PDGl: Funktionalanalytische Methoden Bálint Farkas
27. Januar 2009
A
TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT
12. Übung
72. Zeigen Sie: Ein BanachraumXist entweder von endlicher Dimension, oder jede (Hamel)-Basis inX ist überabzählbar.
73. SeienX, Y Banachräume. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Ein OperatorT ∈ L(X, Y)ist abgeschlossen.
b) Für einen linearen OperatorA:D(A)→Y istGraph (A)ein Unterraum vonX×Y. c) Aist abgeschlossen⇐⇒Graph (A)ist abgeschlossen inX×Y.
d) SeiA:D(A)→ Y linear und abgeschlossen. Versehen mit der GraphnormkxkA := kxk+kAxkist D(A)ein Banachraum.
e) Der OperatorA: (D(A),k · kA)→Y ist stetig.
Geben Sie BeispieleA:D(A)⊂X→Y linearer, stetiger aber nicht abgeschlossener Operatoren an.
74. SeiX ein normierter Vektorraum,M⊆X undM0⊆X0. Beweise die folgenden Aussagen:
a) M ist beschränkt genau dann, wenn für jedesϕ∈X0die Menge{|ϕ(x)|: x∈M}inRbeschränkt ist.
b) IstX ein Banachraum, so istM0genau dann inX0 beschränkt, wenn die Menge{|ϕ(x)|: ϕ∈M0}in Rbeschränkt ist.
c) SeienX, Y Banachräume undT :X→Y,S:Y0→X0 linear, so dass y0(T x) = (Sy0)(x) gilt für allex∈Xundy0∈Y0. So sindT undSstetig.
75. Untersuchen Sie die folgenden Operatoren auf Abgeschlossenheit.
a) X=C([0,1]),A1:D(A1)→C([0,1]),D(A1) :=C1([0,1])undA1f:=f0 fürf∈D(A1);
b) X=C([0,1]),A2:D(A2)→C([0,1]),D(A1) :=C∞([0,1])undA2f:=f0fürf∈D(A2);
c) X =L2(Ω)(Ω⊆Rdoffen und beschränkt mitC2-Rand),A3 :D(A3)→C([0,1]),D(A3) :=H2(Ω)∩ H01(Ω)undA3f:= ∆ffürf∈D(A3);
76. SeienX, Y Banachräume unda:X×Y →Kbilinear, so dass x7−→a(x, y) für alley∈Y stetig ist, und y7−→a(x, y) für allex∈X stetig ist.
Beweisen Sie die Stetigkeit der Bilinearforma.
77. Sei f :R+ → R eine stetige Funktion. Nehmen wir an, dass für jedes x >0gilt f(kx) → 0für k→ ∞. Zeigen Sie, dassf(x)→0fürx→ ∞.
78. Sei Ω ⊆ Rd offen, beschränkt und zusammenhängend mit C2-Rand. Betrachte das Neumann- Problem:
(∆u =f inΩ,
∂u
∂ν = 0 auf∂Ω.
a) Sei f = 0. Zeigen Sie mithilfe des Maximimprinzips, dass die klassichen Lösungen dieses Problems konstant sind.
b) SetzeM:=˘
u∈H1(Ω) : R
Ωu= 0¯
. Zeigen Sie: M ist konvex und abgeschlossen. (Ohne Beweis: M hat eine allgemeine Poincaré-Ungleichung.)
c) Nehmen an: R
Ωf= 0. Beweisen Sie, dass die Lösungen der Variationsgleichung (des Minimumproblems) genau die schwache Lösungen des Neumann-Problems sind. Die Lösungen sind bis auf eine additive Konstante eindeutig.