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Academic year: 2022

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HUMBOLDT–UNIVERSIT ¨ AT ZU BERLIN

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult¨at II Institut f¨ur Mathematik

Prof. PhD. Andreas Griewank Dr. Andrej Ponomarenko Dipl.-Ing. Heinz–J¨urgen Lange

Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin

Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik f¨ ¨ ur Informatiker II

Serie 7. (Abgabe: bis 14.06.05)

Aufgabe 1:Seif(x) eine dreimal differenzierbare Funktion. Finden Siey00 undy000, wenn:

a) y=f(1x) (1 Punkt)

b) y=f(ϕ(x)), wobeiϕ(x) – hinreichend oft differenzierbar. (2 Punkte)

Aufgabe 2:Sei die Funktiony=f(x) hinreichend oft differenzierbar. Finden Sie die Ableitungen x0, x00, x000 der inversen Funktionx=f1(y) vorausgesetzt, dass diese existiert. (2 Punkte) Aufgabe 3:Finden Sie die Intervalle, auf denen die folgenden Funktionen streng monoton sind:

a) y=

√x

x+ 100, x≥0 (2 Punkte)

b) y=x2

2x (2 Punkte)

Aufgabe 4:Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:

a) ex>1 +x+x22 f¨urx >0 (3 Punkte)

b) x−x22 <ln(1 +x)< x f¨urx >0 (3 Punkte)

Aufgabe 5:Zeigen Sie, dass die Funktion

f(x) =

x+x2sinx1, fallsx6= 0

0 fallsx= 0

im Punktx= 0 w¨achst, jedoch nicht auf Intervallen (−ε, ε) (mit ε >0 - beliebig klein), die diesen

Punkt enthalten. (3 Punkte)

Aufgabe 6:Finden Sie f¨ur die folgenden Funktionen ihre Wendepunkte und Intervalle, auf denen diese konvex bzw. konkav sind:

a) y=xsin(lnx) (2 Punkte)

b) y=ex2 (2 Punkte)

phone: 030/2093-5820 fax: 030/2093-5848 e-mail: griewank@math.hu-berlin.de andrej@math.hu-berlin.de

lange@math.hu-berlin.de http://www.mathematik.hu-berlin.de/∼gaggle/MATHINF

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