 1) (bandwidth = .080702014)

. reldist lnwage [pw=relwt], by(fem1A) bw(sj) hist pdf ti(Bildungseffekt) name(

¿ c)

(reference group: fem1A = 0; comparison group: fem1A = 1) (bandwidth = .163786869)

(27)

Effekt von Bildung, Berufserfahrung und Firmentreue

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

Total

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

X kontrolliert

1 2 3

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

X−effekt

. gen exp2 = expˆ2 . gen ten2 = tenureˆ2

. xi: probit female i.educ exp exp2 tenure ten2 [pw=wt]

i.educ ˙Ieduc˙1-9 (˙Ieduc˙1 for educ==8 omitted) (sum of wgt is 1.7939e+06)

Iteration 0: log pseudolikelihood = -6427.984 Iteration 1: log pseudolikelihood = -5983.4641 Iteration 2: log pseudolikelihood = -5979.6452 Iteration 3: log pseudolikelihood = -5979.6399

Probit regression Number of obs = 9333

Wald chi2(12) = 633.00 Prob ¿ chi2 = 0.0000 Log pseudolikelihood = -5979.6399 Pseudo R2 = 0.0697

Robust

female Coef. Std. Err. z P¿—z— [95% Conf. Interval]

˙Ieduc˙2 -.0741061 .2792951 -0.27 0.791 -.6215144 .4733023

˙Ieduc˙3 .1217095 .285856 0.43 0.670 -.438558 .6819771

˙Ieduc˙4 -.3934646 .2699129 -1.46 0.145 -.9224843 .135555

˙Ieduc˙5 .6763112 .3177538 2.13 0.033 .0535251 1.299097

˙Ieduc˙6 -.416877 .2717924 -1.53 0.125 -.9495803 .1158263

˙Ieduc˙7 -.3614041 .2727522 -1.33 0.185 -.8959886 .1731803

˙Ieduc˙8 -.9320973 .275204 -3.39 0.001 -1.471487 -.3927073

˙Ieduc˙9 -.7280049 .2723848 -2.67 0.008 -1.261869 -.1941405 exp -.0241289 .0049449 -4.88 0.000 -.0338208 -.0144371 exp2 -.0000851 .0001133 -0.75 0.453 -.0003072 .0001371 tenure .0195215 .0054647 3.57 0.000 .0088108 .0302322 ten2 -.0006544 .0001626 -4.03 0.000 -.000973 -.0003358

˙cons .6726056 .2716869 2.48 0.013 .1401092 1.205102 . predict pr

(option pr assumed; Pr(female))

. generate relwt = cond(female, wt / ( pr / (1-pr)), wt) . expand 2

(9333 observations created) . bys id: gen byte second = ˙n==2 . replace relwt = wt if second==0 (4650 real changes made)

. gen byte femA0 = (female&second) if (female&second) — (female==0&second==0) (9333 missing values generated)

. gen byte fem1A = (female&second==0) if (female&second) — (female&second==0) (9366 missing values generated)

. reldist lnwage if second==0 [pw=relwt], by(female) bw(sj) hist pdf ti(Total)

¿ name(a)

. reldist lnwage [pw=relwt], by(femA0) bw(sj) hist pdf ti(X kontrolliert) name(

¿ b)

(reference group: femA0 = 0; comparison group: femA0 = 1) (bandwidth = .091175813)

. reldist lnwage [pw=relwt], by(fem1A) bw(sj) hist pdf ti(X-effekt) name(c) (reference group: fem1A = 0; comparison group: fem1A = 1)

(bandwidth = .160505085)

(28)

Formeffekt unter Kontrolle von Bildung etc.

.5 1 1.5

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

Total

.5 1 1.5

0

Relative Density

0 .2 .4 .6 .8 1

X kontrolliert

. reldist lnwage if second==0 [pw=wt], by(female) bw(sj) hist pdf ///

¿ shape multiplicative ti(Total) name(a)

. reldist lnwage [pw=relwt], by(femA0) bw(sj) hist pdf ///

¿ shape multiplicative ti(X kontrolliert) name(b) (reference group: femA0 = 0; comparison group: femA0 = 1) (bandwidth = .134710224)

(29)

Zusammenfassung

Die relative Verteilung erscheint als ein n¨ utzliches Konzept zur Analyse von Verteilungsunterschieden. Der Ansatz sollte weiterverfolgt werden.

Lieder sind in der (sozialwissenschaftlichen) Literatur aber bisher kaum Anwendungen zu finden (mit Ausnahme der zitierten Arbeiten).

Ein systematischer Vergleich mit anderen Ans¨ atzen, wie z.B. der Dekomposition auf Grundlage von Quantilsregressionen oder dem Ansatz von DiNardo, Fortin und Lemieux (1996) w¨ are

w¨ unschenswert.

(30)

Vielen Dank f¨ ur Ihre Aufmerksamkeit!

(31)

Literaturhinweise I

Bernhardt, Annette, Martina Morris, and Mark S. Handcock (1995). Women’s Gains or Men’s Losses? A Closer Look at the Shrinking Gender Gap in Earnings.

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Blau, Francine D., and Lawrence M. Kahn (1992). The Gender Earnings Gap:

Learning from International Comparisons. American Economic Review 82(2):

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Blau, Francine D., and Lawrence M. Kahn (1996). International Differences in Male Wage Inequality: Institutions versus Market Forces. Journal of Political Economy 104(4): 791-837.

Blau, Francine D., and Lawrence M. Kahn (1996). Wage Structure and Gender Earnings Differentials: an International Comparison. Economica 63(250):

S29-S62.

Blau, Francine D., and Lawrence M. Kahn (1997). Swimming Upstream: Trends in the Gender Wage Differential in the 1980s. Journal of Labor Economics 15(1):

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Blinder, Alan S. (1973). Wage Discrimination: Reduced Form and Structural

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(32)

Literaturhinweise II

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(33)

Literaturhinweise III

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Machado, Jos´ e A. F., and Jos´ e Mata (2005). Counterfactual decomposition of changes in wage distributions using quantile regression. Journal of Applied Econometrics 20(4): 445-465.

Die relative Verteilung als Ansatz zur Analyse von Gruppenunterschieden