Analytische Geometrie (3): Ebenen / Geraden: Darstellungen, Lage,
Winkel, Abstand
Inhaltsverzeichnis
1. Verschiedene Darstellungen einer Ebene a. Parameterform (PF)
b. Koordinatenform (KF) c. Normalenform (NF) 2. Umwandlung der Ebenen-Formen
a. PF NF / NF KF / KF PF b. PF KF / KF NF / NF PF 3. Geraden
4. Winkel zwischen Ebenen und Geraden a. Ebene - Ebene
b. Ebene - Gerade c. Gerade - Gerade
5. Lagebeziehungen zweier Ebenen - 3 Fälle 6. Lagebeziehungen zwischen Ebene und
Ge-raden - 3 Fälle
7. Lagebeziehungen zweier Geraden - 4 Fälle 8. Abstandsbestimmungen a. Punkt - Punkt b. Punkt - Ebene c. Punkt - Gerade d. Ebene - Ebene e. Ebene - Gerade f. Gerade - Gerade
(Übungen beziehen sich auf Lambacher, Schweizer: Analytische Geometrie mit linearer Algebra. Leistungskurs. Ausga-be A. Klett, 2000; ISBN 3-13-732320-4)
1.) Verschiedene Darstellungen einer Ebene
a) Parameterform (PF): E x:r=OP ru svv v→
+ +
• P ist ein Punkt von E; OPr r→ heißt Stützvektor;
u v, heißen Richtungsvektoren (die beiden Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear sein)
• Standardaufgabe 1: Ebene durch drei Punkte P, Q und R bestimmen:
E x:r=OP r PQ s PR → + → + → • Standardaufgabe 2:
Punkte auf E berechnen: Werte für r und s einsetzen (z. B. r = 1, s = 0)
• Standardaufgabe 3:
Punktprobe: Liegt A auf E?
Löse das LGS OA OP r PQ s PR→ = → + → + →
. Gibt es ein r und s, so liegt A auf E! b) Koordinatenform (KF): E ax: 1+bx2+cx3+d =0
• Koordinatenebenen: x1x2-Ebene: x3 = 0 x1x3-Ebene: x2 = 0 x2x3-Ebene: x1 = 0.
• Standardaufgabe 1: Schnitt Ebene - Geraden: „Gerade in Ebene (in KF) einsetzen“
• Standardaufgabe 2: Schnitte Ebene - Ebene: „E1 (in PF) in E2 (in KF) einsetzen“
• Standardaufgabe 3: Punktprobe: „Einfach einset-zen“
Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die sogenannten Spurpunkte:
(
|0|0)
1 da S = − ; 2(
0| |0)
b d S = − ;(
)
c dS2 = 0|0|− und verbinde diese zu den „Spurgeraden“ • Standardaufgabe 5: Abstandsbestimmungen - siehe weiter unten
• Der Vektor, der aus den Koeffizienten der KF besteht, nv a b c =
, steht senkrecht auf den bei-den Richtungsvektoren der Ebene. Wir nennen ihn bei-den Normalenvektor der Ebene! c) Normalenform (NF) E:(xv− pv)⋅nr=0
• P ist ein Punkt auf E, v
n ist der Normalenvektor.
• Ein Punkt X liegt auf E, wenn er obige Glei-chung erfüllt (wenn also der Verbindungsvek-tor PX→ , der in der Ebene liegt, senkrecht zum Normalenvektor steht).
• Hesse - Normalform (HNF):
E x:(v−p nv)⋅r0=0 mit dem Einheitsvektor v
v v n n n 0 = . (für Abstandsberechnungen)
• Standardaufgabe 1: Winkel zwischen Ebe-nen (beide in NF): über den Winkel zwischen den Normalenvektoren
• Standardaufgabe 2: Winkel zwischen Ebene (in NF) und Gerade: über den Winkel zwi-schen Normalvektor und Richtungsvektor
2.) Umwandlungen zwischen den Ebenen-Formen
a) PF NF KF PF („im Uhrzeigersinn“)• PF
NF - „Trick 17“:
Zu den Richtungsvektoren den Normalenvektor suchen (“Trick 17“!) und den Stützvektor der Parameterform verwenden, z. B. ⇒ + − + − = 3 2 0 2 1 5 3 2 1 : 3 2 1 s r x x x E 0 10 15 1 3 2 1 : 3 2 1 = − − ⋅ − − ⇒ x x x E
Alternative zu „Trick 17“: Löse das folgende LGS:
0
3
2
0
0
.)
0
2
1
5
0
.)
3 2 1 3 2 1=
+
+
⇒
=
⋅
=
+
+
−
⇒
=
⋅
n
n
n
v
n
II
n
n
n
u
n
I
v
v
v
v
Eine Lösung lautet z. B.
5 1 1 2 3 =−2;n =3;n =− n „Trick 17“ (= Vektorprodukt) − − = ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ − − 10 15 1 1 0 2 5 ) 5 ( 3 0 2 2 2 3 1 3 2 2 1 0 5 3 2 2 1 0 5 nv PF NF KF
• NF
KF - „Ausmultiplizieren“: Bsp.: 0 4 7 6 5 0 ) 21 12 5 ( 7 6 5 0 7 6 5 3 2 1 7 6 5 0 7 6 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = − + + − ⇔ = + − − − + + − ⇔ = − ⋅ − − − ⋅ ⇔ = − ⋅ − − x x x x x x x x x x x x • KF
PF:
• Variante 1 - „Spurpunkte“: Suche drei Punkte, die diese Gleichung erfüllen, z. B. die Spurpunkte, und bilde daraus Parameterform.
• Variante 2 - „Nach x1 auflösen und wähle zwei Koordinaten als Parameter“.:
⇒ = + + + 2 3 0 1 bx cx d ax s x r x a c x a b x a d x = = − − − = 3 2 3 2 1 − + − + − = ⇒ 1 0 / 0 1 / 0 0 / 3 2 1 c a s a b r a d x x x
b) PF KF NF PF („gegen den Uhrzeigersinn“) • PF
KF:
• Variante 1 - „Parameter eliminieren“: Aus den drei Gleichungen die Parameter r und s e-liminieren, übrig bleibt eine Gleichung, die Koordinatenform.
• Variante 2 - „über die NF“: zuerst „Trick 17“ und dann „Ausmultiplizieren“ • KF
NF - „Ablesen“: Normalenvektor ablesen, einen Punkt suchen, Bsp.:
0 3 2 1 0 0 5 : ) 0 | 0 | 5 ( ; 3 2 1 0 5 3 2 : 3 2 1 3 2 1 = − ⋅ − − ⇒ − − = ⇒ = + − + x x x E P n x x x E v
• NF
PF - „über KF“: Zuerst in KF - „Ausmultiplizieren“, dann in PF mit „Spurpunkten“.
Übungen: S. 141: Bsp. 1 – 4; S. 142 / 2 -6; S. 123 / 4; 5 (mit Lösung)
3.) Geraden
a) Parameterdarstellung: g x:v=OP ruv →
+ . • P ist ein Punkt auf g;
Vektor ur gibt die Richtung an (Rich-tungsvektor).
• Standardaufgabe 1: Parameterdarstel-lung durch zwei Punkte P und Q:
g x:v=OP r PQ →
+ →
.
• Standardaufgabe 2: Punkte auf g: für ein bestimmtes r kann der zugehörige Punkt berechnet werden.
• Standardaufgabe 3: Punktprobe: Liegt R auf g? Gibt es ein r, so dass
OR OP r PQ→ = →
+ →
? (Löse das LGS) b) Weitere Darstellung von Geraden im
3-dimensionalen Raum existieren nicht!
4.) Winkel zwischen Ebenen und Geraden
Die Ebenen seien in Normalenform gegeben und die Geraden wie üblich: Ebene E1 mit Normalen-vektor nr1; Ebene E2 mit
r
n2, Gerade g1 mit Richtungsvektor r
u1; Gerade g1 mit r u2.
parallel
orthogonal
Winkel
E
1und E
2 r r n n1; 2kollinear: 2 1 t n nv = ⋅v r r n n1; 2 orthogonal: r r n n1⋅ 2=0 2 1 2 1 cos n n n n r r r r ⋅ =α
E
1und g
1 r r n u1; orthogonal: 1 r r n u1⋅ 1=0 r r n u1; kollinear: 1 1 1 t u nv = ⋅v 1 1 1 1 sin u n u n r r r r ⋅ =α
Bem.:sinα =cos(90°−α)
g
1und g
2 r r u u1; 2 kollinear: 2 1 t u uv = ⋅v r r u u1; 2 orthogonal: r r u u1⋅ 2 =0 2 1 2 1 cos u u u u r r r r ⋅ = αZum besseren Verständnis hier die Skizzen der verschiedenen Fälle:
Übungen: S. 143 / 10, 11; S. 145 / Bsp. 1 - 3; S. 146f / 2 - 5; 11 – 15; 22 –24; S. 164f / Bsp. 1 - 3; S. 165ff / 4-8; 14 - 15
5.) Lagebeziehung zweier Ebenen - 3 Fälle
Schnittberechnungen: E1 in KF und E2 in PF (wenn nicht: umwandeln):
v t u r p x
E2: v= v+ v+ v: Diese drei Gleichungen für x1, x2 und x3 setzt man dann in die Gleichung von E1 ein und erhält eine Gleichung mit r und t: Dabei entstehen 3 Fälle:
1. “0 = 0”: unendlich viele Schnittpunkte identisch
2. “1 = 0”: kein Schnittpunkt parallel, nicht identisch 3. “r = 1; t bel.” oder “r = 2t-1; t bel.”: unendlich viele Spe schneiden sich
Diese Parameterwerte werden in E2 eingesetzt und ergeben die Schnittgerade Lagebeziehung: Mithilfe der Normalenvektoren n nr1;r2 und einem Punkt P von E1:
• n nr1;r2 nicht kollinear Fall 3 (schneiden sich)
• n nr1;r2 sind kollinear Fall 1 oder 2 (identisch oder parallel)
n1 n2 n1 n1 n2 n2 n1 n1 n1 u1 u1 u1 u1 u1 u1 u2 u2 u2 α α α 90°-α Be m : Ein re ch te r W in ke l w ird d u rch a n g e ze ig t! E 1 E 1 E 1 E 1 E1 E 1 E2 E 2 E2 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 2 g 2 α
• P liegt auch auf E2 Fall 1: identische Ebenen
• P liegt nicht auf E2 Fall 2: parallele und nicht identische Ebenen
Bsp.: Die Ebene in Parameterform
1 1 0 0 1 1 0 0 1 : 2 + + = r t x
E v wird als LGS aufgefasst:
; ; 1 2 3 1 r x r t x t
x = + = + = . Diese Gleichungen werden in E1 eingesetzt: 1. E1:x1−x2+x3 =1⇒(1+r)−(r+t)+t=1⇒1=1, also E1 und E2 identisch 2. E1:x1−x2+x3 =3⇒(1+r)−(r+t)+t=3⇒0=2, also E1 und E2 parallel 3. E1:2x1+2x2−2x3 =2⇒2(1+r)+2(r+t)−2t=2⇒r=0,t bel.: in E2 eingesetzt 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 + = + + = t t
xv Dies ist die Schnittgerade von E1 und E2.
4. E1:x1+x2 −x3 =3⇒(1+r)+(r+t)−t=3⇒r=1,t bel., wieder in E2 eingesetzt:
1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 + = + + = t t
xv die Schnittgerade von E1 und E2.
5. E1:x1+x2 −2x3 =1⇒(1+r)+(r+t)−2t=1⇒2r−t=0⇒t=2r,r bel., wieder in E2: 2 3 1 0 0 1 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 + = + + = + + = r r r r
xv - Schnittgerade von E1 und E2.
6. E1:x1+2x2 −x3 =3⇒(1+r)+2(r+t)−t=3⇒3r+t=2⇒t=2−3r,r bel.in E2: − + + = − + + = 1 1 0 3 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 1 1 0 ) 3 2 ( 0 1 1 0 0 1 r r r r xv also − − + = − + + = 3 2 1 2 2 1 1 1 0 3 0 1 1 1 1 0 2 0 0 1 r r r
xv - Schnittgerade von E1 und E2.
Alternative zur Schnittberechnung: E1 und E2 in KF:
Es ist damit ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten (x1, x2 und x3) zu lösen: 3 Fälle: “0 = 0”: identisch “1 = 0”: parallel sonst: schneiden sich.
Bsp.: E2 :x1−x2 −2x3 =4 (I); E1:x1+x2 −x3 =1 (II). Eliminiere x2 durch (I + II): 2x1−3x3 =5⇒x1 =2,5+1,5x3 Eliminiere x1 durch (I - II): −2x2 −x3 =3⇒x2 =−1,5−0,5x3 Setze x3 = t, E1 E1 E1 E2 E2 E2 n2 n2 n2 n 1 n 1 n 1
x
Px
Pdamit ergibt sich folgende Schnittgerade: xv= − t + − 2 5 1 5 0 1 5 0 5 1 , , , ,
Übungen: S. 107/ 2-6; S. 143 / 9; S. 123 / 2 (mit Lösungen)
6.) Lagebeziehung Gerade - Ebenen - 3 Fälle
Schnittberechnungen - E in KF: Setze die Geradengleichung ein. Löse nach t auf:
1. “0 = 0”: unendlich viele Schnittpunkte g liegt in E
2. “1 = 0”: kein Schnittpunkt g || E, aber nicht identisch 3. “t = 2”: ein Schnittpunkt g schneidet E
Durch Einsetzen von t in die Geradengleichung ergibt sich der Schnittpunkt.
Lagebeziehung: Mithilfe des Normalenvektors nr von E, des Richtungsvektor uv von g und einem Punkt P von g kann man die Lagebeziehung klären:
• nr; nicht senkrecht uv g schneidet E • nr ⊥uv g in E oder g || E
Zur Unterscheidung muss man noch bei einem Punkt P von g überprüfen, ob er auf E liegt: • P liegt auch auf E g liegt in E
• P liegt nicht auf E g || E Bsp.: E: x1+x2−x3 =0; g:xv= t + − 1 1 0 0 1 1
(
)
⇒(1 0+ t) (+ 1−t) (− 0+t)=0⇒ = ⇒t 1 S 101| |Übung: S. 102 / 7; S. 104 / 15; S. 123 / 3 (mit Lösung);
7.) Lagebeziehungen von Geraden - 4 Fälle
Schnittberechnungen: Wir setzen die Parameterdarstellungen der Geraden g und h gleich. Daraus ergibt sich ein LGS (3 Gleichungen, 2 Unbekannte). Es können diese drei Fälle auftreten:
1. „r = 1 / s =2”: ein Schnittpunkt: g schneidet h
Durch Einsetzen von r und s in die Geradengleichungen ergibt sich der Schnittpunkt!
2. „0=0“ unendlich viele Schnittpunkte: identische Geraden. 3. „1=0“ kein Schnittpunkt - zwei Fälle: g || h oder windschief
a. Richtungsvektoren kollinear g || h
b. Richtungsvektoren nicht kollinear windschiefe Geraden
Lagebeziehung: Mithilfe der Richtungsvektoren uv (von g) und vv (von h) und den Stützpunkten P (von g) und Q (von h) lässt sich dies klären:
n n n u u u g g g E E E
x
Px
P g g g g h h h h u u u u v v v vx
Q Qx
x
P Px
x
Px
P• uv; sind kollinear vv Fall 2 oder 3 (identisch oder parallel)
Zur Unterscheidung muss man für den Punkt P von g überprüfen, ob er auf h liegt: • P liegt auch auf h Fall 2 (identisch)
• P liegt nicht auf h Fall 3 (g || E)
• uv; nicht kollinear vv Fall 1 oder 4 (schneiden sich oder windschief) Zur Unterscheidung kann man eine Schnittberechnung durchführen oder die lineare Ab-hängigkeit der Vektoren PQ;uv;vvuntersuchen (ich empfehle Ersteres!)
• kein SP bzw. PQ;uv;vv sind linear unabhängig Fall 4 (windschief) • ein SP bzw. PQ;uv;vv sind linear abhängig Fall 1 (schneiden sich)
Beispiel: + = 0 3 1 0 0 1 :x r g v und − + = 1 1 2 0 3 2 :x s h v
Hinweis: Falls die Parameter denselben Namen haben (z. B. r und r): Benenne einen um! Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear: g und h schneiden sich oder sind windschief Löse das LGS: 2 2 1 3 3 0 3 2 2 0 3 1 .) .) .) = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − + = = = + r r s s s s r r III II I
Es gibt eine Lösung:
r = 1 und s = 0, g und h schneiden sich:
= − + = 0 3 2 1 1 2 0 0 3 2 OS : S(2|3|0)
Übungen: S. 86 / 2 – 4; S. 123 / 1 (mit Lösungen)
8.) Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Bem.: Die kürzeste Verbindung ist jeweils gesucht!a) zwischen zwei Punkten P und Q: d P Q( , ) |= PQ| → Bsp.: P(3|4|-2) und Q(-2|0|-4): 25 16 4 45 6,71 2 4 5 ) , ( 2 4 5 ≈ = + + = − − − = ⇒ − − − = d P Q PQ Übung: S. 129 / 6
b) zwischen Punkt P und Ebene E x q n:(v−v)⋅v=0 :
• Mit der Hessenormalform („P einsetzen“): d P E( , ) |(= p q nv− v)⋅v0| oder mit • der Hesse-Koordinatenformn x n x n x c n n n 1 1 2 2 3 3 12 22 32 + + − + + = 0 d P E p n p n p n c n n n ( , ) = + + − + + 1 1 2 2 3 3 1 2 22 32
Bem.: Achte bitte bei der Koordinatenform darauf, dass rechts nur 0 steht! Bsp.: P(1|2|3) und E:2x1 +x2 −x3 =2;
Suche zuerst Punkt aus E: Q(1|0|0) und den Normaleneinheitsvektor von E:
x
Px
Q PQv n0 1 6 2 1 1 = − ; 6 0,41 1 6 1 6 1 ) 3 2 0 ( 6 1 1 1 2 0 0 1 3 2 1 ) , ( = + − ⋅ = − = ≈ − ⋅ − = E P d . Oder schneller: d P E( , ) = ⋅ + ⋅ − ⋅ − + + = 1 2 2 1 3 1 2 4 1 1 1 6
• Neben den beiden Standardmethoden gibt es noch eine alternative Vorgehensweise:
Wir definieren die Hilfsgerade h durch P und mit Richtungsvektor nv : h:xv =OP+tnv. Schneide h mit E - der Schnittpunkt sei S.
Dann ist der Abstand zwischen P und E gerade der zwischen P und S: d(P,E)= PS
Bsp.: P(1|2|3) und E x:2 1+x3−x3=2 − + = 1 1 2 3 2 1 :x t
h v Schneide h mit E („einsetzen“):
(
65)
6 1 3 1 6 1 1 2 2 2 6 1 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 2 1 ( 2 + t + +t − −t = ⇔ + t = ⇔t = ⇒S 6 1 36 1 36 1 9 1 ) , ( = = + + = ⇒d P E PS Übung: S. 150 / Bsp. 1 - 2; S. 151 / 2 – 5; S. 153 / Bsp. 1 – 3; S. 154 / 2 - 4c) zwischen Punkt P und Gerade g: g x:v =qv+ruv:
Analog zum Aufstellen der Hilfsgeraden im Abschnitt (b) benötigen wir eine Hilfsebene H durch P, wobei der Richtungsvektor uv von g der Normalenvektor von H ist (H ⊥ g): H :(xv− pv)⋅uv=0 Schneide H und g, so ergibt sich der Lotfußpunkt F und damit:
→ = PF g P d( , ) Bsp.: P(1|2|3) und g x:v= r + − 1 0 0 1 1 2 ⇒ 0 2 1 1 3 2 1 : = − ⋅ − x H v : −x1+x2+2x3 =7 . g∩E ={ }:Setze g in H ein: − −F (1 r)+ +r 4r =7⇒6r=8⇒ =r 4 3/ ⇒
damit ergibt sich als Schnittpunkt: F(−1| | )
3 4 3 8 3 3 21 3 / 1 3 / 2 3 / 4 ) , ( = − − − = → = ⇒ d P g PF
Übung: S. 157f / Bsp. 1; 2; S. 159 / 8 –10 (inkl. Fläche beim Dreieck, Volumen der Pyramide)
x
P n E hx
Px
Px
S P S nx
P u H gx
Fx
Px
P P F g u gd) zwischen zwei Ebenen E1:(xv− p nv)⋅v1=0 und E2:(x q nv−v)⋅v2 =0: zuerst Lageuntersuchung anhand der Normalenvektoren:
• Sind nv1und nv2 keine Vielfache (nicht kollinear), so schneiden sich die Ebenen: d(E1,E2)=0, • sind nv1und nv2 Vielfache, so sind die
Ebenen parallel; wähle einen Punkt P aus E1 und bestimme seinen Abstand zu E2:
d E E( 1, 2) d P E( , 2) |(p q n) 2 | 0 = = v−v ⋅v 0 2 nv : Normaleneinheitsvektor von E2. Oder besser: mit Hesse-Koordinatenform
Bsp. 1: E1:2x1+x2−x3=2;E2:6x1−x2 −2x3 =4 ⇒ 2 1 1 − und 6 -1 -2 nicht kollinear, d. h. die Ebenen schneiden sich ⇒ d E E( 1, 2)=0
Bsp. 2: E1:2x1+x2−x3=2;E2:−4x1−2x2+2x3 =5 ⇒ 2 1 1 − und -4 -2 2
sind kollinear, al-so gilt: E1 || E2: Nimm somit P aus E1: P(1 | 0 | 0) und bestimme den Abstand zu E2;
84 , 1 24 9 24 9 4 4 16 5 0 2 0 2 1 4 ) , ( ) , ( 1 2 2 = − = ≈ + + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = = ⇒d E E d P E Übung: S. 154 / 5
e) zwischen Gerade g x:v = p ruv+ v und Ebene E x q n:(v− v)⋅v=0 : zuerst Lageuntersuchung anhand Richtungs- und Normalenvektor: • Gilt u nv v⋅ ≠0 , so schneiden sich Gerade und Ebene: d g E( , ) = 0 ; • gilt u nv v⋅ =0 , so sind Gerade und
Ebe-ne parallel: Wähle eiEbe-nen Punkt P aus g und bestimme seinen Abstand zu E: d g E( , )=d P E( , ) |(= p q nv−v)⋅v0|. Oder mit der Hesse-Koordinatenform Bsp. 1: E:2x1+x2−x3 =2; g x:v = r + − 1 0 0 1 1 2 ⇒ 2 1 1 1 1 2 3 0 − ⋅ −
= − ≠ , d. h. Gerade und Ebene schneiden sich ⇒d g E( , )=0
Bsp. 2: E:2x1+x2−x3 =2; g x:v= r + − − 1 0 0 1 0 2 ⇒ 2 1 1 1 0 2 0 − ⋅ − − = also g|| E ;
Zur Abstandsbestimmung: Nimm nun P aus g, P(1|0|0), und bestimme den Abstand zu E: 0 6 0 1 1 4 2 0 1 0 1 1 2 ) , ( ) , ( = = + + − ⋅ − ⋅ + ⋅ = =
⇒d g E d P E (also: g liegt in E).
f) zwischen zwei Geraden g x:v = p ruv + v und h x:v =q svv+ v: zuerst ausführliche Lageuntersuchung (Gleichsetzen ..) • identisch oder schneiden sich: d g h( , )=0 .
• parallel: Wähle Punkt P aus g und den Abstand zu h (über eine Hilfsebene): d(g,h)=d(P,h).
x
P n2 E2 dx
P n1 E1 x P n E d x P g u h d P x g• windschief - Wir benötigen dazu eine Hilfsebe-ne H: H wird durch die Richtungsvektoren uv und vv aufgespannt und geht durch P g liegt in H und h ist parallel zu H
Für die Normalenform bestimmen wir einen zu
v
u und vv orthogonalen Vektor nv („Trick 17“):
(
)
0: x− p ⋅n=
H v v v
Dann berechnen wir den Abstand zwischen h und H - also einfach zwischen Q und H:
| ) ( | ) , ( ) , (g h d Q H p q n0 d = = v−v ⋅v
(oder mit Hesse-Koordinatenform) Bsp. 1: g x:v= r + − − 1 0 0 1 0 2 ; h x:v= s + 0 0 1 0 1 2
: Lageuntersuchung ergibt: g und h sind windschief. Wir benötigen die Hilfsebene H durch P mit den beiden Richtungsvektoren von g und h,
= − − = 2 1 0 ; 2 0 1 v
uv v . Mit „Trick 17“ ergibt sich det Normalenvektor von H: n =v − 2 2 1
Damit ergibt sich für die Hilfsebene 0 2 2 2 0
1 2 2 0 0 1 : = ⇔ 1+ 2 − 3− = − ⋅ − x x x x H v
Abstand zwischen H und Q(0|0|1) (auf der Geraden h): 1
9 2 1 0 0 ) , ( ) , (g h =d Q H = + − − = d . Bsp. 2: g x:v = r + − − 1 0 0 1 0 2 ; h x:v= s + 0 0 1 1 0 2
. Lageuntersuchung: g und h sind parallel. Die Hilfsebene stellen wir auf mit dem Punkt P(1|0|0) aus g und dem Richtungsvektor von h,
1 0 2 , auf (h ⊥ H): 0 2 0 1 0 0 1 : = ⋅ − x H v , bzw. H: x1+2x3=1.
Wir schneiden h und H („einsetzen“): s+2 1 2( + s)= ⇒1 s= −1 5/ : Schnittpunkt
(
)
5 3 5 1 0 − F .
Der Abstand zwischen F und P(1|0|0) ergibt dann den Abstand der beiden Geraden: 34 , 1 25 45 25 9 25 36 5 / 3 0 5 / 6 0 0 1 5 / 3 0 5 / 1 ) , ( ) , ( = + = ≈ − = − − = =d P F h g d . Übung: S. 159 / 11; S. 161 / Bsp., 3, 5, 10, 11
Zusammen: S. 181: mit Lösungen!!
„Alte“ Abi-Aufgaben: Alle Geometrieaufgaben ohne Kreis und Kugel (!!!) sind lösbar! d