Institut f
ur Theoretishe Teilhenphysik
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Dr. Robert Harlander, Dr. JanBrinkmann 27.10.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre robert.harlanderern.h janbritkm.uni-karlsruhe.de
Ubungsblatt Nr. 2 zur Theorie C fur Lehramtskandidaten
1 Flahenintegrale:
Es sollder Flu = ZZ
F
A(r)da = ZZ
F
(A(r)n)da eines Vektorfeldes A(r) durheine
Flahe F berehnet werden.
a) F sei die Oberahe eines Wurfels, gegeben durh ( L
2
x
L
2 );(
L
2
y
L
2 );(
L
2
z
L
2
).Berehnen Sie das Flahenintegral furA(r)=r.
b) F seidieOberahe einer Kugel mitRadius R um den Ursprung.
BerehnenSiefur A(r)=r.Geben SiedazuNormalenvektor nundFlahenelement
da inKugelkoordinaten an.
) F seidieOberahe einer Halbkugelum den Ursprung mitz >0 und RadiusR.
Manberehne fur A(r)=(2x;2yz; z 2
).
d) BestimmenSie a),b) und )
uberden Gaushen Satz.
2 Gaushes Gesetz:
a) Berehnen Siedas elektrishe FeldE(r) einer homogen geladenen KugelmitRadius R
amUrsprung
uber das Gaushe Gesetz fur r<R und r >R. Die Gesamtladungder
Kugel seiQ.
b) Man berehne E(r) in einem Kugelkondensator fur die Bereihe r < R
<
; R
<
< r <
R
>
; R
>
< r. Dieser besteht aus zwei Kugelshalen um den Urspung; die Shalen
haben vershwindende Wandstarke und den Radius R
<
bzw. R
>
> R
<
. Die innere
Shale tragt dieLadung q, dieauere q.
) Gegeben seieineunendlihausgedehnte, homogengeladenePlatte derStarke2Linder
y{z-Ebene. DieLadungsdihteistalso (r)=
0
(L jxj).ManbestimmeE(r) uber
das Gaushe Gesetz, furjxj<L und jxj>L.
d) Finden Siedas zugehorige Potential (r) furdas Problem a).
3 Maxwell-Gleihung:
Das Feld kann auh durh Losen der Maxwell-Gleihung r E(r) = 1
"
0
(r) bestimmt
werden,wenndieSymmetriedesProblemsimLosungsansatzberuksihtigtwird.DieLosung
E(r) mu
uberall stetig sein.
a) Losen Siedie Maxwell-Gl.furdie Platte 2 )furdieBereihe x>Lund 0x<L.
Finden Siegeeignete Randbedigungen, um dieIntegrationskonstanten zu eliminieren.
b)
Uberprufen Sie rE(r)=0 furIhre Losung.
4 Poisson-Gleihung:
Die Losung der Poisson-Gleihung lautet (r) = 1
4"
0 Z
(r 0
)
jr r 0
j d
3
r 0
. Berehnen Sie damit
das Potential(r) fur r=ze
z
auf der z-Ahse. Die Ladungsdihte sei (r;';z) =
0 Æ(r
R )Æ(z) inZylinderkoordinaten(r;';z).beshreibteinengeladenenRinginderx-y-Ebene.