Potential energy

Schwingung und Rotationen von CO.

Beispiel für Anwendung des harmonischen Oszillator

r

₀

C O

CO: Zweiatomiges Molekül Bindungslänge: r

₀

Sowohl für das Trägheitsmoment

I

als auch für die Schwingung ist die reduzierte Masse µ_CO des Systems relevant:

r

₀

C O

r

_O

r

_C Vom Schwerpunkt aus hat man r_Ound r_C :

m

_C

m

_O

C C O O

m r ⋅ = m ⋅ r

0

C + O

r = r r

ges C O

m = m + m

0 ges

C O

r m r

= m ⋅

0 ges

O C

r m r

= m ⋅

2 2

2 2

2 2

0 0

2 ges

ges

C O O C C O

C C O O

m m m m m m

I m r m r r r

m m

⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅

2

CO

0

I = µ ⋅ r

ges

C O CO

m m µ = m ^⋅

mit Reduzierte Masse

Das mit 98.9% natürlicher Häufigkeit vorkommende CO Molekül ist ¹²C¹⁶O.

Dann gibt es noch mit 1.1% das Molekül ¹³C¹⁶O.

Für das Molekül ¹²C¹⁶O sind die Massen:

m_C = 12·u und m_O = 16·u, u = 1.66054·10^-27 kg ist die atomare Masseneinheit Für die reduzierte Masse berechnet man damit: µ_CO = 6.85714·u =1.13866·10^-26 kg.

r

₀

C O

Für die Rotationsenergieniveaus ergibt die quantenmechanische Behandlung:

rot

2 2

CO 0

( 1) 0,1, 2, 3,...

2

E B J J J

B I r

I µ

= ⋅ ⋅ + =

= = = ⋅

J = 0 J = 1 J = 2 J = 3 J = 4 J = 5

0 5 10 15 20 25 30

rot

/ E B

∆E = 2·B

∆E = 4·B

∆E = 6·B

∆E = 8·B

∆E = 10·B

Aus dem Experiment:

∆E = 2·B = 4.77·10^-4eV

∆E = 7.6424·10^-23 J

2 46

2 2

CO 0 1.4552 10 kg m

I r

µ

E ⁻

= ⋅ = = ⋅

∆

=

0 CO

0.11305 nm r I

= µ =

Der Gleichgewichtsbindungsabstand des CO Moleküls ist im Grundzustand r₀= 0.11305 nm

r

₀

C O

Schwingungen des CO Moleküls:

Ein zweiatomiges Molekül hat nur eine relevante Schwingung, die Streckschwingung.

Die Schwingungsfrequenz liegt im infraroten Bereich des Spektrums und beträgt für CO:

ν = 6.42·10

¹³

Hz

14

1 2 4.034 10

h s

ω = ν ω = πν = ⋅

=

Die klassische Schwingungsfrequenz ist:

CO

ω D

= µ

_CO ^{2 3}

N

1.853 10 m

D = µ ω ⋅ = ⋅

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0 1 2

potenergy.opj

Potential energy

r-r₀

2

( ) (

0

)

2

V r = D ⋅ − r r

Wie groß ist die “Schwingungsamplitude” des Moleküls im Grundzustand?

Die charakteristische Länge für die harmonische Schwingung des CO Moleküls ist:

c

CO

r ⁼ µ ω = ⋅

-12 c

CO

4.792 10 m 4.792 pm

r ⁼ µ ω ⋅ ^{= ⋅ =}

Für CO gilt:

=

r_c/r₀= 0.0424, d.h. die “Schwingungsamplitude” im Grundzustand beträgt ca. 4% des Abstandes r₀.

Wellenlänge λ der Infrarot-Strahlung für die CO-Schwingung:

8

CO 13

3 10 m/s

4.673µm 6.42 10 Hz

λ c

ν

= = ⋅ =

⋅

Dies entspricht einer Schwingungsenergie von:

0.2655 eV

e e

ω ₌ h ν ₌

=

Diese Energien werden sehr oft in Wellenzahlen

ν

ausgedrückt, in der Einheit cm^-1

1 c ν ^{= =} λ ν

-1 CO

2140 cm

ν =

Dies ist im Spektralbereich des mittleren Infraroten.

Messung: hochauflösende FT-IR Spektroskopie.

Rotation:

Schwingung:

-23 9

rot

2 7.6424 10 J

rot

= h 115.34 10 Hz

E B h ν

∆ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

-1 rot

3.845 cm

ν =

Dies ist im Spektralbereich der Mikrowellen.

Messung: Mikrowellenspektroskopie oder hochauflösende FT-IR Spektroskopie.

E/cm

^-1

2140

0

J’

01 2 3

3 2 1 0

J

Schwingungs-Rotations Spektrum

Auswahlregeln: ∆J = J’ – J = ±1 J’

E/cm

^-1

2140 2B

4B 6B 6B

P-Zweig

Q

R-Zweig

IR-Absorption