” Lineare Algebra“

Technische Universit¨ at Berlin

Fakult¨at II – Institut f¨ur Mathematik 27.07.2016

Doz.:R. Kruse,C. Merdon,R. Nabben Ass.:Beßlich,Seib

Modulpr¨ ufung

” Analysis I und Lineare Algebra f¨ ur Ingenieurwissenschaften“

Teil:

” Lineare Algebra“

Name: . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . Studiengang: . . . .

Neben einem handbeschriebenen A4-Blatt mit Notizen sind keine weiteren Hilfsmittel zugelassen. Die L¨osun- gen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨attern abzugeben. F¨ur jede Aufgabe bitte ein neues Blatt verwenden. Auf jedes Blatt bitte Name und Matrikelnummer schreiben. Mit Bleistift oder Rotstift geschriebene Klausuren k¨onnen nicht gewertet werden.

Geben Sie immer den vollst¨andigen Rechenweg und, wenn nichts anderes gesagt, immer eine kurze, aber vollst¨andige Begr¨undung an. Insbesondere soll immer klar werden, welche S¨atze oder Theoreme verwendet wurden! Ohne Begr¨undung bzw. Rechenweg gibt es keine Punkte!

Die Bearbeitungszeit f¨ur die Teilleistung im Fach

”Lineare Algebra“ betr¨agt 60 Minuten.

Die Gesamtklausur ist mit 45 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile (Analysis I und Lineare Algebra) der Klausur mindestens 40% der Punkte erreicht werden.

Ich habe bereits nach alter Pr¨ufungsordnung die Modulklausur

”Analysis f¨ur Ingenieur- wissenschaften“ bestanden/anerkannt bekommen.

Korrektur Lineare Algebra

1 2 3 4 Σ

Punktzahl: Analysis I Lineare Algebra Gesamtpunktzahl

Σ Σ Σ

1. Aufgabe

" _{1 2 0 1 −3}

−2 −4 0 1 3

3 6 1 3 −6

#

∈R^3,5und der Vektor~b:=

" ₃

0 8

#

∈R³. (a) Bringen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix [A|~b] in normierte Zeilenstufenform.

(b) Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des linearen Gleichungssystems A~x=~b.

(c) Bestimmen Sie eine Basis von Bild(A).

(d) Gibt es einen Vektor~v∈R³, sodass das lineare GleichungssystemA~x=~v keine L¨osung besitzt?

2. Aufgabe

Gegeben sei die MatrixB :=

"

4 1 −2 0 7 −6

0 0 4

#

∈R^3,3. (a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte vonB.

(b) Bestimmen Sie den Eigenraum zum kleinsten Eigenwert vonB.

(c) Zeigen Sie, dass

" ₁

3 0

#

ein Eigenvektor vonB ist.

(d) IstB diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine invertierbare MatrixS und eine DiagonalmatrixD mit B=SDS⁻¹ an.

(e) IstB invertierbar?

(f) Bestimmen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems d~y(t)

dt =B~y(t), ~y0=~y(3) =

"

2 6 0

# .

3. Aufgabe

F¨ur den Parameter α∈RseiC:=





0 −1 0 0

2 7 1 1

α −9α −4 −3

−1 −8 1 0



∈R^4,4.

(a) Berechnen Sie die Determinante vonC mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

(b) F¨ur welcheα∈Rsind die Spalten vonC linear abh¨angig?

(c) F¨ur welcheα∈RistCinvertierbar?

(d) Berechnen Sie f¨urα=−2 die Determinante von−2C^T.

4. Aufgabe

SeiV :=

A∈R^2,2

Aist obere Dreiecksmatrix mit der Basis B:=nh _{0 4}

0 0

i,h _{6 0}

0 2

i,h _{−6 4}

0 0

io.

(a) Bestimmen Sie ausgehend von Beine OrthonormalbasisBONB vonV bez¨uglich des Skalarprodukts h·,·i_V :V ×V →R, Dh _{a b}

0 c

i

,h _{d e}

0 f

iE

V

= 1 18ad+1

4be+1 2cf.

(b) Beschreibt die Abbildung

h·,·i_?:V ×V →R, Dh _{a b}

0 c

i

,h _{d e}

0 f

iE

?

= 4ad+ 2be ebenfalls ein Skalarprodukt aufV?