Aufgabe 6: Geben Sie den maximalen Definitionsbereich (als Teilmenge von R ) der folgen- den Abbildungen (Funktionen) an:

H. Stichtenoth 26.10.2005

Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler, 2. ¨ Ubung

Diese Aufgaben k¨onnen am 31.10. vor der Vorlesung abgegeben werden; sie werden in den Ubungsgruppen in der Woche vom 31.10. bis 4.11. besprochen. ¨

Aufgabe 6: Geben Sie den maximalen Definitionsbereich (als Teilmenge von R ) der folgen- den Abbildungen (Funktionen) an:

a) f (x) = 1

1 + x b) g(x) = √

x − 1 c) h(x) = min

x, 1

x

. Bestimmen Sie die Werte der Funktionen f , g und h an den Stellen x = − 1, −

¹2

, 0, 2 (soweit diese definiert sind). Bestimmen Sie auch die Urbilder von − 2,

¹₂

unter f, g und h.

Bemerkung zu 6 c):

Das Minimum min{a, b} zweier reeller Zahlen aund b ist definiert durch min{a, b}=

a, falls a≤b, b, falls a > b.

Aufgabe 7: Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen f

i

: N → N , i = 1, 2, 3, 4, injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.

a) f

1

(n) :=

2, falls n = 1, n, falls n > 1 b) f

2

(n) := n + 1

c) f

3

( n ) :=

1, falls n = 1, n − 1, falls n > 1

d) f

4

(n) :=







2, falls n = 1, 1, falls n = 2, n, falls n > 2

Aufgabe 8: Gegeben sind die folgenden zusammengesetzten Funktionen:

a) h

1

( x ) = 4 √

³

1 − x

⁷

b) h

2

( x ) = 5 (6 x

³

− 8 x

²

+ x − 4)

²⁰⁰⁴

Schreiben Sie h

i

, i = 1, 2, jeweils als Verkettung zweier Abbildungen.

Aufgabe 9: Berechnen Sie f¨ur die Vektoren v

1

=

− 2 3

, v

2

= 3

1

, v

3

= 6

− 3

die folgenden Ausdr¨ucke:

− 2 · v

2

, 1

3 · v

3

, v

2

+ v

3

, 2 · v

1

+ v

2

, v

3

− v

1

. Zeichnen Sie dann alle Vektoren in eine kartesische Koordinatenebene ein.

Aufgabe 10: Gegeben sind die folgenden Teilmengen des R

³

:

1

2

U

1

:= { λ · v : v = (1, 1, 1)

^t

∧ λ ∈ R } , U

2

:=

(x

¹

, x

2

, 0)

^t

: x

1

, x

2

∈ R , U

3

:=

(x

¹

, x

2

, x

3

)

^t

: x

1

, x

2

, x

3

∈ R ∧ x

1

+ x

2

+ x

3

= 0 , U

4

:=

(x

¹

, x

2

, x

3

)

^t

: x

1

, x

2

, x

3

∈ R ∧ x

1

+ x

2

+ x

3

= 1 . a) Geben Sie eine geometrische Interpretation der angegebenen Mengen an.

b) Welche dieser Mengen sind Unterr¨aume des R

³

, welche nicht? Begr¨unden Sie Ihre

Antwort.