Überlagerte Bewegungen
Harold Eugene Edgerton (*1903 in Fremont, Nebraska; †1990 in Cambridge, Massachusetts) war ein amerikanischer Elektroingenieur, Erfinder des elektrischen Stroboskops und Pionier der Hochgeschwindig-
keitsfotografie. Der Öffentlichkeit bekannt ist er vor allem durch spektakuläre Aufnahmen von abge- feuerten Projektilen, Flüssigkeitstropfen und Atombomben. Das Bild „Jackie Jumps a Bench“
entstand 1938 und ist heuet im Besitz des MOMA (Museum of Modern Art) in New York.
1. Geschwindigkeitsaddition
Kollineare Bewegungen
Aufgabe 1: Ein Regionalzug fährt mit 60 km/h an einem Beobachter auf dem Bahndamm vorbei.
a) Der Zug kreuzt einen entgegenkommenden ICN, der 120 km/h gegenüber dem Bahndamm fährt. Mit welcher Geschwindigkeit kommen sich die Züge näher?
b) Im Regionalzug geht ein Passagier (4 km/h) zum Speisewagen, holt ein Getränk und kehrt zu seinem Sitz zurück. Wie schnell bewegt sich der Passagier auf dem Hinweg (er geht dabei in Fahrtrichtung des Zuges) und auf seinem Rückweg gegenüber dem Bahndamm?
Geschwindigkeitsaddition: Ein Körper bewegt sich gegenüber dem Beobachter A mit der
Geschwindigkeit vA. Der Beobachter B bewegt sich in der gleichen Richtung gegenüber dem Beobachter A mit der Geschwindigkeit v. Der Körper bewegt sich gegenüber dem Beobachter B mit der Geschwindigkeit:
vB = ………..
Aufgabe 2: Tod auf dem Nil:
Das 220 m lange Schiff fährt den Nil hinauf.
Der Nil fliesst mit v = 4 m/s. Das Schiff bewegt sich gegenüber dem Wasser mit 18 km/h. Hercule Poirot (Bildmitte) spaziert vom Bug zum Heck mit 0.8 m/s.
a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Schiff gegenüber dem Ufer?
b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich Poirot gegenüber einem Beobachter am Ufer des Nils?
Aufgabe 3: Du fährst mit 50 km/h durch eine enge Kurve.
a) Nach einem Steinschlag liegt unverhofft ein grosser Stein auf der Strasse und du fährst mit voller Geschwindigkeit auf den Stein auf. Aus welcher Höhe müsstest du herunterfallen, damit du mit derselben Geschwindigkeit auf dem Betonboden aufschlagen würdest?
b) Ein entgegenkommender Lastwagen (80 km/h) hat die Kurve geschnitten und befindet sich deshalb auf deiner Fahrbahn.
Wie schnell bewegst du dich gegenüber dem Lastwagen? Dies entspricht einem Fall aus wie vielen Metern Höhe?
Aufgabe 4: Ein Flugplan:
Hinreise Zürich ZRH ab 16:25 New York JFK an 19:15 Rückreise New York JFK ab 21:15 Zürich ZRH an 10:55
Die Zeitangaben richten sich nach der Uhrzeit im jeweiligen Land. Im Hinflug muss die Uhr um 6 Stunden zurückgestellt, beim Rückflug entsprechend um 6 Stunden nachgestellt werden. Die Flugstrecke Zürich–New York beträgt 6‘500 km.
a) Wie lange dauern Hin- und Rückreise?
b) Die unterschiedlichen Reisezeiten rühren vom Jetstream (starke Winde in der oberen Troposphäre) her.
Berechnen Sie aus den Zeitangaben die mittlere Geschwindigkeit des Flugzeugs auf dem Hin- und dem Rückweg. Wie schnell ist der Jetstream?
Aufgabe 5: Ein Ruderbootrennen:
a) Wir rudern mit einem Boot eine Strecke von 500 m mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s und dann wieder zurück. Für das Wenden braucht das Schiff in dieser Aufgabe keine Zeit. Wie lange brauchen wir für beide Wege?
b) Nun führen wir dasselbe Rennen auf einem Fluss durch. Dabei rudern wir zuerst gegen die Strömung, die mit 2 m/s fliesst. Auf dem Rückweg wird dann mit der Strömung gerudert. Wie lang brauchen wir für beide Wege?
Relativitätsprinzip: Geschwindigkeiten können nur in Bezug zu einem Beobachter, d.h. relativ zu einem Bezugssystem angegeben werden.
Vektorielle Geschwindigkeitsaddition
Definition: Die Geschwindigkeit v eines Körpers wird durch den eine ……… und den ……… beschrieben. Eine Grösse, die durch Richtung und Betrag beschrieben wird, nennen wir ……… . Wir stellen einen Vektor grafisch als
……… dar. Um anzuzeigen das es sich bei einer Grösse um einen Vektor handelt schreiben wir: ………… .
Aufgabe 6: Hier sind der Geschwindigkeitsvektor des Vortriebs des Flugzeugs (Geschwindigkeit gegenüber der Luft) und der Geschwindigkeitsvektor des Winds dargestellt. Das Flugzeug fliegt mit 90 km/h. Welcher Geschwindigkeit hat der Wind? In welche Richtung bewegt sich das Flugzeug und mit welcher Geschwindigkeit?
Vektoraddition: Zwei Vektoren v1 und v2 werden addiert, indem man die dazugehörigen Pfeile ………
……… . Das Resultat ist der direkte Vektor von
……… bis ………
des Pfeiles: v v1 v2
= +
Aufgabe 7: An der Eröffnungszeremonie der Olympischen Spiele laufen alle Athleten und
Athletinnen eines Landes mit leichtem Laufschritt (10 km/h) auf der Rundbahn. Einer von ihnen trägt jeweils die Landesflagge, die sich in etwa nach der relativen Windrichtung ausrichtet.
Während die Athleten vor der Haupttribüne vorbeikommen, weht die Flagge nicht schön nach hinten, sondern um 30° zu den Tribünen hin abgeneigt. An den unbeweglichen
Fahnenmasten, die sich vor den Tribünen befinden, zeigen die Fahnen genau zu den Tribünen. Bestimme daraus die Windgeschwindigkeit.
a) Löse das Problem mit einer Zeichnung aus der du die Grössen abliesst.
b) Berechne nun die Lösung mithilfe der Trigonometrie.
Aufgabe 8: Eine Fähre hat eine Geschwindigkeit von 7m/s gegenüber dem Wasser. Sie durchquert einen Fluss, der eine Strömung von 4 m/s hat. Berechne den Winkel, den der Kapitän
einschlagen muss, um genau gegenüber seines Abfahrtpunktes anzukommen. Mit welcher Geschwindigkeit nähert sich die Fähre dann dem anderen Ufer? Löse auch hier das Problem zuerst zeichnerisch und dann rechnerisch.
2. Wurfbewegungen
Der vertikale Wurf
Aufgabe 9: Am 26. November 2002 sprühte der Ätna zum wiederholten Mal Lava aus dem Erdinneren. Das
Lavagestein, das senkrecht nach oben katapultiert wurde, erreichte eine Höhe von 300 m. Mit welcher Mindest- geschwindigkeit verliess dieses Gestein den Krater?
Aufgabe 10: Der „Jet d’eau“ ist ein Springbrunnen im Genfersee mit einem bis zu 140 Meter hohen Wasserstrahl. Er ist eines der Wahrzeichen der Stadt Genf. Ursprünglich war die Fontäne nur wenige Meter hoch und diente als Überdruck- ventil in der Funktion eines Wasserschlosses für die 1885 erbaute Druckwasserleitung der Genfer Juweliere, die damit ihre Maschinen betrieben. Durch die Fontäne wurden uner- wünschte Druckspitzen bei Arbeitsunterbrechungen aufge- fangen und der Überdruck angezeigt. 1891 beschloss die Stadt Genf, die Fontäne als touristisches Wahrzeichen ins Seebecken zu versetzen, den Wasserdruck zu erhöhen und die Fontäne zu beleuchten. 1951 wurde die jetzige Anlage gebaut, die zwei Pumpen mit einer Gesamtleistung von ca.
1000 kW besitzt. Sie stösst 500 Liter Seewasser pro Sekunde mit einer Geschwindigkeit von 200 km/h aus.“ [Wikipedia]
Können diese Angaben stimmen? Bis auf welche Höhe sollte das Wasser kommen, wenn es die Düse mit 200 km/h verlässt?
Aufgabe 11: In der rhythmischen Sportgymnastik werden die Sportgeräte im Verlauf einer
Vorführung mehrmals hochgeworfen, während die Sportlerin gymnastische Figuren ausführt.
a) Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muss die Sportlerin den Ball senkrecht abwerfen, damit sie 2.5 s Zeit für die Ausführung einer Übung hat?
b) Wie hoch muss die Halle über dem Abwurfpunkt mindestens sein?
Aufgabe 12: Marco wirft von einer 35 m hohen Brücke einen Stein mit der Geschwindigkeit 2.5 m/s senkrecht nach unten.
a) Mit welcher Geschwindigkeit und nach welcher Zeit schlägt der Stein auf dem Wasser auf?
b) Mit welcher Geschwindigkeit müsste Marco den Stein senkrecht nach unten werfen, damit er am Boden mit der Geschwindigkeit 100 km/h aufschlagen würde?
c) Mit welcher Geschwindigkeit müsste Marco den Stein senkrecht nach unten werfen, damit er nach 2.0 s ins Wasser taucht
Aufgabe 13: Skizziere das Weg-Zeit-, das Geschwindigkeits-Zeit- und das Beschleu- nigungsdiagramm eines Steins der senkrecht nach oben geworfen wird.
Notiere auch die Bewertungsgesetze zum vertikalen Wurf.
Weg-Zeit-Diagramm Weg-Zeit-Gesetz
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
Der horizontale Wurf
Eine Kugel rollt mit der Geschwindigkeit v0 über einen Tisch und fällt dann von der Tischkante.
Welche Bahn beschreibt die Kugel? Hier handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen.
Beim horizontale Wurf ist die Startgeschwindigkeit
……… gerichtet, d.h. die
y-Komponente ist vy = …. und der Körper bewegt sich in horizontaler Richtung ………...
ax = ………… vx = ……… x = ………
in vertikale Richtung ………...
ay = ………… vy = ……… y = ………
Aufgabe 14: Eine Kugel rollt mit v = 1.0 m/s waagerecht auf eine Tischkante zu, die 125 cm über dem Boden ist. Sie soll genau in ein Loch im Boden treffen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (g = 10 m/s²). (Ohne Taschenrechner!)
a) Der Flug dauert 1.0 Sekunden.
b) Der Flug dauert 0.5 Sekunden.
c) Das Loch muss x = 1.0 m vom Tisch entfernt sein.
d) Das Loch muss x = 0.5 m vom Tisch entfernt sein.
Aufgabe 15: Ein Bub wirft einen Stein waagerecht von einem 5 m hohen Hügel weg. Der Stein fliegt über eine waagerechte Strecke von 20 Metern. Wie schnell warf der Bub den Stein (g = 10 m/s²)?
(Löse diese Aufgabe im Kopf ohne Taschenrechner.) Durch welchen Graphen wird die Wurfbahn beschrieben?
Wir eliminieren den Parameter Zeit t in den beiden Orts-Zeit-Gesetzen:
Wurfbahn: Die Wurfbahn beim horizontale Wurf wird durch eine ………. mit der Funktionsgleichung ……… beschrieben.
Aufgabe 16: Eine Kugel rollt waagerecht auf eine Tischkante zu und fällt dann auf den Boden. Auf welchem Weg fällt die Kugel?
Aufgabe 17: Susanne nimmt Anlauf auf dem 3-m-Brett und läuft ohne zu springen mit einer Geschwindigkeit von 2.8 m/s über das Brett hinaus. Beim Fallen bleibt sie aufrecht.
a) Wie lange fliegt Susanne durch die Luft?
b) Welche Geschwindigkeit hat Susanne beim Aufprall auf das Wasser?
c) Unter welchem Winkel gegenüber der Senkrechten auf der Wasseroberfläche treffen Susannes Füsse auf?
Aufgabe 18: Ausgerechnet am Wochenende, wo Sie ausschlafen können, werden Sie um sechs Uhr von lauter Musik geweckt. Sie kommt aus einem gegenüberliegenden, geöffneten Fenster.
Der Abstand der Häuser beträgt 6.2 m, und das andere Fenster liegt 2.5 m tiefer als Ihres.
a) Mit welcher Geschwindigkeit müssen Sie einen Pantoffel waagrecht aus dem Fenster werfen, damit er mitten durch das andere Fenster fliegt?
b) Unter welchem Winkel zur Hauswand fliegt der Pantoffel dann durch das andere Fenster?
Aufgabe 19: Für die Dreharbeiten eines James- Bond-Films wird ein Sprung mit einem Motorrad vom Flachdach eines Hauses auf ein tiefer liegendes Flachdach geplant.
Der Höhenunterschied beträgt 3.2 m, und das Motorrad fährt mit 64 km/h über die Kante des Flachdaches. Wie weit dürfen die Häuser höchstens auseinander stehen, damit der Sprung klappt?
Aufgabe 20: Der Wasserstrahl an einem Brun- nen zeigt anschaulich die Wurfparabel, da jeder Wassertropfen durch die Luft geworfen wird. An einem Brunnen mit waagrechtem Rohr machen Sie folgende Messungen: Der innere Rohrdurchmesser ist 8.0 mm. In 9.2 s kommen 0.60 Liter Wasser heraus.
a) Mit welcher Geschwindigkeit verlässt das Wasser das Rohr?
b) Bei welcher Fallhöhe ist die Wurfweite gleich der Fallhöhe?
Der schiefe Wurf
Beim schiefen Wurf hat der Körper beim Abschuss nicht nur eine Komponente in die x-Richtung, sondern der Abschuss erfolgt ganz allgemein in irgendeine Richtung. Beispiele für den schiefen Wurf sind:
Beim schiefen Wurf hat die Startgeschwindigkeit die beiden Komponenten vx0 und vy0, der Körper wird unter dem Winkel α abgeschossen und bewegt sich
in horizontaler Richtung ………...
ax = ………… vx = ……… x = ………
in vertikale Richtung ………...
ay = ………… vy = ……… y = ………
Aufgabe 21: Ein Wasserstrahl sprüht unter einem Winkel von 35° gegenüber dem Boden mit einer Geschwin- digkeit von 16 m/s aus einem Gartenschlauch.
a) Welche Geschwindigkeit hat der Strahl in horizontaler und in vertikaler Richtung?
b) Wie weit fliegt der Strahl, d.h. in welcher Entfernung von der Düse trifft er auf dem Boden auf?
c) Wie hoch ist der Strahl an der höchsten Stelle?
Um die Wurfbahn zu bestimmen eliminieren wir wiederum den Parameter t aus den beiden Orts-Zeit-Gesetzen.
Die Wurfbahn beim horizontale Wurf wird durch eine ………. beschrieben.
Für die beiden Komponenten der Startgeschwindigkeit v0 gilt:
v0x = ……… und v0y = ……… mit dem Abschusswinkel α.
Die Wurfweite xw und die Wurfhöhe ymax hängen vom Abschusswinkel α und der Abschuss- geschwindigkeit v0 ab.
Für die Wurfweite xw gilt: xw = ………
Die maximale Wurfweite ergibt sich für einen Abschusswinkel α = ………… und beträgt xw(45°) = ………
Für die Wurfhöhe ymax gilt: ymax = ………
Aufgabe 22: In seinem Monster-Truck Bigfoot 14 sprang der Amerikaner Dan Runte im September 1999 auf dem Flughafen von Smyrna (USA) mit Hilfe einer Rampe 61.1 m weit über einen Boeing 727 Passagierjet. Diese Meldung aus dem Guinness-Buch der Rekord gibt die Frage auf: Welche Geschwindigkeit hatte das Auto beim Absprung, wenn die Rampe 45° geneigt war und Auftreffpunkt und Absprungpunkt auf gleicher Höhe waren?
Aufgabe 23: Bei seinem Jahrhundertsprung bei den Olympischen Spielen in Mexiko 1968 sprang Bob Beamon 8.9 m weit. Nehmen Sie an, dass seine Absprunggeschwindigkeit 10 m/s betrug, vernachlässigen Sie den Luftwiderstand und nehmen Sie nicht ganz realistischerweise an, dass der Schwerpunkt beim Absprung und bei der Landung auf gleicher Höhe ist.
a) Unter welchem Winkel gegen die Horizontale ist Beamon abgesprungen?
b) Wie lange war er in der Luft?
c) Welche maximale Höhe erreichte er?
d) Wie weit wäre er gesprungen, wenn er unter 45° hätte abspringen können?
Aufgabe 24: Aus einer im Schützengraben befindlichen Kanone werde eine Granate mit der Masse m unter dem Winkel α = 30° mit der Geschwindigkeit v0 = 40 m/s abgeschossen. Im höchsten Punkt E ihrer Flugbahn explodiert die Granate und zerfällt in zwei Bruchstücke. Berechnen Sie die
Koordinaten der Explosionsstelle E.
