* Abstand windschiefer Geraden
Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Abstand Punkt Ebene" bei unterricht.de
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Frage
Die Geradeg ist parallel zur Ebene E.
Bestimme den Abstand zwischen Gerade und Ebene.
g : −→ X =
2 0
−3
+λ·
5
−1 2
E : −→ X ◦
2 4
−3
−5 = 0
Antwortm¨ oglichkeiten
A: 8
√ 29
B: 8
√ 8
C: 8
3
D: 8
√ 3
L¨ osung
Stelle die Ebene E in HNF (Hessesche Normalenform) auf.
−→nE =
2 4
−3
Normalenvektor ⇒ |−→nE|=√
4 + 16 + 9 =√ 29
EH N F :
−→ X ◦
2 4
−3
−5
√
29 = 0
Setze nun den AufpunktP der Geradeng in HNF ein und bestimme somit den gesuchten Abstand.
c unterricht.de|support-id: 14748
Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.
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Frage
Bestimme den Abstand vom PunktP zur Ebene E.
P(1| −2| −2)
E : −x1−2x3+ 5 = 0
Antwortm¨ oglichkeiten
A: 8
√ 3
B: 8
√ 5
C: 10
√ 5
D: 12
√ 5
L¨ osung
Stelle die Ebene E in HNF (Hessesche Normalenform) auf.
−→nE =
−1 0
−2
Normalenvektor ⇒ |−→nE|=√
1 + 0 + 4 =√ 5
EH N F : −x1−2x3+ 5
√
5 = 0
Setze nun P in HNF ein und bestimme somit den gesuchten Abstand.
d(P;E) =
−1−2·(−2) + 5
√ 5
= 8
√ 5
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Die Geradeng und h sind zueinander windschief.
Bestimme den Abstand der beiden Geraden.
g : −→ X =
3 2
−1
+λ·
2
−2
−1
h : −→ X =
4
−2 1
+µ ·
1 4
−3
Antwortm¨ oglichkeiten
A: d = 2
√ 5
B: d = 2
5
C: d = 2
3
D: d = 2
√ 3
L¨ osung
Stelle eine Ebene E auf, die g enth¨alt und parallel zuh ist.
E : −→ X =
3 2
−1
+λ·
2
−2
−1
+µ ·
1 4
−3
Forme die Ebene erst in Normalenform, dann in HNF (Hessesche Normalenform) um.
2
−2
−1
×
1 4
−3
=
10
5 10
⇒ −→nE =
2 1 2
(Normalenvektor)
E : −→ X ◦
2 1 2
=
3 2
−1
◦
2 1 2
E : 2x1+x2+ 2x3−6 = 0
Normalenform durch den Betrag des Normalenvektors teilen:
|−→nE|=
2 1 2
=√
4 + 1 + 4 =√ 9 = 3
⇒ EH N F : 1
3(2x1+x2+ 2x3−6) = 0
Bestimme den Abstand des Aufpunkts P von h zur Ebene E.
d(g;h) =d(P , E) = 1
3(2·4 + (−2) + 2·1−6)
= 2 3
c unterricht.de|support-id: 14752
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