Aufgabenstellung und Ergebnisse zur Bachelor-Pr¨ufung Schließende Statistik Sommersemester 2015 Dr. Martin Becker Hinweise f¨ur die Klausurteilnehmer

Aufgabenstellung und Ergebnisse zur Bachelor-Pr¨ufung

Schließende Statistik Sommersemester 2015

Dr. Martin Becker

Hinweise f¨ur die Klausurteilnehmer

ˆ Die Klausur besteht aus insgesamt 9 Aufgaben. Pr¨ufen Sie die Vollst¨andigkeit Ihres Ex- emplares nach; sp¨atere Reklamationen k¨onnen nicht ber¨ucksichtigt werden.

ˆ Es sind insgesamt 120 Punkte (= 16 + 12 + 6 + 8 + 13 + 28 + 11 + 7 + 19) erreichbar.

ˆ Als Hilfsmittel sind zugelassen: Taschenrechner (auch mit Grafikf¨ahigkeit), 2 selbsterstellte DIN-A4 Bl¨atter bzw. 4 selbsterstellte (einseitige) DIN-A4 Seiten. Ben¨otigte Tabellen zur Normal- und t-Verteilung finden Sie am Ende dieses Klausurheftes.

ˆ Bei der Korrektur werdennurdie L¨osungen auf den Seiten 1–12 ber¨ucksichtigt. Das letzte Blatt (Tabellen zur Normal- undt-Verteilung) darf abgetrennt werden.

ˆ Bei mehreren L¨osungsvorschl¨agen muss die g¨ultige L¨osung eindeutig gekennzeichnet sein.

ˆ Mit Ausnahme der Multiple-Choice-Aufgaben muss der L¨osungsweg klar ersichtlich sein.

Bewertungsteil — Bitte nicht beschreiben

Aufgabe (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Σ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ

Aufgabe 1 (16 Punkte)

Markieren Sie jeweils mit einem Kreuz pro Aussage im betreffenden K¨astchen, ob die unten stehenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Richtige Antworten geben 2 Punkte, falsche Antworten und nicht bearbeitete Aussagen 0 Punkte (Aussagen mit zwei Kreuzen z¨ahlen als nicht bearbeitet!).

wahr falsch 1. SeienX1, . . . , Xn sowie Y normalverteilt mit

E(X₁) = E(X₂) =. . .= E(X_n) = E(Y).

Dann istX₁, . . . , X_n stets eine einfache Stichprobe vom Umfang n zuY.

2. Ist eine Familie von Sch¨atzfunktionen T_n, n ∈ N, konsistent im quadratischen Mittel f¨ur einen Parameter λ ∈ R, so ist jede dieser Sch¨atzfunktionen auch effizient in der Klasse der f¨ur λ erwartungstreuen Sch¨atzfunktionen.

3. Setzt man den aus einer Realisation x₁, . . . , x_n einer einfachen Stichprobe nach der Momentenmethode erhaltenen Parameter- sch¨atzwert in die zugeh¨orige Likelihoodfunktion ein, so ist es m¨oglich, dass man dabei den Wert 0 erh¨alt.

4. Wird bei einem statistischen Hypothesentest die Nullhypothese beibehalten, obwohl sie falsch ist, handelt es sich um einen Fehler 2. Art.

5. Gilt bei der Anwendung eines statistischen Tests f¨ur den p-Wert pzur Teststatistik T die Beziehung p < α, so liegt maximal mit Wahrscheinlichkeit pein Fehler 1. Art vor.

6. Nimmt ein zweiseitiger Gauß-Test mitH₀ :µ=µ₀die Nullhypo- theseH0zum Signifikanzniveauα= 0.05 an, so entscheiden auch die beiden einseitigen Tests mit H₀ : µ ≤ µ₀ bzw. H₀ : µ≥ µ₀ zum Signifikanzniveauα = 0.05 stets zu Gunsten der Nullhypo- theseH0.

7. Die einfache Varianzanalyse mit 2 Faktorstufen sowie der zwei- seitige 2-Stichproben-t-Test liefern unter den ¨ublichen Annah- men (unabh¨angig normalverteilte Zufallsvariablen mit identi- schen Varianzen) in ¨ubereinstimmenden Anwendungssituationen auch stets ¨ubereinstimmende Ergebnisse.

8. Im einfachen linearen Regressionsmodell

y_i =β₁+β₂·x_i+u_i, u_i ^iid∼N(0, σ²),

sind die Kleinst-Quadrate-Sch¨atzfunktionen βb₁ und βb₂ linear in

Aufgabe 2 (12 Punkte)

Markieren Sie jeweils die korrekte Antwort mit einem Kreuz im betreffenden K¨astchen. Es ist jeweils genau ein Kreuz korrekt.

Richtige Antworten geben 3 Punkte, falsche Antworten und nicht bearbeitete Aufgabenteile 0 Punkte (Aufgabenteile mit mehr als einem Kreuz z¨ahlen als nicht bearbeitet!).

1. Konfidenzintervalle f¨ur den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen mit bekannter Varianz sind umso breiter,

(a) je kleiner der Stichprobenumfang und je kleiner das Konfidenzniveau 1−α ist.

(b) je kleiner der Stichprobenumfang und je gr¨oßer das Konfidenzniveau 1−α ist.

(c) je gr¨oßer der Stichprobenumfang und je kleiner das Konfidenzniveau 1−α ist.

(d) je gr¨oßer der Stichprobenumfang und je gr¨oßer das Konfidenzniveau 1−α ist.

2. SeiX₁, . . . , X₁₀ eine einfache Stichprobe zu einer N(µ, σ²)-verteilten Zufallsvariablen Y mit unbekannten Parametern µ und σ². Auf der Grundlage einer Stichprobenrea- lisation zu dieser einfachen Stichprobe vom Umfang n= 10 soll

H₀ :σ² ≥σ²₀ = 9 gegen H₁ :σ² < σ²₀ = 9

mit einem Chi-Quadrat-Test getestet werden. Als realisierte Teststatistik erh¨alt man χ² = 5.32. Markieren Sie die Abbildung, welche den p-Wert in der beschriebenen Situation korrekt als Inhalt der schraffierten Fl¨ache unter der Dichtefunktion der Verteilung der Teststatistik unter H₀ (f¨urσ² =σ₀²) darstellt.

0.000.040.08

x fχ2(9)(x)

χ²=5.32

(a)

0.000.040.08

x fχ2(9)(x)

χ²=5.32

(b)

0.000.040.08

x fχ2(9)(x)

χ²=5.32

(c)

0.000.040.08

x fχ2(9)(x)

χ²=5.32

(d)

3. Bei der Durchf¨uhrung eines t-Tests f¨ur den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei unbekannter Varianz auf Grundlage einer einfachen Stichprobe vom Umfang n zum Signifikanzniveau α lehnt der rechtsseitige Test H₀ ab, w¨ahrend der zweiseitige Test H₀ nicht verwerfen kann. Damit weiß man ¨uber die Realisation t der Teststatistik:

(a) t ∈(−∞,−t_n−1,1−^α

2) (b) t ∈[−tn−1,1−α, tn−1,1−α] (c) t ∈(tn−1,1−α, tn−1,1−^α

2] (d) t ∈(tn−1,1−^α₂,∞)

4. Auf der Grundlage einer einfachen Stichprobe X₁, . . . , X₃₀ vom Umfang n = 30 zu einer N(µ,3²)-verteilten Zufallsvariablen wird ein Gauß-Test zur ¨Uberpr¨ufung der Hypothesen

H₀ :µ≥60 gegen H₁ :µ <60 bei einem Signifikanzniveau von α= 0.1 betrachtet.

Markieren Sie die Abbildung, welche die G¨utefunktion des oben genannten Tests kor- rekt darstellt.

54 56 58 60 62 64 66

0.00.20.40.60.81.0

µ

G(µ)

α

(a)

54 56 58 60 62 64 66

0.00.20.40.60.81.0

µ

G(µ)

1− α

(b)

54 56 58 60 62 64 66

0.00.20.40.60.81.0

µ

G(µ)

1− α

(c)

54 56 58 60 62 64 66

0.00.20.40.60.81.0

µ

G(µ)

α

(d)

Aufgabe 3 (2 + 4 = 6 Punkte)

Die Verteilung einer ZufallsvariablenY sei in Abh¨angigkeit des unbekannten Parameters λ > 0 eine stetige Gleichverteilung auf dem Intervall

0, λ

. Der quadrierte Parameter λ² soll auf Grundlage einer einfachen Stichprobe X₁, . . . , X_n vom Umfang n gesch¨atzt werden.

(a) Bekanntlich haben auf dem Intervall [a, b] (mit a < b) stetig gleichverteilte Zu- fallsvariablen den Erwartungswert a+b

2 sowie die Varianz (b−a)²

12 . Bestimmen Sie damit den Erwartungswert und die Varianz vonY in Abh¨angigkeit des unbekannten Parametersλ.

(b) ¨Uberpr¨ufen Sie mit Hilfe von Teil (a), ob

λb² := 3·X² = 3 n

n

X

i=1

X_i²

erwartungstreu f¨urλ² ist.

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

(a) E(Y) = λ

2, Var(Y) = λ² 12 (b) λb² ist erwartungstreu f¨ur λ².

Aufgabe 4 (6 + 2 = 8 Punkte)

Die Verteilung einer ZufallsvariablenY sei in Abh¨angigkeit des unbekannten Parameters a >0 durch die folgende Dichtefunktion gegeben:

f_Y(y|a) =

( a²·(y+ 2)·e^−a·(y+2) f¨ur y >−2

0 sonst

Der Parameter a soll auf Grundlage einer einfachen Stichprobe X₁, . . . , X_n vom Umfang n gesch¨atzt werden.

(a) Bestimmen Sie den Sch¨atzer baM L nach der Maximum-Likelihood-Methode.

(b) Man kann zeigen, dass E(Y) = 2

a −2 gilt. Bestimmen Sie damit den Sch¨atzerba_{M M} nach der Methode der Momente.

Hinweise:

ˆ Beachten Sie, dass Sie Teil (b) auch ohne die Bearbeitung von Teil (a) l¨osen k¨onnen.

ˆ Falls sich der ML-Sch¨atzer als lokale Extremstelle einer differenzierbaren Funktion bestimmen l¨asst, muss nicht ¨uberpr¨uft werden (z.B. mit Hilfe der 2. Ableitung), ob tats¨achlich eine Maximalstelle vorliegt.

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

(a) baM L = 2·n Pn

i=1(x_i+ 2) = 2 x+ 2 (b) ba_{M M} = 2

x+ 2

Aufgabe 5 (7 + 2 + 4 = 13 Punkte)

Bei der Abf¨ullung von Druckgaspatronen weiß der Hersteller aus langj¨ahriger Erfahrung, dass die verwendete Maschine eine Standardabweichung von 2[g] f¨ur die abgef¨ullte Menge hat. Nach einer routinem¨aßigen ¨Uberpr¨ufung hat der Hersteller den Verdacht, dass die Abf¨ullanlage im Mittel weniger als die auf dem Produkt ausgezeichneten 330[g] in die Patronen einf¨ullt. Dies soll mit einem statistischen Test ¨uberpr¨uft werden. Hierzu werden der Produktion 20 Patronen entnommen, deren gemessene F¨ullmengen x₁, . . . , x₂₀ als Realisation einer einfachen Stichprobe vom Umfang 20 zur annahmegem¨aß N(µ,2²[g²])- verteilten Abf¨ullmenge betrachtet werden k¨onnen. Als Stichprobenmittelwert ergibt sich dabei

x= 1 20

20

X

i=1

x_i = 329.141[g].

(a) Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 0.05, ob der Verdacht der Herstellerfirma best¨atigt werden kann. Fassen Sie das Ergebnis des Tests in einem Antwortsatz zusammen.

(b) Berechnen Sie denp-Wert zum Test aus Teil (a).

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art zu dem Test aus Teil (a), falls µ= 329[g] betr¨agt?

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

(a) N =−1.921∈(−∞,−1.645) =K ⇒ H₀ wird abgelehnt!

Der Test best¨atigt also den Verdacht der Herstellerfirma, dass die von der Maschine abgef¨ullte Menge im Mittel zu niedrig ist.

(b) p= 0.0274 (c) β(329) = 0.2776

Aufgabe 6 (11 + 9 + 8 = 28 Punkte)

Um zu ¨uberpr¨ufen, ob sich die Leistungsf¨ahigkeit von Alkali-Mangan-Batterien zweier verschiedener Marken unterscheidet, l¨asst ein Testinstitut die Ausdauer jeweils eines Bat- teriesatzes in 9 unterschiedlichen Digitalkameramodellen untersuchen. Es wurden dabei die folgenden Aufnahmeanzahlen bis zur automatischen Abschaltung der Kameras festge- stellt:

Kamera i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Marke A x^A_i 269 289 278 300 308 311 263 313 288 Marke B x^B_i 276 282 254 290 303 287 269 283 275

(a) ¨Uberpr¨ufen Sie unter der Annahme, dass die gemessenen Aufnahmeanzahlen aus einer einfachen Stichprobe zur zweidimensional normalverteilten Grundgesamtheit (Y^A, Y^B) der Aufnahmeanzahlen mit Batteriemarke A(Y^A) bzw. Batteriemarke B (Y^B) stammen, zum Signifikanzniveauα= 0.05 die Hypothese, dass die Verwendung von BatteriemarkeAim Vergleich zu Batteriemarke B durchschnittlich eine h¨ohere Aufnahmeanzahl erm¨oglicht. Fassen Sie das Ergebnis auch in einem Antwortsatz zusammen.

(b) Nehmen Sie nun an, dass durch eine grobe Unachtsamkeit bei der Datenerhebung die Zuordnung der einzelnen Aufnahmeanzahlen zu den jeweiligen Digitalkamera- modellen verloren gegangen ist. Um die Situation zu retten, nehme man weiter an, dass mitX₁^A, . . . , X₉^A und X₁^B, . . . , X₉^B nun zwei unabh¨angige einfache Stichproben zu den beiden (normalverteilten) Zufallsvariablen Y^A undY^B vorliegen. Testen Sie unter der Annahme der Varianzgleichheit von Y^A und Y^B zum Signifikanzniveau α = 0.05 auf dieser Basis die Hypothese, dass die Verwendung von Batteriemarke A im Vergleich zu Batteriemarke B eine h¨ohere Aufnahmeanzahl erm¨oglicht. Ver- wenden Sie hierzu die Stichprobenmittelwerte x^A= 291 bzw.x^B = 279.89 sowie die Stichprobenvarianzen s²_YA = 338 bzw. s²_YB = 191.11. Fassen Sie das Ergebnis des Tests auch in einem Antwortsatz zusammen.

(c) ¨Uberpr¨ufen Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau α= 0.10, ob die in Teil (b) getroffene Annahme der Varianzgleichheit auf Grundlage der vorhandenen Stichprobeninformation verworfen werden muss. Fassen Sie das Ergebnis des Tests in einem Antwortsatz zusammen.

Hinweis: Verwenden Sie f¨ur Teil (c) den folgenden Tabellenausschnitt mit 0.95-Quantilen von F(m, n)-Verteilungen sowie ggf. die Rechenregel F_m,n;p = _F ¹

n,m;1−p.

n\m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 240.543 241.882 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396

3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786

4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964

5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735

6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060

7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637

8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347

9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137

10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

(a) t= 2.5482∈(1.86,+∞) =K ⇒ H₀ wird abgelehnt!

Der Test kann also die Vermutung, dass die Verwendung von Batteriemarke A im Vergleich zu Batteriemarke B eine h¨ohere Aufnahmeanzahl erm¨oglicht, best¨atigen.

(b) t= 1.449∈/ (1.746,+∞) =K ⇒ H₀ wird nicht abgelehnt!

Der Test kann also die Vermutung, dass die Verwendung von Batteriemarke A im Vergleich zu BatteriemarkeB eine h¨ohere Aufnahmeanzahl erm¨oglicht, nicht best¨a- tigen.

(c) F = 1.769∈/ [0,0.291)∪(3.438,+∞) =K ⇒ H₀ wird nicht abgelehnt!

Der Test findet also keine Anzeichen f¨ur eine Verletzung der in Teil (a) angenom- menen Varianzgleichheit.

Aufgabe 7 (11 Punkte)

Mit einem Chi-Quadrat-Anpassungstest soll zum Signifikanzniveau α = 0.05 ¨uberpr¨uft werden, ob man bei einem beobachteten Stichprobenergebnis von der Realisation einer einfachen Stichprobe vom Umfang n = 100 zu einer Geom(0.35)-verteilten Zufallsvaria- blen ausgehen kann. Die Stichprobeninformation liege in Form der folgenden H¨aufigkeits- verteilung vor:

a_i 0 1 2 ≥3

ni 26 19 13 42

F¨uhren Sie den beschriebenen Test durch. Fassen Sie das Ergebnis auch in einem Ant- wortsatz zusammen.

Hinweise:

ˆ Die geometrische Verteilung mit Parameterp= 0.35hat den Tr¨agerN⁰ :={0,1,2, . . .}

und die Wahrscheinlichkeitsfunktion

p_Geom(0.35) :N0 →[0,1];p_Geom(0.35)(i) = (1−0.35)ⁱ·0.35.

ˆ Verwenden Sie den folgenden Tabellenausschnitt mitp-Quantilen vonχ²(n)-Verteilungen:

n\p 0.01 0.025 0.05 0.50 0.90 0.95 0.975 0.99 1 0.000 0.001 0.004 0.455 2.706 3.841 5.024 6.635 2 0.020 0.051 0.103 1.386 4.605 5.991 7.378 9.210 3 0.115 0.216 0.352 2.366 6.251 7.815 9.348 11.345 4 0.297 0.484 0.711 3.357 7.779 9.488 11.143 13.277 5 0.554 0.831 1.145 4.351 9.236 11.070 12.833 15.086

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

χ² = 10.8479∈(7.815,+∞) = K ⇒ H₀ wird abgelehnt!

Die Nullhypothese einer Geom(0.35)-Verteilung muss also abgelehnt werden.

Aufgabe 8 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 Punkte)

Zur Erkl¨arung der stetigen Wochenrenditen der Beiersdorf-Aktie y_i (in Prozent) durch die stetigen Wochenrenditen des DAXx_i (in Prozent) unterstellt man die G¨ultigkeit eines Zusammenhangs im Sinne des folgenden linearen Modells:

y_i =β₁+β₂x_i+u_i mit u_i ^iid∼N(0, σ²), i∈ {1, . . . , n}

Aus Daten der XETRA-B¨orse der j¨ungeren Vergangenheit wurde das lineare Modell mit der Statistik-Software R wie folgt gesch¨atzt:

Call:

lm(formula = y ~ x) Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-3.6452 -2.1621 0.1126 1.4974 6.3684 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.07654 0.54402 -0.141 0.8893

x 0.59654 0.33326 1.790 0.0861 .

---

Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 2.568 on 24 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1178, Adjusted R-squared: 0.08102 F-statistic: 3.204 on 1 and 24 DF, p-value: 0.08608

(a) Wie viele Wochenrenditen gingen in die Sch¨atzung ein?

(b) Geben Sie die realisierten Kleinst-Quadrate-Sch¨atzwerte f¨ur β1 und β2 an.

(c) Geben Sie den realisierten Sch¨atzwert f¨ur σ² an.

(d) Welcher Anteil der Gesamtvarianz der stetigen Wochenrenditen der Beiersdorf-Aktie wird durch das lineare Modell erkl¨art?

(e) Entscheiden Sie mit Hilfe des zugeh¨origenp-Werts zum Signifikanzniveauα = 0.01, obβ₁ signifikant von Null verschieden ist.

(f) Entscheiden Sie mit Hilfe des zugeh¨origenp-Werts zum Signifikanzniveauα = 0.05, obβ₂ signifikant positiv ist.

(g) Welche stetige Wochenrendite der Beiersdorf-Aktie prognostiziert das Modell in ei- ner Woche mit stetiger DAX-Rendite von 0.6 (in Prozent)?

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

(a) n= 26

(b) βb₁ =−0.0765, βb₂ = 0.5965 (c) σb² = 6.5946

(d) 0.1178

(e) β₁ ist nicht signifikant von Null verschieden.

(f) β₂ ist signifikant positiv.

(g) 0.2814

Aufgabe 9 (6 + 2 + 3 + 3 + 5 = 19 Punkte)

Zur Sch¨atzung eines einfachen linearen Regressionsmodells

y_i =β₁+β₂·x_i+u_i mit u_i ^iid∼N(0, σ²), i∈ {1, . . . , n}

aus einer Stichprobe vom Umfang n = 20 wurden bereits die folgenden Zwischenwerte errechnet:

20

X

i=1

yi = 485.086;

20

X

i=1

y_i² = 12174.045;

20

X

i=1

xi = 108.964;

20

X

i=1

x²_i = 650.739;

20

X

i=1

x_i·y_i = 2789.235 (a) Sch¨atzen Sie β1 und β2 mit Hilfe der Kleinst-Quadrate-Methode.

(b) Geben Sie mit Hilfe der bekannten erwartungstreuen Sch¨atzfunktion f¨ur σ² den realisierten Sch¨atzwert f¨urσ² an.

(c) Berechnen Sieσb²

βb1 und σb²

βb2.

(d) Geben Sie ein symmetrisches Konfidenzintervall zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1−α= 0.95 f¨urβ₁ an.

(e) Geben Sie ein Prognoseintervall zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1−α = 0.95 f¨ur y₀ gegeben x₀ = 4.5 an.

Ergebnisse (ohne Begr¨undung/Rechenweg):

(a) βb₁ = 10.2818, βb₂ = 2.5646 (b) bσ² = 1.844

(c) σb²_βb

1 = 1.0511, σb²_βb

2 = 0.032304 (d) [8.128,12.436]

(e) [18.877,24.768]