Höhere Mathematik 3 Formelsammlung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

H¨ ohere Mathematik 3 1. N¨ utzliches Wissen e

^jx

= cos(x) + j · sin(x)

1.0.1 sinh, cosh cosh²(x)−sinh²(x) = 1 sinhx=¹₂(e^x−e^−x) arsinhx:= ln

x+p x²+ 1 coshx=¹₂(e^x+e^−x) arcoshx:= ln

x+p x²−1

Additionstheoreme Stammfunktionen

coshx + sinhx =e^x ´

sinhx dx= coshx+C sinh(arcosh(x)) =p

x²−1 ´

coshx dx= sinhx+C cosh(arsinh(x)) =p

x²+ 1 1.0.2 sin, cos sin²(x)+cos²(x) = 1

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π ³₂π 2π

sin 0 ¹₂ √¹ 2

√ 3

2 1 0 −1 0

cos 1

√ 3 2

√1 2

1

2 0 −1 0 1

tan 0

√3

3 1 √

3 ∞ 0 −∞ 0

Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x−^π₂) = sinx ´

xcos(x) dx= cos(x) +xsin(x) sin(x+^π₂) = cosx ´

xsin(x) dx= sin(x)−xcos(x) sin 2x= 2 sinxcosx ´

sin²(x) dx=¹₂ x−sin(x) cos(x) cos 2x= 2 cos²x−1 ´

cos²(x) dx=¹₂ x+ sin(x) cos(x) sin(x) = tan(x) cos(x) ´

cos(x) sin(x) =−¹ 2cos²(x) sinx= _2j¹(e^jx−e^−jx) cosx= ¹₂(e^jx+e^−jx) a^x=e^xlna log_ax=^lnx_lna log(1) = 0

1.1. Wichtige Integrale:

•Partielle Integration:´

uv⁰=uv−´ u⁰v

•Substitution:´ f(g(x)

| {z } t

)g⁰(x) dx

| {z } dt

=´ f(t) dt

F(x) f(x) f⁰(x)

1

q+ 1x^q+1 x^q qx^q−1

2

√ x³ 3

√

x 1

2√ x

xln(x)−x ln(x) _x¹

a^x

ln(a) a^x a^xln(a)

−cos(x) sin(x) cos(x)

−ln|cos(x)| tan(x) 1

cos²(x)

ln|sin(x)| cot(x) −1

sin²(x) xarcsin(x) +p

1−x² arcsin(x) 1 p1−x² xarccos(x)−p

1−x² arccos(x) − 1 p1−x² xarctan(x)−1

2ln 1 +x²

arctan(x) 1

1 +x² e^(x)(x−1) x·e^(x) e^x(x+ 1) 1

2

px²+ 1x+ sinh⁻¹(x) p

1 +x² x

px²+ 1

´e^atsin(bt) dt=e^{at a}sin(bt)+bcos(bt) a2 +b2

´tsin(bt) dt= ¹

b2(sin(bt)−btcos(bt))

´tcos(bt) dt= ¹

b2(btsin(bt) + cos(bt))

´te^atdt=^at−1 a2 e^at ´

t²e^atdt= ^{(ax−1)2 +1} a3 e^at

1.2. Determinante von

A∈K^n×n

:

det(A) =|A|

det A 0

C D

!

= det A B

0 D

!

= det(A)·det(D) HatA

e

2 linear abh¨ang. Zeilen/Spalten⇒ |A|= 0 Entwicklung. n.iter Zeile:|A|= Pⁿ

i=1

(−1)^i+j·a_ij· |A_ij| 1.2.1 Eigenwerteλund Eigenvektorenv

A e

v=λv detA e

=Q

λ_i SpA e

=P λ_i Eigenwerte:det(A

e

−λ1 e

) = 0, Det-Entwickl., Polynom-Div.

Eigenvektoren:Eig_A(λ_i) = ker(A e

−λ_i1 e

) =v_i

→dim(Eig_A(λ_i)) = geo(λ_i) ∀i: 1≤geo(λ_i)≤alg(λ_i) HauptvektorenEin Vektorvheißt Hauptvektork-ter Stufe genau dann wenn:(A

e

−λE e

)^kv=0und(A e

−λE e

)^k−1v6= 0

1.3. Reihen

∞ P n=1

1 n→ ∞ Harmonische Reihe

∞ P n=0

q^n|q|<1= _1−q¹ Geometrische Reihe

∞ P n=0

zn n! =e^z Exponentialreihe

1.4. Vektoroperatoren

gradf=∇f divf=∇^>·f rotf=∇ ×f

∆f= div gradf

2. Integralarten

2.0.1 Regul¨arer Bereich

B⊆Rⁿheißtregul¨arer Bereich, wenn

• Babgeschlossen und einfach zusammenh¨angend

• Bl¨asst sich in endlich viele Normalbereiche zerlegen

2.0.2 Volumen und Oberfl¨ache von Rotationsk¨orpern umx-Achse V=π´_b

af(x)²dx O= 2π´_b af(x)p

1 +f⁰(x)²dx

2.1. Skalares Kurvenintegral

ˆ γ

fds:=

ˆb a

f γ(t)

· k.

γ(t)kdt SFf(x);x,γ∈Rⁿ L(γ) =´

γ1 ds

GesamtmasseM=´ γ

fds=

´b a

%γ(t)

· k. γ(t)kdt SchwerpunktS: S_i= _M(γ)¹ ·´

γ x_i%ds

2.2. vektorielles Kurvenintegral

ˆ

v·ds:=

ˆb a

v γ(t)>·.

γ(t) dt VFv(x);x,v,γ∈Rⁿ

2.2.1 Fluss durch Kurve

Fluss vonvvon (in Durchlaufrichtung gesehen) links nach rechts.

ˆ ω

vdn= ˆ

ω

v· 0 1

−1 0

! T(x) ds

2.3. Gebietsintegrale ¨ uber Normalbereiche

f:B⊆R²→Rstetig

2.3.1 Fl¨achenintegrale imR² Typ IB_Iregul¨arer Bereich B_I=n

x∈R²|a≤x₁≤b;g(x₁)≤x₂≤h(x₁)o

¨ B

fdF= ˆ_b

x1 =a ˆ_h(x

1 ) x2 =g(x1 )

f(x₁, x₂) dx₂dx₁

Typ IIB_IIregul¨arer Bereich B_II=n

x∈R²|c≤x₂≤d;l(x₂)≤x₁≤r(x₂)o

¨ B

fdF= ˆ_d

x2 =c ˆ_{r(x2 )}

x1 =l(x2 )

f(x1, x2) dx1dx2

2.3.2 Volumenintegrale imR³ Vregul¨arer Bereich

V={x∈R³|a≤x₁≤b, u(x₁)≤x₂≤o(x₁), u⁰(x₁, x₂)≤ x₃< o⁰(x₁, x₂)}

˚ V

fdV= ˆb a

o(xˆ1 ) u(x1 )

o0(xˆ1,x2 ) u0(x1,x2 )

f(x₁, x₂, x₃) dx₃dx₂dx₁

2.4. Koordinatentransformationen

D, B⊆R²regul¨are Bereiche

x:D→Bmitx=x(u₁, u₂) u∈D

⇒˜

Bf(x₁, x₂) dF(x) =˜

Df(x(u₁, u₂)) detJ_x(u)

dF(u) Jx6= 0bis auf Nullmengen

D, B⊆R³regul¨are Bereiche

x:D→Bmitx=x(u₁, u₂, u₃) u∈D

⇒˝

Bf(x) dV(x) =˝

Df(x(u))

detJx(u) dV(u) J_x6= 0bis auf Nullmengen

2.4.1 Koordinatenwechsel

x:u∈D→x(u)∈Borthogonale Transformation D, B⊆R³

B(u) = e_u

1 e_u 2 e_u

3

e_ui= _kx^xui uik v(x(u)) =B(u)V(u)

Kurvenintegrale

ω(t)∈D: Kurve imu-Raum

˜

ω(t) =x(ω(t)): Zugeh¨orige Kurve imx-Raum

v(x)· dx=V(u)·





 h1du1 h2du2 h₃du₃





=





 h1V1(u) h2V2(u) h₃V₃(u)





· du dx=h₁e_u

1du₁+h₂e_u

2du₂+h₃e_u 3du₃ ds(x) =

q h²₁ .

ω₁(t)²+h²₂.

ω₂(t)²+h²₃. ω₃(t)²dt Oberfl¨achenintegrale

T⊂D: Fl¨ache imu-Bereich

S⊂B: Entsprechende Fl¨ache imx-Bereich

S=x(T); Parametrisierung in D:(u, w)∈M7→φ(u, w)

¨ S

v· dO=

¨ M

V1h2h3

∂(φ₂, φ₃)

∂(u, w) +V₂h₃h₁∂(φ₃, φ₁)

∂(u, w) +V₃h₁h₂∂(φ₁, φ₂)

∂(u, w)

! dsdt

dO(x) =

"

h₂h₃∂(φ₂, φ₃)

∂(u, w) e_u 1

+h₃h₁∂(φ₃, φ₁)

∂(u, w) e_u

2+h₁h₂∂(φ₁, φ₂)

∂(u, w) e_u 3

# dsdt

2.5. Integration ¨ uber Fl¨ achen in

R³ 2.5.1 Parametrisierung

Fl¨ache im Zweidimensionalen wird zuerst parametrisiert:

(u, w)∈M7→φ(u, w) =x∈R³ Kreis mit Radiusr:

φ=x²+y²≤r² ∂φ= rcos(t) rsin(t)

!

n= rcos(t) rsin(t)

!

Ellipse mit den Halbachsenaundb:

φ= ^x2 a2+^y2

b2 ≤1 ∂φ= acos(t) bsin(t)

!

n= acos(t) bsin(t)

!

Eigenschaften der Parametrisierungφ(u, w)

•xfl¨achentreu:kφ

u×φ_wk= 1

•xwinkeltreu:φ u⊥φ

w&kφ uk=kφ

wk

•xl¨angentreu:φ_u⊥φ_w&kφ uk=kφ

wk= 1 2.5.2 Skalares Oberfl¨achenintegral

Fl¨acheφ:B⊆R²→R³,(u, w)7→φ(u, w)und SFf

¨ φ

fdO:=

¨ B

f φ(u, w)

· kφu×φ wkdudw

2.5.3 Vektorielles Oberfl¨achenintegral (Fluss)

VFv:D⊆R³→R³,x7→v(x, y, z)und Fl¨acheφ(u, w)

¨ φ

v·dO:=

¨ B

v

φ(u, w)>

· φu×φ

w

dudw

3. Integrals¨ atze

IstB⊆R²Gebiet mit geschlossenem Rand∂B=P

γ_imitγ_i∈ C¹ und pos. param. (gegen Uhrzeigersinn), dann gilt∀C¹VFv:

3.1. Divergenzsatz von Grauß f¨ ur einfache

∂V =P φi

˚ V

divvdxdydz=

‹

∂V

v·dO=X¨ φi

v·dO

φ_imuss pos. param. sein! (n=φ_iu×φ_iynach außen)

F¨ur Fl¨acheA:

¨ A

divvdA=

˛

∂A v

γ(t)>

nds ds=k.

γ(t)kdt n=k.

γk⁻¹(γ₂,−γ₁)^>

3.1.1 Sektorformel zur Fl¨achenberechnung ω(t) =∂B

F(B) =1 2

ˆ_b a

ω1. ω2−ω2.

ω1dt

3.2. Satz von Stokes f¨ ur doppelpunktfreien

∂φ=Pγ_i

¨ φ

rotvdO=

˛

∂φ vds

Rechte Hand Regel:

Fl¨achennormale = Daumen Umlaufrichtung = Finger

3.2.1 Satz von Green

¨ B

∂v₂

∂x −∂v₁

∂y dxdy=

˛

∂B v·ds=

k X i=1 ˆ

γi v·ds

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3.2.2 Satz von Stokes f¨ur ebene Felder

v:B⊆R²→R²unde₃=





 0 0 1







¨ B

rot v 0

! e₃dF=

˛

∂B vdx

Sindf, gzwei SF, so:˝

Bf∆g+∇f∇gdV =˜

∂Bf∇gdO f¨urf= 1:˝

B∆gdV=˜

∂B∇gdO

3.3. Gradientenfeld

D⊂Rⁿoffen undeinfach zusammenh¨angendundv(x)mitv:D→ RⁿC¹-Vektorfeld. Wenn

•rotv= 0oder

•J_v(x) =J^T_v(x) ∀x∈D Dann

•vist Gradientenfeld mitv= gradφ

•´

ωv· ds=´b av(γ(t)).

γdt= Φ γ(b)

−Φ γ(a)

(we- gunabh¨angig)

•¸

ωv· ds= 0 ∀C¹-Kurven inD

•vkonservativ aufD⇒auch auf jeder Teilmenge vonD

•Stammfunktion:Es gilt ∂_iΦ = v_i → Φ = ´ v_idx_i+ c(x_k) k6=i

4. Fourierreihe

ist die Entwicklung einer Funktionf∈C(T)in eine Reihe aussinund cos.

C(T) :T-periodisch, stetig fortsetzbar

fistT-periodisch, fallsf(x+T) =f(x)→auchn·Tperiodisch.

4.1. Entwicklung in Fourierreihen

f(x)∼S_f(x)

•Bestimme die Fourierkoeffizienten zuf∈C(T):

a_k, b_k∈R: na_k b_k= 2

T T ˆ2

−T 2

f(x)ncos sin

k2π Tx

dx

a0immer separat berechnen mitk= 0!

c_k∈C: c_k= 1 T

T ˆ2

−T 2

f(x) exp

−jk2π Tx

dx

c0immer separat berechnen mitk= 0!

•Aufstellen der FourierreiheS_fzuf:

S_f(x) =a₀ 2 +

∞ X k=1

a_kcos

k2π Tx

+b_ksin

k2π

Tx

S_f(x) =

∞ X k=−∞

c_kexp

jk2π Tx

Konvergenz:S_f(x) ∼f(x) ⇒ f inxstetig & st¨uckweise stetig differenzierbar⇒S_f(x) =f(x)

fnicht inxstetig⇒x=aiundS_f(x) =^f(a + i)+f(a−

i) 2

4.2. Rechenregeln

Linearit¨at αf+βg

b r

αc_k+βd_k Konjugation f

b r

c_−k

Zeitumkehr f(−t)

b r

c−k

Streckung f(γt)

b r

c_k;γ >0; ˜T= ^T_γ Verschiebungt f(t+a)

b r

e^jkωac_k Verschiebungω e^jnωtf(t)

b r

c_k−n

Ableitung .

f(t)

b r

jkωc_k Stammfunktion ´_t

0f(t)

b r

^{(jkωck k6= 0}

−¹ T

´_T

0 tf(t) dt k= 0 c₀

f(t)

= 0! Faltung f∗g

b r

c_kd_k

4.3. Symmetrien

• fgerade (achsensym.) Funktion:f(^T₂ +t) =f(^T₂ −t) c_k=c_−k&b_k= 0

a_k= _T⁴´T /2 0 f(x) cos

k^2π_T x dx

• fungerade (punktsym.) Funktion:f(^T₂+t) =−f(^T₂−t) c_k=−c_−k&a_k= 0

b_k= _T⁴´T /2 0 f(x) sin

k^2π_Tx dx

• f ^T₂-periodisch:f(^T₂ +t) =f(t) c_2k+1=a_2k+1=b_2k+1= 0 (a_2k

b_2k =_T¹´T /2 0 f(t)

(cos (2kωt) sin (2kωt) dt

• fohne^T₂-periodischen Anteil:f(^T₂+t) =−f(t) c_2k=a_2k=b_2k= 0

(a_2k+1

b_2k+1 =_T¹´T /2 0 f(t)

(cos ((2k+ 1)ωt) sin ((2k+ 1)ωt) dt

4.4. Umrechnungsformeln

• a0= 2c0 a_k=c_k+c−k b_k= j(c_k−c−k)

• c0=^a₂⁰ c_k=¹₂(a_k−jb_k) c−k=¹₂(a_k+ jb_k)

4.5. LTI-Systeme

L[y](t) =a_ny⁽ⁿ⁾(t) +· · ·+a₁.

y(t) +a₀y(t) =x(t) dn

dtn→sⁿ→P(s) =a_nsⁿ· · ·+a₁s+a₀ h_T(t) =P∞

k=−∞d_ke^jkωtmitd_k= _P(jkω)¹ y(t) =h_T(t)∗x(t) =´T

0 h_T(τ)x(t−τ) dτ

4.6. Umrechnung von

T

in

S

periodische Funktionen

f ist T periodisch, g(x) = f

T Sx

, S periodisch, denn g(x+S) =f_T

S(x+S)

=f_T Sx+T

=f_T Sx

=g(x)

4.7. Funktionen

4.7.1 S¨agezahnfunktion

s(t) =¹₂(π−t), 0< t <2π, T= 2π, ω= 1 c₀= 0; c_k=_2kj¹

S_f(t) =P∞ k=11

k

ejkt−e−jkt 2j

5. Fouriertransformation f(t) → F (ω)

Voraussetzungen:

1. fst¨uckweise stetig differenzierbar 2. f(t) =¹₂

f(t⁺) +f(t⁻) 3. ´∞

−∞|f(t)| dt <∞(fabsolut integrierbar)

f→Fmit Zeitfunktionf:R→Cund Frequenzfkt./SpektralfktF

F(ω) :=

ˆ∞

−∞

f(t) exp(−jωt) dt

Wichtige Fouriertransformationen:

f(t) F(ω) f(t) F(ω)

1

b r

2πδ(ω) |tⁿ|

b r

^2n!

(jω)n+1 tⁿ

b r

2πjⁿδ⁽ⁿ⁾(ω) _(n−1)!^tn−1 e^−atu(t)

b r

_(a+jω)¹ _n

u(t)

b r

_jω¹ +πδ(ω) δ(t−t₀)

b r

e^−jωt0

5.1. Die Dirac’sche Deltafkt.

δ(t)

δ_ε(t−t₀) =¹_ε, f¨urt₀≤t≤t₀+ε, sonst0 F¨ur stetigesggilt:´∞

−∞g(t)δ(t−t0) dt=g(t0)

∆_t0(ω) =´∞

−∞δ(t−t₀) exp(−jωt) dt= exp(−jωt₀) δ(t−t₀)

b r

∆t0(ω)undδ(t)

b r

1

5.2. Heaviside-Funktion

u(t)

u :R→C,u(t) =

(1 , t >0

0 , t <0 ≈ lim a→0exp(−at)

5.3. Die Inverse Fouriertransformation

f(t) =_2π¹

∞´

−∞

F(ω) exp(jωt) dω (f(t) , f stetig int

f(t−)+f(t+ )

2 ,fallsfunstetig int

5.4. Rechenregeln

Linearit¨at αf(t) +βg(t)

b r

αF(ω) +βG(ω) Konjugation f(t)

b r

F(−ω)

Skalierung f(ct)

b r

_|c|¹F ^ω_c Verschiebungt f(t−a)

b r

exp(−jωa)F(ω) Verschiebungω exp(j ˜ωt)f(t)

b r

F(ω−ω)˜ Ableitungt f⁰(t)

b r

jωF(ω) Ableitungω tf(t)

b r

jF⁰(ω) Faltung (f∗g)(t)

b r

F(ω)·G(ω)

5.5. Lineare DGLn

L[y](t) =P d dt

y(t) =b(t)

b r

P(jω)Y(ω) =B(ω)

Y(ω) = 1

P(jω)

| {z } H(ω)

b r

h(t)

B(ω)

y(t) =h∗b(t)

6. Laplacetransformation L f(t) = F(s)

f(t)

b r

F(s) :=

ˆ∞

0

f(t) exp(−st) dt

Voraussetzung:|f(t)| ≤M e^σt ∀t >0; σ=Re(s)

1

b r

¹

s δ(t−t₀)

b r

e^−st0 tⁿ

b r

^n!

sⁿ⁺¹ e^at

s>a

b r

¹

s−a sin(t)

b r

¹

s²+ 1 cos(t)

b r

^s

s²+ 1 sin(ωt)

b r

^ω

s²+ω² cos(ωt)

b r

^s

s²+ω² e^−atsin(ωt)

b r

^ω

(s+a)²+ω² e^−atcos(ωt)

b r

^s+a

(s+a)²+ω² Linearit¨at:αf(t) +βg(t)

b r

αF(s) +βG(s)

¨Ahnlichkeit:f(ct)

b r

¹_cF ^s_c

Ableitung Originalfkt: f⁰(t)

b r

sF(s) − f(0) f⁰⁰(t)

b r

s²F(s)−sf(0)−f⁰(0)

f⁽ⁿ⁾

b r

sⁿF(s)−sⁿ⁻¹f(0)−sⁿ⁻²f⁰(0). . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0) Integral Originalfkt:´_t

0f(x) dx

b r

¹_sF(s) Ableitung Bildfkt:(−t)ⁿf(t)

b r

F⁽ⁿ⁾(s) Verschiebung:f(t−a)u(t−a)

b r

e^−asF(s) D¨ampfung:e^−atf(t)

b r

F(s+a) Faltung:(f∗g)(t) :=´t

0f(t−τ)g(τ) dτ

b r

F(s)·G(s) Inverse:f(t) =_2πj¹

−γ+j∞´ γ−j∞

F(s) exp(st) ds

Es gibt eine eineindeutige Korespondens zwischen den Originalfkt und Bildfkt. Meist Nennergrad>Z¨ahlergrad: Bruch geschickt umformen!

Laplacetransformierte als Summe nie auf gemeinsamen Nenner bringen!!

7. Differentialgleichungen DGL

Anfangswertproblem AWP = DGL + Anfangsbedingung:

af⁰⁰(t) +bf⁰(t) +cf(t) =s(t) f(0) =d, f⁰(0) =e

→falls DGL h¨oherer Ordnung→Vogel-Strauß-Algorithmus

7.1. DGL LaPlace-Transformierbar

Falls giltf(t)

b r

F(s)unds(t)

b r

S(s):

Laplacetrafo:a s²F(s)−sf(0)−f⁰(0)

+b sF(s)−f(0) + cF(s) =S(s)

F(s) =^a(sd+e)+bd

as2 +bs+c +S(s) ¹ as2 +bs+c R¨ucktransformation vonF(s)liefert die L¨osungf(t)

7.2. DGL-Systeme + Anfangsbedingung

f.=A

e f+s(t)

1. Ordnung + 2 Gleichungen und. x(0) =x0;y(0) =y0 x(t) =ax(t) +by(t) +s₁(t)

y(t) =. cx(t) +dy(t) +s₂(t) Falls alle Funktionen LaPlace transformierbar

"

s−a −b

−c s−d

#

· X(s) Y(s)

!

= S₁(s) S₂(s)

! + x(0)

y(0)

!

7.3. Integralgleichungen vom Volterra-Typ

a·f(t) +´_t

0k(t−x)f(x) dx=s(t)

Falls alle Fkt. Ltrafobar:aF(s) +K(s)·F(s) =S(s)

7.4. seperierbare DGL

Form:y⁰=f(x)·g(y); L¨osung:´ ₁ g(y)dy=´

f(x) dx

7.5. lineare DGL mit konstanten Koeffizienten

7.5.1 homogene DGL mit konstanten Koeffizienten a_ny⁽ⁿ⁾+a_n−1yⁿ⁻¹+. . .+a₀y= 0

• Stelle die charakteristische Gleichungp(λ) =Pn

k=0a_kλ^k= 0auf

• Bestimme alle L¨osungen vonp(λ)

• Gibnlinear unabh¨angige L¨osungen der DGL an:

– Istλeinem-fache reelle NST, dann w¨ahley1=e^˜λx, yi=xⁱe^λx

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–Istλeinem-fache konjugiert komplexe NSTλ=a+ jb, dann strei- cheλ_iund w¨ahley₁ = e^axcos(bx), y₂ = e^axsin(bx)bzw.

yi=xⁱe^axsin(bx)undy_i+1=xⁱe^axcos(bx)

•y(x) =c₁y₁(x) +. . .+c_ny_n(x)mitc₁, . . . c_n∈Rist L¨osung der DGL

7.5.2 inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten a_ny⁽ⁿ⁾+a_n−1yⁿ⁻¹+. . .+a₀y=s(t)

•L¨ose homogene DGL(s= 0), lieferty_h

•Partikul¨are L¨osungypdurchVariation der Konstanten –Stelle einyp(x)mit variablen Konstantenc(x)auf –L¨ose das System:

c⁰₁y₁+c⁰₂y₂= 0 c⁰₁y⁰₁+c⁰₂y⁰₂= ¹

ans(x)

Beachte dabei auch die Ableitung nach der Produktregel –Erhaltec(x)durch unbestimmte Integration ausc⁰(x) –yp=c₁(x)y₁+c₂(x)y₂ist die partikul¨are L¨osung

•Partikul¨are Lsg.ypdurch Ansatz vom komischen Typ auf der rechten Seite

–Idee:y_phat die Form vons(x)

Fallss(x) = (b0+b1x+. . .+bmx^m)e^axncos(bx) sin(bx), dann y_p=x^r·

(A₀+A₁x+. . .+A_mx^m) cos(bx) + (B₀+ B1x+. . .+Bmx^m) sin(bx)

e^ax

mita+bjistr-fache Nullstelle(Resonanz) vom char. Poly. vony_h Tipp: Bei Summen im St¨orglied entkoppelt, d.h.y_pgetrennt be- rechnen und addieren.

•Die L¨osung der DGL isty=yp+y_h

7.6. Die exakte DGL

DGL der Form: f(x, y) +g(x, y)·y⁰= 0 bzw.f(x, y) dx+g(x, y) dy= 0

Bedingung f¨ur Exaktheit:∂_yf=∂_xg Gradientenfeldv(x, y) = f(x, y)

g(x, y)

!

hat Stammfkt.F(x, y(x)) =C

• Bestimme die StammfunktionF(x, y)vonvdurch sukzessive In- tegration:

– (∗)F(x, y) =´

f dx+G(y)

– BestimmeG⁰(y)ausFy=_∂y^∂F(x, y) =g – BestimmeG(y)ausG⁰(y)durch Integration – ErhalteF(x, y)aus Schritt(∗)

• L¨oseF(x, y) =cnachy=y(x)auf, falls m¨oglich

• Die voncabh¨angige Lsg. ist die allg. Lsg. der DGL

7.7. Integrierende Faktoren – der Eulen-Multiplikator

Multipliziere nicht exakte DGL mit integrierenden Faktorµ(x, y)und erhalte eine exakte DGL mit gleichen L¨osungen.

∂y(µf) =∂x(µg) ⇒ µyf+µfy=yxg+µgx Ist^{∂y f−∂xg}_g =u(x)so istµ= exp(´

u(x) dx) Ist^{∂xg−∂y f}_f =u(y)so istµ= exp(´

u(y) dy)

7.8. Die euler-homogene DGL

Formy⁰=φ_y

x

⇒Substitution:z= ^y_x

y⁰=z+xz⁰=φ(z) L¨osez⁰= (φ(z)−z)·_x¹ ⇒ y=xz

7.9. eulersche DGL

DGL in der Form n P i=0

a_ixⁱ·y⁽ⁱ⁾(x) =s(x) L¨osungsmenge L_a

alg. L¨os.

= y_p part. L¨os.

+ L_n hom. L¨os.

durch V.d.K.

L¨ose char. Pol.:a_nα(α−1)...(α−(n−1)) +...+a₁α₁+a₀= 0 W¨ahle Basisvektoren des L¨osungsraumes:

• m-fache Nullstelle∈R: x^α, . . . , x^α(lnx)^m−1

•m-fache Nullstelle∈C(streicheα_i):

x^asin(blnx), . . . , x^asin(blnx)(lnx)^m−1 x^acos(blnx), . . . , x^asin(blnx)(lnx)^m−1

L¨osung: (z.B. f¨ur 2 Nullstellen∈R):y(x) =C₁x^α+C₂x^αln(x)

7.10. Potenzreihenansatz

Geg. DGLy⁽ⁿ⁾+an−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+a1(x)y⁰+a0(x)y=s(x) Fallsa_i(x)≈

∞ P k=0

c⁽_k^ai)·(x−a)^kunds(x) =

∞ P k=0

c^(s)_k ·(x−a)^k Dann∃y(x) =P^∞

0

c_k·(x−a)^keine Lsg der DGL.

Diec_kbestimmt man durch einsetzen vony(x)+ Koeff. Vergleich.

7.11. Homogene lineare DGL Systeme

→Jede DGL l¨asst sich als DGL System darstellen

Transformiere eine DGL 2. Ordnung in ein DGL System 1. Ordnung:

•Substituiere. x=y

•Schreibe DGL-System:

x. y.

!

=

"

0 1

a₁ a₂

# x y

!

(Bestimmea1unda2aus DGL)

L¨ose das DGL-System (Das System ist ohnehin an allem Schuld ;) ) 1. Bestimme EWλ_iund Basis aus EVb_ivonA

e 2. SetzeS

e

= (b1, ...,b_n)und bestimmeS e

−1undD f

=S e

−1A e S e 3. Berechnee^A

e

= exp(S e D f S

e

−1) =S e

e^D e S e

−1

y⁰=A e

y ⇒ y=c·e^{(x−x0 )A} e

= Pⁿ i=0

c_i·eλix·b_i

Bei komplexen EW: Trennung in Real und Imagin¨arteil

7.12. L¨ osung f¨ ur

y⁰=Ay

falls

A

nicht diagbar

→Es existiert eine Jordan-NormalformJ e

mitS e

−1A e S e e^J

e

=e^D e

+N e

=e^De^N=e^D·(E e

k+N f

+¹₂N f

2+...+_k!¹N f k)

e^xN e

=







1 x ¹₂x² ... _(k−1)!¹ x^k−1

1 x

0 1







S e

ist die Transformationsmatr. auf Jordan-Normalform:

S e

= (b₁, ...,b_n)mitb₁. . .b_nsind EV bzw. HV vonA e Allgemeine L¨osung:

y(x) =e^xA e

·c=S e

e^xJ e S

e

−1=S e

e^x(D e

+N e )c

Die L¨osungsformel f¨ur (1×1),(2×2)und (3×3)K¨astchen y_a(x) =c₁e^λ1xv₁

+c₂e^λ2xv₂+c₃e^λ2x(xv₂+v₃)

+c4e^λ3xv4+c5e^λ3x(xv4+v5) +c6e^λ3x(¹₂x²v4+xv5+v6)

→v₁, v₂, v₄EV,v₃, v₅HV 2. Stufe undv₆HV 3. Stufe

7.13. L¨ osen von allgemeinen DGL-Systemen

DGL-System:.

y(t) =A e

(t)·y(t) +b(t) 1. Findenlin. unabh¨ang. L¨osungsvektoreny

1, ...,y nmit der Wronski DeterminanteW(t) = det(y₁, ...,y_n)6= 0^! 2. Bestimmey_p=Y

e

(t)c(t)durch Variation der Konstanten c(t) =´

Y e

−1(t)b(t) dtbzw.Y e

·c⁰(t) =b 3. Bestimmey=y

p+P c_iy

imitc_i∈R Gleichgewichtspunkt:Ay_g+b= 0→(A|b)→(E|y_g) Stabilit¨at:

•Re(λ_i)<0→asymptotisch stabil

•Re(λ_i)>0→instabil

•Re(λ_i)≤0→stabil

Auch wichtig: Schr¨odingers Katze

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