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. Berechnen Sie: b) und den Ausdruck

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(1)

Themen:

Analytische Geometrie - Grundlagen (7 Aufgaben)

Aufgabe 1 (Skalarprodukt):

Es sei

1 0 1

a

und

0 1 2

b

. Berechnen Sie:

a) das Skalarprodukt

a b

b) und den Ausdruck a 2b 3a 4b .

Lösungen:

a) 2 b) 38

Aufgabe 2 (Grundlagenrechnung):

a) Stellen Sie die Parameterform der Geraden auf, welche durch die Punkte A(2/0/4) und B(5/3/ 7) geht.

b) Stellen Sie die Parameterform der Geraden auf, welche senkrecht zur Ebene

7

2 : x

2

x

3

E

steht und durch den Punkt P(2/0/4) geht.

c) Stellen Sie die Koordinatenform der Ebene auf, welche durch die Punkte A(1/1/3), )

3 / 4 / 2 (

B und C( 1/0/3) geht.

d) Geben Sie die Spurpunkte der Ebene

E : 3 x

1

15 x

2

18 x

3

36

an.

e) Stellen Sie die Normalenform der Ebene auf, welche die Spurpunkte

S

1

( 3 / 0 / 0 )

,

)

0 / 9 / 0

2

(

S

und

S

3

( 0 / 0 / 15 )

besitzt.

f) Geben Sie eine Darstellung in Parameterform der Ebene

E : 4 x

1

x

3

16

an.

Zeichnen Sie die Ebene im ersten Oktanten.

g) Geben Sie eine Darstellung der Ebene

E : x

2

6 x

3

18

in der Normalenform an.

Lösungen:

a) Eine mögliche Parameterform der gesuchten Geraden lautet

3 3 3

4 0 2

4 7

0 3

2 5

4 0 2

: x OA t AB t t

g

mit

t

.

(2)

b) Da die Gerade senkrecht zur Ebene

E : x

2

2 x

3

7

mit dem Normalenvektor

2 1 0 n

E ,

welcher sich sofort aus den Koeffizienten der Ebenengleichung ergibt, ist, ist ihr Richtungsvektor parallel zu eben diesem Normalenvektor. Die Geradengleichung ergibt sich dann mit dem angegebenen Punkt zu

2 1 0

4 0 2

: x t

g

mit

t

.

c) Die Koordinatenform erhalten wir durch das Lösen des LGS, welches sich durch Einsetzen der Punkte in die allgemeine Koordinatenform

ax

1

bx

2

cx

3

d

ergibt.

Einfacher ist es jedoch in diesem Fall, zu beachten, dass bei allen Punkten

x

3

3

steht.

Dies ist dann bereits die gesuchte Koordinatenform!

d) Wir dividieren durch 36 und erhalten

2 1 1 12

5 12

: 1 x

1

x

2

x

3

E

.

Aus den Kehrwerten der Koeffizienten erhalten wir dann sofort die Spurpunkte:

0 / 0 /

1 12

S ,

S

2

0 /

125

/ 0

und

S

3

0 / 0 / 2

.

e) Da die Spurpunkte gegeben sind, können wir die Koordinatenform schnell bestimmen (Kehrwertbildung). Es ist

3 5 15 45

3 5 15 15 1

1 9

1 3

: 1 x

1

x

2

x

3

x

1

x

2

x

3

n

E

E

.

Die/Eine Normalenform ergibt sich damit einfach unter Verwendung einer der drei gegebenen Punkte:

0 3 5 15

0 0 3 : x

E

.

(3)

f) Wir schreiben wie folgt um:

1 3

2 2

1 1

4

16 x

x

x x

x x

Anders geschrieben:

0 1 0

4 0 1

16 0 0

: x s t

E

mit s,t .

Dies ist eine Darstellung in der Parameterform und wir sind fertig.

Lösungsabbildung: Skizze der Ebene im ersten Oktanten.

g) Aus der Koordinatenform lesen wir sofort den Normalenvektor ab. Dieser ist hier

6 1 0 n

E .

Nun wählen wir noch einen Punkt, z.B. 0/0/3 , welcher die gegebene Koordinatengleichung erfüllt. Es ist nämlich 1 0 6 3 18. Damit können wir eine Normalenformdarstellung angeben:

0 6

1 0

3 0 0 : x

E

.

(4)

Aufgabe 3 (Noch mehr Grundlagen):

Gegeben sind die drei Punkte

S

1

( 3 / 0 / 0 )

,

S

2

( 0 / 4 / 0 )

und

S

3

( 0 / 0 / 6 )

. Des Weiteren seien die beiden Punkte P(1/1/1) und Q(3/3/4) gegeben.

a) Stellen Sie die Gerade g, welche durch die Punkte P und Q geht, auf. Stellen Sie die Koordinatenform der Ebene E auf, in welcher die drei Punkte

S

1

, S

2

, S

3 liegen.

b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. Tun Sie dies mit und ohne Verwendung der Hesseschen Normalenform.

c) Wandeln Sie die in a) für E gefundene Koordinatenformdarstellung in eine Parameterdarstellung um.

d) Spiegeln Sie den Punkt Q an der Ebene E und geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes Q' an.

e) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes

S

1 von der Geraden g.

f) Geben Sie eine Gleichung der Ebene F an, welche parallel zu E ist und in der der Punkt P liegt.

Lösungen:

a) Wir stellen die Gerade durch P(1/1/1) und Q(3/3/4) auf:

3 2 2

1 1 1

1 4

1 3

1 3

1 1 1

: x OP t PQ t t

g

.

Bei der Ebene E können wir recht schnell zu einem Ergebnis kommen, denn mit )

0 / 0 / 3

1(

S , S2(0/4/0) und

S

3

( 0 / 0 / 6 )

sind die Spurpunkte der Ebene gegeben. Es ist dann sofort

12 2

3 4 6 1

1 4 1 3

: 1

1 2 3

3 12 2

1

x x x x x

x

E

.

b) Mit Hesse:

Die Hessesche Normalenform für die Ebene E lautet

HNF:

0

2 3 4

12 2 3 4

2 2 2

3 2

1

x x

x

.

(5)

Durch Einsetzen des Punktes erhalten wir

557 , 0 29 3 29

12 2 3 ) 4

, ( E P

d

LE.

Ohne Hesse:

Wir stellen eine Hilfsgerade h auf, welche senkrecht auf E steht und durch den Punkt P geht. Den senkrechten Richtungsvektor bekommen wir direkt aus der Koordinatenform der Ebene E. Er lautet

2 3 4 n

E . Damit erhalten wir sofort die gesuchte Gerade h.

2 3 4

1 1 1

: x s

h

.

Diese lesen wir nun zeilenweise aus und setzen die Ausdrücke in die Ebene E ein. Es ist dann

29 3 3

29 12 ) 2 1 ( 2 ) 3 1 ( 3 ) 4 1 (

4 s s s s s

.

Setzen wir diesen Wert für den Parameter

s

in h ein, so erhalten wir den Punkt

) 1 / 1 / 1

(

1229 299 296

S

.

Mit Hilfe dessen ergibt sich der Abstand des Punktes P zur Ebene E:

. 557 , 0 29 3

29 9 29 29

261 29

6 9 1 12

1 1

1 1

1 )

,

(

2

2 2 2 2

29 2 6

29 2 9

29

SP

12

P E d

c) Die Koordinatenform lautet

E : 4 x

1

3 x

2

2 x

3

12

. Wir schreiben um und erhalten

2 1

3

6 2 x 1 , 5 x

x

.

Nun können wir das Folgende notieren:

(6)

5 , 1 1 0

2 0 1

6 0 0

5 , 1 2

6

1 1

2 1

3

2 2

1 1

t s

x x x

x

x x

x x

t s, .

Das ist eine mögliche Parameterdarstellung der Ebene E. d) Der Normalenvektor der Ebene E lautet

2 3 4 n

E . Hiermit stellen wir die Hilfsgerade k durch Q auf. Es ist

2 3 4

4 3 3

: x r

k

.

Diese lesen wir zeilenweise aus und setzen in die Ebene E ein:

29 17 17

29 12 ) 2 4 ( 2 ) 3 3 ( 3 ) 4 3 (

4 r r r r r

.

Diesen Wert verdoppeln wir nun, damit wir von Q zu E und dann von E zu Q' laufen.

Setzen wir dann r* 2r in die Hilfsgerade k ein, so erhalten wir

. 1

1

2 3 4 29 2 17 4 3 3 '

29 19 29 15 29 20

q

Der gesuchte Punkt ist also der Punkt

Q ' ( 1

2920

/

2915

/ 1

2919

)

.

e) Die Gerade g hat z.B. die Parameterdarstellung

3 2 2

1 1 1

1 4

1 3

1 3

1 1 1

: x OP t PQ t t

g

.

(7)

Hieraus lesen wir sofort die (senkrechte) Hilfsebene

d x x x

H : 2

1

2

2

3

3

ab. Durch Einsetzen des Punktes S1(3/0/0) ergibt sich

6 3 2 2 : 6 0 0 3

2 H x

1

x

2

x

3

d

.

Wir berechnen nun den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die Ebene H.

Dazu lesen wir zeilenweise die Gerade g aus und setzen diese Ausdrücke in H ein. Es ist dann

17 1 1

17 6 ) 3 1 ( 3 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 (

2 t t t t t

.

Damit erhalten wir den Durchstoßpunkt

17 14 17 15 17 15

3 2 2 17

1 1 1 1

d

H .

Der Abstand des Punktes S1 zum Punkt DH bzw. zur Geraden g ergibt sich hiermit zu

437 , 17 2 1717 17

196 225 3 1296

) ,

( g S

1

S

1

D

H 1715 2 1715 2 1714 2

d

LE.

f) Eine zu

E : 4 x

1

3 x

2

2 x

3

12

parallele Ebene F hat die Gleichung

f x x x

F : 4

1

3

2

2

3 .

Setzen wir nun einen Punkt ein, von dem wir wissen, dass er auf F liegt, so erhalten wir f . Mit dem bekannten Punkt P(1/1/1) folgt dann

9 2 3 4 : 9

2 3

4 f F x

1

x

2

x

3 .

Das ist die gesuchte Gleichung.

(8)

Aufgabe 4 (Abstände):

a) Für welche

t

hat die Ebene

E

t

: tx

1

3 tx

2

x

3

16

den Abstand 1 vom Punkt )

1 / 0 / 0 (

P ?

b) Welche Punkte der Punkteschar

P

t

( t / 8 t 1 / 4 t 3 )

haben vom Punkt Q(0/1/3) den Abstand

27

?

c) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P(0/2/8) von der Geraden

t t x g

4 0 2

:

,

t

.

Lösungen:

a) Die Hessesche Normalenform lautet hier:

HNF:

0

1 9

16 3

2 2

3 2 1

t t

x tx

tx

.

Wir setzen den gegebenen Punkt ein und fordern, dass der Abstand gleich 1 ist:

5 225 112

1 10 15 1 10 1

10 16 1 1

) ,

( 2 2 1/2

2 t t t

t P

E

d t .

b) Wir berechnen den Abstand der beiden Punkte mit Hilfe der Punkt-Punkt- Abstandsformel. Es ist

3 27

9 81

3 3 4 1 1 8

0 2 t 2 t 2 t2 t t1/2

t Q

Pt .

Die zugehörigen Punkte sind dann

P

3

3 / 23 / 9

und

P

3

3 / 25 / 15

. c) Folgendes Programm müssen wir hier absolvieren:

Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g

1. Hilfsebene H in Koordinatenform aufstellen (Normalenvektor der Ebene H Richtungs- vektor der Geraden g).

2. Punkt P in die Ebene H einsetzen, um deren d zu bestimmen.

(9)

3. Durchstoßpunkt D der Geraden g durch die Ebene H bestimmen (zeilenweises Aus- lesen von g und einsetzen in H, Parameter ausrechnen und wieder in die Gerade ein- setzen).

4. Abstand von D zu P bestimmen (Abstand Punkt-Punkt).

Wir stellen eine Hilfsebene senkrecht zu der gegebenen Geraden auf:

d x x

H : 2

1

4

3 .

Nun setzen wir den Punkt P ein und erhalten d 2 0 4 8 32. Damit ist dann die Hilfsebene (nach der Division durch 2) gegeben durch

16 2

: x

1

x

3

H

.

Hier setzen wir nun die Gerade ein und erhalten dadurch eine Gleichung für

t

:

5 8 10 16 16

8

2 t t t

.

Damit ergibt sich durch die Geradengleichung der Punkt

5 32 5 16 5

8 5

8

/ 0 / 4 / 0 /

2 D

D

. Der gesuchte Abstand ist dann

099 , 5 4 8 84

5 2 32 0 5 0

16 2 2

2

PD .

Aufgabe 5 (Bis zur Wand, aber nicht weiter):

Gegeben seien die drei Punkte A(10/0/10), B(10/10/8) und C(9/5/10).

a) Stellen Sie die Koordinatenform der Ebene E auf, die die drei Punkte enthält.

Die Ebene E wird nun an der Ebene

S : x

1

10

gespiegelt.

b) Bestimmen Sie die Koordinatenform der gespiegelten Ebene E'.

(10)

Die beiden Ebenen bilden nun zusammen eine Rinne.

c) Geben Sie aus den bisherigen Angaben ohne weitere Rechnung die Schnittgerade von E und E' an.

Im Punkt M(10/0/12) liegt der Mittelpunkt einer Kugel, welche in der Rinne liegt und die beiden Seitenflächen, welche in den Ebenen E bzw. E' liegen, berührt (siehe Figur 1).

Figur 1: Kugel in Rinne (Skizze).

d) Bestimmen Sie den Radius der Kugel.

Nun rollt die Kugel entlang der Rinne in Richtung des Gefälles. Die Rinne läuft rechts gegen eine Wand, welche in der Ebene

W : 2 x

2

x

3

40

liegt.

e) Stellen Sie die Gerade auf, welche die Bewegung des Mittelpunktes der Kugel beschreibt. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes an, wenn die Kugel an der Wand zur Ruhe kommt.

Zusatz (etwas Physik): Die Kugel war zu Beginn in Ruhe. Es gilt, dass die Summe der kinetischen Energie (Index „kin“) und der Lageenergie (Index „pot“) konstant ist (Energieerhaltung, keine Reibung oder sonstige Effekte). Es ist Ekin 21mv2 und

mgh

Epot , wobei

m

die Masse der Kugel ist,

h

die relative Lagehöhe,

v

die Geschwindigkeit und g 10 m/ die Erdbeschleunigung. Alle Längeneinheiten im bisher betrachteten Koordinatensystem seien nun in Meter gegeben und die Kugel habe die Dichte

7 kg/.

f) Welche Masse hat die Kugel? Wie schnell ist die Kugel, wenn sie gegen die Wand prallt?

(11)

Lösungen:

a) Wir stellen die Ebene durch die drei Punkte A(10/0/10), B(10/10/8) und C(9/5/10) auf. Wir führen dies mit einer Umwandlung der einfach aufzustellen Parameterform der Ebene durch. Die Parameterform (nicht eindeutig) lautet z.B.

0 5 1

2 10

0

10 0 10 :

3 2 1

t s

AC t AB s OA x

x x x

E

.

Aus dieser erhalten wir durch zeilenweises Auslesen das LGS

3 2 1

0 2 10

5 10 0

1 0 10

x t s

x t s

x t s

Unser Ziel ist es nun, so lange Umzuformen, bis rechts eine Linearkombination aus x1, x2 und

x

3 steht und links weder

s

noch

t

, sondern nur ein eindeutig bestimmter Zahlenwert. Sobald ein solcher Ausdruck auftaucht, haben wir die Koordinatenform der Ebene E gefunden.

Addieren wir nun das fünffache der ersten Gleichung zur zweiten, erhalten wir

3 2 1

1

0 2 10

5 10 50

1 0 10

x t s

x x s

x t s

Das fünffache der dritten addiert zur neuen zweiten Gleichung liefert

3 2 1

2 1

1

5 5

100

5 10 50

1 0 10

x x x

x x s

x t s

Damit haben wir mit der dritten Zeile unsere Koordinatenform gefunden. Es ist

100 5

5

: x

1

x

2

x

3

E

.

(12)

b) Wir spiegeln nun an der Ebene S. Um die Ebene E zu spiegeln, spiegeln wir einfach drei ihrer Punkte an S und erhalten mit den Spiegelpunkten letztendlich auch die gespiegelte Ebene E'. Durch ihre spezielle Lage parallel zur

x

2

x

3-Ebene müssen wir bei den zu spiegelnden Punkten nur die x1-Koordinate verändern und zwar nach folgendem Schema:

) / / 10 2

( ' )

/ /

( a b c

spiegeln

P a a b c

P

.

Für die Punkte A und B ändert sich dadurch nichts, sie liegen in der Spiegelebene S. Für den Punkt C folgt der Spiegelpunkt C' aus

) 10 / 5 / 11 ( ' )

10 / 5 / 9

(

spiegeln

C

C

.

Damit haben wir die Punkte A(10/0/10), B(10/10/8) und C'(11/5/10). Durch welche die Ebene E' geht. Diese stellen wir diesmal mit dem Kreuzprodukt auf. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist

10 2 10

0 5 1

2 10

0

'

AB AC '

n

E .

Damit ist die Koordinatenform der Ebene

E ' : 10 x

1

2 x

2

10 x

3

d

schon fast bestimmt.

Wir bestimmen d durch das Einsetzen eines Punktes der in E' liegt, z.B. A:

d 0 10 10 0 2 10

10 .

Setzen wir diesen Wert ein und kürzen noch mit 2 , so folgt

0 5 5

:

' x

1

x

2

x

3

E

.

c) Die Schnittgerade von E und E' geht durch die Punkte A(10/0/10) und B(10/10/8). Ihre Parameterform lautet

2 10

0

10 0 10

: x OA t AB t

g

.

(13)

d) Der Abstand des Punktes M(10/0/12) zu der Ebene E bzw. E' (sollte aus Symmetriegründen den gleichen Wert liefern) ergibt den Radius der Kugel. Dies können wir uns anhand von der gegebenen Figur 1 klar machen.

Wir stellen die Hesse’sche Normalform auf für beide Ebenen auf:

Für E: HNF:

0

5 1 5

100 5

5

2 2 2

3 2

1

x x

x

.

Für E': HNF:

0

5 1 5

5 5

2 2 2

3 2

1

x x

x

Setzen wir nun hier die Koordinaten von M ein und nehmen den Betrag, da wir nur am Abstand interessiert sind, so erhalten

400 , 1 51 10 51

100 12 5 10 ) 5

' / , ( M E E

d

LE ( Längeneinheiten).

Also ist r 1,400 LE der Radius der Kugel.

e) Die Gerade h des Mittelpunktes verläuft parallel zur Schnittgerade der Ebenen E und '

E (parallele/gleiche Richtungsvektoren). Damit erhalten wir dann sofort mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil c) die gesuchte Gerade.

2 10

0

12 0 10

: x t

h

.

Wir betrachten nun zum Verständnis die folgende Figur 2:

Figur 2: Kugel stößt an die Wand.

Wir sehen, dass wir denjenigen Punkt auf der Geraden bestimmen müssen, welcher genau den Radius der Kugel als Abstand zur Wand hat. Die Ebene W in der die Wand liegt hat die Gleichung

(14)

40 2

: x

2

x

3

W

.

Damit ist die Hesse’sche Normalform

HNF:

0

1 2

40 2

2 2

3

2

x

x

.

Wir lesen nun die Gerade zeilenweise aus und erhalten dadurch

t x

t x

x

1

10 ;

2

10 ;

3

12 2

.

Wir setzen diese in die Hesse’sche Normalform von W ein und fordern, dass der Abstand gleich dem Radius ist (anstatt von Beträgen , setzen wir beim Radius/Abstand sowohl Pluszeichen, als auch Minuszeichen):

51 10 5

40 2 12 10

2 t t

.

Damit können wir

t

berechnen:

506 , 2

221 , 2 22

52 5 51 10 51

10 5

52 22

2 1

t t t

t .

Da die Gerade h von links nach rechts fällt und wir M als Stützpunkt gewählt haben, müssen wir den kleineren

t

-Wert nehmen, da wir mit diesem zuerst die Wand erreichen.

Der andere Wert würde bedeuten, dass die Kugel durch die Wand gekracht ist.

Setzen wir t1 in die Gerade h ein, so erhalten wir den Punkt

) 558 , 7 / 21 , 22 / 10 ( '

M .

In diesem stoppt dann der Mittelpunkt der Kugel seine Bewegung.

(15)

f) Unsere Kugel hat den Radius

51

r 10

. Damit können wir das Volumen und ihre Masse

berechnen. Es ist

51 ,

3

80

3 4

r V

m

Kilogramm.

Am Anfang ruht die Kugel, sie hat also nur Lageenergie. Als Nullniveau wählen wir praktischer Weise die Höhe, welche sie am Ende ihrer Bewegung erreicht hat.

Dort hat die Kugel, bedingt durch die Wahl der Lage des Nullniveaus, nur noch kinetische Energie, so dass die ganze Lageenergie in diese umgewandelt werden muss, da wir die Reibung und sonstige Effekte vernachlässigen. Es ist also

43 , 9 558 , 7 12 10 2

2

2

2 1

'

E mgh mv v gh

E

k in M pot M m/s.

Aufgabe 6 (Cheopspyramide, Ebenen, Winkel, Kreuzprodukt und Abstände):

Die Cheopspyramide in Gizeh besitzt heute eine Höhe von etwa

139

Metern und eine Seitenlänge von ca.

225

Metern, wobei die Grundfläche quadratisch ist. Sie wurde während der

4 .

Dynastie im Alten Reich errichtet und etwa um das Jahr

2580

v. Chr. fertig gestellt.

a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und stellen Sie die Koordinaten- formen der Ebenen auf, in denen die Seitenflächen der Pyramide liegen. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber der Grundfläche der Pyramide.

Ein Forscherteam untersucht die Königskammer. Diese befindet sich etwa im Zentrum der Pyramide, in einer Höhe von ungefähr

50

Metern über dem Erdboden. Ein Teil des Teams befindet sich in der Kammer, der andere (Außenteam) läuft den in Figur 2 angegebenen Weg zur Spitze der Pyramide.

Figur 2: Skizze zu den Aufgabenteilen b) und c).

(16)

Die Funkverbindung miteinander funktioniert auf Grund der dicken Mauern und technischer Probleme nur über eine Distanz von

65

Metern.

b) Stellen Sie eine Abstandsfunktion der beiden Teams auf. Haben sie während des ganzen Aufstiegs Funkkontakt miteinander? Wenn nicht, ab welcher Höhe und bis zu welcher Höhe funktioniert die Verbindung?

c) Die Funkverbindung ist besonders gut, wenn sich möglichst wenig Gestein zwischen den Teams befindet. Wo ist das der Fall? Beantworten Sie die Frage mit der von Ihnen aufgestellten Abstandsfunktion. Wie würde es ohne eine solche gehen?

Erläutern Sie dies kurz!

Lösungen:

a) Wir wählen das Koordinatensystem so, dass die Höhe der Pyramide mit der

x

3-Achse zusammenfällt und die Kanten der Grundfläche jeweils parallel zu einer der anderen beiden Koordinatenachsen sind. Dies ist in Figur 2 verdeutlicht.

Figur 2: Wahl des Koordinatensystems zur Durchführung der Rechnungen.

Die Ebene, in der die Grundfläche liegt, und der zugehörige Normalenvektor sind hier leicht in Koordinatenform anzugeben. Es ist

(17)

1 0 0 0

: x

3

n

G

G

.

Wir stellen nun den Normalenvektor der Ebene, in der die Punkte A,B,S liegen, mit Hilfe des Kreuzproduktes auf. Es gilt

E1

n BS

AS

,

wobei

139 5 , 112

5 , 112

AS

und

139 5 , 112

5 , 112

BS

. Damit ist

225 278 0 5 , 112 5

, 112 ) 5 , 112 ( ) 5 , 112 (

139 ) 5 , 112 ( 5 , 112 139

) 5 , 112 ( 139 139 5 , 112

2

139 5 , 112 5 , 112

139 5 , 112 5 , 112

1 1 1

Denkstütze E1

n .

Da wir nicht am Betrag interessiert sind, können wir den Vorfaktor weg lassen. Aus dem Normalenvektor lesen wir dann sofort

d x x

E

1

: 278

2

225

3

ab. Den Wert für d erhalten wir durch das Einsetzen eines Punktes, der in der Ebene liegt, z.B. S(0/0/139). Damit ist

31275 225

278

:

2 3

1

x x

E

.

Aus Symmetrieüberlegungen ergeben sich die anderen drei Ebenen (Punkte C,D sind aus Gründen der Übersicht nicht in Figur 2 eingezeichnet). Der Normalenvektor muss hier einfach nur um jeweils 90 um die

x

3-Achse gedreht werden. Dabei wechseln sich in diesem Fall die x1- und die x2-Komponenten ab und variieren das Vorzeichen dabei:

Zu den Punkten B,C,S:

E

2

: 278 x

1

225 x

3

31275

Zu den Punkten C,D,S:

E

3

: 278 x

2

225 x

3

31275

Zu den Punkten D,A,S:

E

4

: 278 x

1

225 x

3

31275

(18)

Den Neigungswinkel können wir dann aus den Normalenvektoren der Grund- und Seitenflächen berechnen. Dabei genügt es, dies für eine Seitenfläche durchzuführen.

Die anderen Winkel sind aus Gründen der Symmetrie gleich.

' 1 51 01 , 51 225

278 cos 225

cos

2 2

1 1

1 1

G E

G E

n n

n

n

.

(’ sind Bogenminuten

60 ' 1

1

)

Anmerkung: Realer Wert 51 50'.

b) Das Außenteam bewegt sich z.B. vom Punkt M(0/112,5/0) auf einer Geraden zum Punkt S(0/0/139). Die Gerade ist damit

139 5 , 112

0

0 5 , 112

0

: x t

g

A , t .

Damit eine sinnvolle Beschreibung des Weges vorliegt, muss t 0;1 gelten. Die Kammer liegt nach den Angaben bei K(0/0/50). Der Abstand ist dann gegeben durch den Satz des Pythagoras:

25 , 15156 5

, 39212 25

, 31977 )

50 139 ( ) 5 , 112 5 , 112 ( ) ( )

(

2 2 2

,

t d t t t t t

d

KgA .

Es muss nun gelten, dass

65 25 , 15156 5

, 39212 25

, 31977 65

)

( t t

2

t

d

.

Unter der Wurzel steht eine nach oben geöffnete Parabel (positiver Leitkoeffizient bei t2). Damit liegen die gesuchten Werte zwischen den beiden Nullstellen, wenn es sie denn gibt (!), eben dieser. Die zu lösende Gleichung lautet

0 25 , 10931 5

, 39212 25

,

31977 t

2

t

.

(19)

Diese lösen wir mit Hilfe der Mitternachtsformel und erhalten

7978 , 0

; 4285 , 25 0

, 31977 2

25 , 31977 25

, 10931 4

5 , 39212 5

, 39212

2 1

2 2

/

1 t t

t .

Damit haben sie nicht über den ganzen Aufstieg Funkkontakt miteinander. Dieser ist möglich ab einer Höhe von 0,4285 139 59,5 Metern und hält an bis zu einer Höhe von etwa 0,7978 139 111 Metern.

c) Der Funkkontakt ist besonders gut, wenn die Abstandsfunktion minimal wird. Dies ist beim Scheitel der Parabel

25 , 15156 5

, 39212 25

, 31977 )

( t t

2

t

p

,

der Fall, da dann der Abstand minimal wird (Ausdruck unter der Wurzel). Den Scheitel bestimmen wir z.B. mit der ersten Ableitung:

6131 , 0 0

5 , 39212 5

, 63954 )

(

' t t t

Scheitel

p

.

Da wir wissen, dass es sich um eine Parabel handelt, welche nach oben geöffnet ist, brauchen wir keine weiteren Untersuchungen durchführen. Setzen wir das Ergebnis nun in die Abstandsfunktion ein, erhalten wir

MIN

56

d

Meter.

Dies ist in einer Höhe von 0,6131 139 85 Metern der Fall.

Ohne die Abstandsfunktion könnte man eine Hilfsebene aufstellen, welche senkrecht auf der Geraden gA steht und durch K geht. Dann berechnet man den Durchstoßpunkt der Geraden durch diese Hilfsebene und bestimmt den Abstand von K zu diesem Durchstoßpunkt. Dies ist dann der kürzeste Abstand zwischen Außen- und Innenteam.

(20)

Aufgabe 7 (Zweimal Hesse):

a) Gegeben sei die Ebene

2 x

1

3 x

2

dx

3

8

. Bestimmen Sie alle Werte von

d

, so dass der Punkt M 4/5/ 3 den Abstand

3

von der jeweiligen Ebene hat.

b) Der Abstand des Punktes P(5/15/9) von der Ebene E durch die Punkte A(2/2/0), )

6 / 2 / 2 (

B und C(3/2/5) ist gesucht.

Bestimmen Sie diesen Abstand mit und ohne Benutzung der Hesseschen Normalen- form.

Lösungen:

a) In der Hesseschen Normalenform lautet die Ebene:

HNF:

0

3 2

8 3

2

2 2 2

3 1 1

d dx x x

Es ergibt sich:

2

2 2 2 2 2 2

13 3 5

3 2 3 3 15

3 3

2

8 3 5

3 4 2

d d

d d

d d

Binomisch: 2

2

3 13 10 3

25 d d d

.

Umgeformt:

12 0

3 10 3

2

2

d

d

.

Mitternachtsformel:

a ac b x b

2

2

4

2 / 1

Die Mitternachtsformel liefert

3 3 6 3

4 3 96 3 100 3

10

2 1 2

/

1 d

d d .

(21)

b) I. Aufstellen der Ebene E Gegeben sind die drei Punkte

) 5 / 2 / 3 (

) 6 / 2 / 2 (

) 0 / 2 / 2 ( C

B A

durch die die Ebene E geht.

Wir betrachten nun zwei Möglichkeiten, die Ebene E aufzustellen.

1. Möglichkeit

Aufstellen einer Parameterform der Ebene E und Berechnung der Koordinatenform aus dieser.

Wir nehmen A als Stützpunkt und erhalten dann die Parameterform

AC s AB r OA x E :

wobei mit O der Ursprung O(0/0/0)des Koordinatensystems gemeint ist.

Setzen wir nun die Punkte ein, so erhalten wir

5 0 1

6 0 4

0 2 2

0 5

2 2

2 3

0 6

2 2

2 2

0 2 2

: x r s r s

E

.

Diese Parameterform wandeln wir nun in eine Koordinatenform um. Dazu schreiben wir die Ebene wie folgt:

s r x

s r x

s r x

5 6 0

0 0 2

1 ) 4 ( 2

3 2 1

Aus der zweiten Gleichung erkennen wir sofort, dass x2 2 ist. Dies ist schon die Koordi- natengleichung der Ebene E:

2 :x2 E

(22)

2. Möglichkeit

Wir verwenden die allgemeine Form der Koordinatengleichung:

e cx bx ax

1 2 3

In diese setzen wir nun nacheinander die Punkte

A, B

und

C

von oben ein.

Der Punkt

A(2/2/0)

ergibt: (I)

2a + 2b = e

Der Punkt B(-2/2/6) ergibt: (II)

-2a + 2b + 6c = e

Der Punkt

C(3/2/5)

ergibt: (III)

3a + 2b + 5c = e

Nun lösen wir das so entstandene, unterbestimmte (mehr Variable als Gleichungen), Lineare Gleichungssystem (LGS). Wir schmeißen zuerst das b heraus:

(I) – (II)

4a + 0b - 6c = 0

(I) – (III)

-1a + 0b - 5c = 0

Damit haben wir zwei neue Gleichungen erhalten:

(IV)

4a - 6c = 0

(V)

-1a - 5c = 0

Nun schmeißen wir das

a

heraus:

(IV) +

4

(V)

0a - 26c = 0

Also haben wir

-26c = 0

und daraus folgt, dass

c = 0

.

Nun setzen wir

c = 0

in Gleichung (IV) oder (V) ein und erhalten dann:

c = 0

in (IV)

4a - 0 = 0

Daraus folgt, dass

a = 0

.

Nun setzen wir

a = 0

und

c = 0

in Gleichung (I), (II) oder (III) ein:

(23)

a = c = 0

in (I):

0 + 2b = e

Daraus folgt

2 b e

.

Zum Abschluss wählen wir nun nur noch ein

e

, so dass die anderen Werte möglichst einfach (meint: ohne Brüche) werden.

1

2 b

e

Also

a = c = 0

,

b = 1

und

e = 2

. Damit ergibt sich (wie in der 1. Möglichkeit) die Ebene E:x2 2.

Dass diese Berechnungen stimmen, ersehen wir aus den drei Punkten

A, B

und

C

:

Figur 1: Erläuterung zur Ebenengleichung.

II.I. Abstandsberechnung mit Hesse

Nun berechnen wir den Abstand des Punktes

P(5/15/9)

von der Ebene

E

unter Verwendung der Hesseschen Normalenform.

Wir haben die Ebene E mit

2 :x2

E .

gegeben. Daraus bilden wir ihre Hessesche Normalenform. Allgemein lautet sie wie folgt:

HNF:

0

2 2 2

3 2 1

c b a

e cx bx ax

In unserem Fall erhalten wir:

HNF:

0

1

2

2 x

Setzen wir nun in die HNF den Punkt P ein, so erhalten wir seinen Abstand von der Ebene E.

(24)

P(5/15/9)

in

E

:

13 1

2 ) 15

, ( P E d

Merke:

Ist die Zahl zwischen den Betragszeichen negativ, so liegen der Punkt

P

und der Ursprung

O(0/0/0)

auf der gleichen Seite der Ebene

E

. Ist die Zahl zwischen den Betragszeichen dagegen positiv, so liegen

O

und

P

auf verschiedenen Seiten von

E

.

Der Abstand des Punktes

P

von der Ebene

E

ist somit

13

.

II.II. Abstandsberechnung ohne Hesse

Wir schauen uns zur Lösung dieses Problems zuerst eine kleine Skizze an, die sowohl den Punkt

P

, als auch die Ebene

E

enthält.

Figur 2: Ebene und Punkt.

Zeichnen wir nun den Normalenvektor der Ebene ein, so sieht das folgendermaßen aus:

Figur 3: Ebene, Punkt und Normalenvektor.

Wählen wir nun

P

als Stützvektor und den Normalenvektor als Richtungsvektor, so erhalten wir eine Gerade

g

, deren Durchstoßpunkt

D

durch die Ebene

E

wir berechnen

(25)

können. Haben wir den Durchstoßpunkt

D

, so können wir den Abstand von

D

und

P

berechnen, was gleich dem Abstand von

P

zu

E

ist.

Figur 4: Hilfsgerade und Ebene.

Nun stellen wir die Gerade

g

auf:

Der Stützpunkt ist

P(5/15/9)

und der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene

E

.

Aus E:x2 2 erhalten wir:

0 1 0 n

E .

Damit ergibt sich die Gerade

g

zu

0 1 0

9 15

5

: x t

g

.

Setzen wir

g

in

E

ein (zeilenweises Auslesen der Geraden

g

), so erhalten wir:

Darstellung von

g

:

9 15 5

3 2 1

x

t x

x

.

Einsetzen in E:x2 2 ergibt: 15 t 2.

Daraus folgt, dass

t = -13

. Setzen wir nun t in die Gerade

g

ein, so erhalten wir den Durchstoßpunkt

D

. Es ist

(26)

9 2 5

0 9

13 15

0 5

0 1 0 13 9

15 5

d

.

Nun gilt es nur noch, den Abstand der beiden Punkte zueinander zu berechnen.

Merke:

Sind zwei Punkte

P

und

Q

gegeben, so berechnet sich ihr Abstand folgendermaßen.

Wir schreiben die Punkte

P

und

Q

als

3 2 1

p p p

p

und

3 2 1

q q q

q

.

Der Abstand ist dann

2 3 3 2 2 2 2 1

1

q p q p q

p

d

.

Das Vertauschen von

P

und

Q

führt durch das Quadrieren zu dem gleichen Ergebnis.

In unserem Fall ergibt sich

13 13 9

9 2 15 5

5

2 2 2 2

d

.

Also erhalten wir wieder den Abstand

13

.

Merke:

Liest man Abschnitt II.II. nochmals durch, kann einem auffallen, dass der Wert von

t

hier bis auf das Vorzeichen mit dem Abstand des Punktes

P

von der Ebene

E

übereinstimmt.

Dies ist immer dann der Fall, wenn der Normalenvektor beim Aufstellen der Geraden

g

normiert wurde, d.h. er wurde durch seinen Betrag geteilt. Er hat somit die Länge

1

, und

t

stimmt dann (vom Betrag her) mit dem Abstand des Punktes zur Ebene überein, wodurch sich die Berechnung des Durchstoßpunktes

D

erübrigt.

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