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Abstand Punkt Ebene berechnen - Aufgaben mit Videos

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Academic year: 2022

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* Abstand windschiefer Geraden

Auf den folgenden Seiten finden Sie Beispielaufgaben zum Online-Kurs "Abstand Punkt Ebene" bei unterricht.de

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(2)

Frage

Die Geradeg ist parallel zur Ebene E.

Bestimme den Abstand zwischen Gerade und Ebene.

g : −→ X =

 2 0

−3

+λ·

 5

−1 2

E : −→ X ◦

 2 4

−3

−5 = 0

Antwortm¨ oglichkeiten

A: 8

√ 29

B: 8

√ 8

C: 8

3

D: 8

√ 3

L¨ osung

Stelle die Ebene E in HNF (Hessesche Normalenform) auf.

−→nE =

 2 4

−3

 Normalenvektor ⇒ |−→nE|=√

4 + 16 + 9 =√ 29

EH N F :

−→ X ◦

 2 4

−3

−5

29 = 0

Setze nun den AufpunktP der Geradeng in HNF ein und bestimme somit den gesuchten Abstand.

c unterricht.de|support-id: 14748

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

Seite 1

(3)
(4)

Frage

Bestimme den Abstand vom PunktP zur Ebene E.

P(1| −2| −2)

E : −x1−2x3+ 5 = 0

Antwortm¨ oglichkeiten

A: 8

√ 3

B: 8

√ 5

C: 10

√ 5

D: 12

√ 5

L¨ osung

Stelle die Ebene E in HNF (Hessesche Normalenform) auf.

−→nE =

−1 0

−2

 Normalenvektor ⇒ |−→nE|=√

1 + 0 + 4 =√ 5

EH N F : −x1−2x3+ 5

5 = 0

Setze nun P in HNF ein und bestimme somit den gesuchten Abstand.

d(P;E) =

−1−2·(−2) + 5

√ 5

= 8

√ 5

c unterricht.de|support-id: 14745

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

Seite 1

(5)

Die Geradeng und h sind zueinander windschief.

Bestimme den Abstand der beiden Geraden.

g : −→ X =

 3 2

−1

+λ·

 2

−2

−1

h : −→ X =

 4

−2 1

+µ ·

 1 4

−3

Antwortm¨ oglichkeiten

A: d = 2

√ 5

B: d = 2

5

C: d = 2

3

D: d = 2

√ 3

L¨ osung

Stelle eine Ebene E auf, die g enth¨alt und parallel zuh ist.

E : −→ X =

 3 2

−1

+λ·

 2

−2

−1

+µ ·

 1 4

−3

Forme die Ebene erst in Normalenform, dann in HNF (Hessesche Normalenform) um.

(6)

 2

−2

−1

×

 1 4

−3

=

 10

5 10

 ⇒ −→nE =

 2 1 2

 (Normalenvektor)

E : −→ X ◦

 2 1 2

=

 3 2

−1

◦

 2 1 2

E : 2x1+x2+ 2x3−6 = 0

Normalenform durch den Betrag des Normalenvektors teilen:

|−→nE|=

 2 1 2

=√

4 + 1 + 4 =√ 9 = 3

⇒ EH N F : 1

3(2x1+x2+ 2x3−6) = 0

Bestimme den Abstand des Aufpunkts P von h zur Ebene E.

d(g;h) =d(P , E) = 1

3(2·4 + (−2) + 2·1−6)

= 2 3

c unterricht.de|support-id: 14752

Dieses Material darf im Unterricht verwendet und durch Lehrer und Schulen ver¨offentlicht werden.

Seite 2

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