Angewandte Softwareverifikation mit einem interaktiven Theorembeweiser Version 28. M¨arz 2011
Das Lampen–Frosch–Problem
Eine unendliche Schlange von Fr¨oschen steht vor einer unendlichen Kette von Lampen mit Ein-Aus-Tastschaltern. Sowohl Fr¨osche als auch Lampen sind mit den positiven nat¨urlichen Zahlen (1,2,3,. . . ) durchnummeriert.
Zu Beginn der Unix-Epoche (0:00 Uhr am 1. Januar 1970 GMT) springt Frosch Num- mer 1 auf jeden Schalter und schaltet damit alle Lampen an. Danach springt Frosch Nummer 2 auf jeden zweiten Schalter, so dass nur die Lampen mit ungeraden Nummern brennen. Frosch Nummer drei springt auf jeden dritten Schalter und schaltet dabei zum Beispiel Lampe 3 aus und Lampe 6 an. Alle weiteren Fr¨osche folgen nach und nach, dabei springt Frosch Nummer n immer auf jeden n-ten Schalter.
Aufgabe
1. Welche Lampen brennen, nachdem alle Fr¨osche gesprungen sind?
2. Formalisieren Sie das Lampen-Frosch-Problem in Pvs und beweisen Sie Ihre L¨osung!
Detaillierte Hinweise
• Formalisieren Sie die Lampenreihe als Funktion [nat→bool]. Die Fr¨osche werden dann Funktionen, die Lampenreihen auf Lampenreihen abbilden.
• Um den Endzustand der Lampenreihe zu bestimmen (nachdem alle Fr¨osche ge- sprungen sind), ist strenggenommen eine Limesbildung (bez¨uglich einer entspre- chenden Metrik) notwendig. F¨ur dieses Praktikum ist es ausreichend, den finalen Lampenzustand wie folgt zu definieren: Der Zustand der Lampen ist der, den sie hat, nachdem Frosch Nummern gesprungen ist.
