Seminarberichte Nr. 17

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Mathematik und

Informatik

Seminarberichte aus dem Fachbereich Mathematik der FernUniversität

17 – 1983

Die Dozentinnen und Dozenten der Mathematik (Hrsg.)

Seminarbericht Nr. 17

Inhaltsverzeichnis

über Kongruenzgruppen mit zwei Spitzenbahnen in der rationalen Modulgruppe I

von Hans Petersson (sen.)

Jordan algebras of degree

and the Tits process

von Holger P. Petersson und Michel L. Racine

Semi-simple Jordan algebras arising from the Tits process

von Holger P. Petersson und Michel L. Racine

Nine-dimensional subalgebras of exceptional Jordan division algebras

von Holger P. Petersson und Michel L. Racine

A norm theorem for central simple algebras of degree 3

von Holger P. Petersson und Michel L. Racine

A funny category of ultrafilters

- 1 -

- 53 -

- 95 -

- 127 -

- 201 -

von Reinhard Börger - 209 - ·

( Concordan t „ dissonant) and (monotone, light) 1,,,n categories

von Walter Tholen

Topological categories and bornological spaces

B.

- 213 -

- 241 -

ÜBER KONGRUENZGRUPPEN MIT ZWEI SPITZENBAHNEN IN DER RATIONALEN MODULGRUPPE I.

Von Hans Petersson in Münster

Die genaue Formulierung der Problematik soll mit ei- ner Einführung der Grundbegriffe und mit einer Beschrei- bung der methodischen Hilfsmittel verbunden werden. Da-

:·•

durch wird erreicht, daß die vorliegende Darstellung un- abhängig von anderen, in denen wie in [4,5] Probleme ver- wandter Art diskutiert werden, lesbar ist. Insbesondere kann so dem Leser die oft nicht geringe Mühe des Suchens nach Sätzen, Beweisen oder zusammenhängen erspart oder wenigstens erleichtert werden. Es ist jedoch zu betonen, daß der vollständige Aufbau der den vorliegenden Unter- suchungen zugrundeliegenden Theorie recht mühsam ist.

Inhaltsverzeichnis

§

1. Grundbegriffe.

§

2. Zusammenstellung der Hilfsmittel I.

§

3. Zusammenstellung der Hilfsmittel II: Modular- gruppen. Problemstellung.

§

4.

§

5.

§

6.

§

7.

Teilbarkei tssätze. Der Fall n

0 = 1 .

Nicht-zykloide Erweiterungsgruppen. Spezialfälle.

Untergruppen_ der r [

q] zu Potenzresten rnod q . Die abschließenden Resultate für n

0 = 2, 3 .

- 1 -

§

1. GRUNDBEGRIFFE

(Vgl. EB,

Als (homogene) Modulgruppe und mit

r bezeichnen wir die multiplikative Matrizengruppe SL(2,ll) . Eine Matrix aus

1

r wird eine Modulmatrix genannt. Jeder Modulmatrix s = (c a

~) und ebenso je- der Matrix

EGL(2,<I:) ordnen wir die linear-gebroche- ne Funktion (lineare Substitution)

( 1 • 1 ) ST= S(T)

aT + b

CT

+

(T' =S(T))

in der komplexen Variablen T zu, die auf der Zahlen- kugel

variiert. Wir schreiben T = X+ iy (x,yE:ffi) wenn T E

' und setzen

:=

jy >

. ^Durch

( 1 • 1 ) mit S E SL (

:ffi) wird

biholomorph auf sich abgebildet. Die in (1 .1) genannte Zuordnung stellt auf

jeder Untergruppe von GL(2,<t) einen Homomorphismus mit sehr kleinem Kern dar. Auf der Gruppe SL(2,:m) besteht er aus den beiden Matrizen ±I (I := (b ~)). Neben die- sem Symbol werden als Bezeichnungen für spezielle Matri- zen benutzt

( 1. 2)

~) (UT = T +

T : = ( 0 -1) ₁ O (TT =

T

Die Transposition einer Matrix wird durch einen hochge- stellten Punkt angedeutet (z.B.

allgemein gilt

• ( 1 U=

-1 ·-1

T ST= S

SL ( 2 ,

- 2 -

. -1

, T = -T = T ) ;

1 r wird von U und T erzeugt; -I ist das einzige Element der Ordnung 2 in SL(2,JR) Bezeichnungen für die Elemente nicht spezialisierter Matrizen aus SL(2,JR) sind

s

(a ~) (meistens; s.

C

( 1 . 3 )

L

c~

_~) ^{(stets) .}

Eine Untergruppe r von

1

r wird kanonisch genannt, wenn

[ 1

r : r ] <

und - I

r

zutrifft. Ist r irgendeine Untergruppe von

r , so ....

nennen wir zwei Punkte z

1

,z 2

einander kongruent mod r , in Zeichen z

2 = ^z

mod r , wenn ein L

r mit z 2 = Lz

1

existiert. Da offenbar ein Äquivalenzbegriff

vorliegt, zerfällt

in disjunkte Kongruenzklassen mod r

mod r

diese werden vorzugsweise Bahnen (bezgl. oder ....

genannt; insbesondere wird mit rz ( z

die Bahn mod r bezeichnet, welche den Punkt z enthält.

Eine Bahn dieser Art liegt entweder ganz in der oberen Halbebene oder in der unteren Halbebene oder auf der re- ellen Achse (einschließlich des Punktes

=

Ein Ver- tretersystem der Bahnen mod r

mentalmenge von r ( in H ) . Für die volle Modulgruppe

in

heißt eine Funda-

r =

r erhält man eine Fundamentalmenge in H in der Gestalt des Elementar-

- 3 -

dreiecks E der Modulfigur. E besteht aus dem Gebiet

1 ₂ < ReT < +l ₂ ^und ITI > 1}

zuzüglich seiner Randpunkte T mit Re-r

O . Die Pfla- sterung von H durch die Modulsubstitutionen in Anwen- dung auf E , aber auch das Netz der hyperbolischen Rand- geraden der SE (SE

1

wird als Modulfigur bezeichnet.

zur Typen-Einteilung der Modulsubstitutionen und zu deren Fixpunkten wird folgendes verabredet: Sowohl die drei Typen der Modulsubstitutionen -r' = ST

als auch ihre Fixpunkte werden auf die betr. Modulmatri- zen übertragen. Die Attribute "elliptisch", "parabolisch",

"h yper o isc b 1· h" b d e eu en a so t 1 f" ur S -- (ac bd) E SL(2,JR) soviel wie I a + d I bzw. <, =, >2. Darunter fallen nun auch die Matrizen ±I, die genauer trivial-parabolisch genannt werden. Daß ferner z E <Du {

z.B. parabolischer Fix- punkt einer Untergruppe r von

1 r sei, bedeutet die Exi- stenz einer nicht-trivial-parabolischen Matrix L Er mit

Lz = z .

Grenzpunkte der Modulfigur auf der reellen Achse, in denen sich die hyperbolischen Geraden der Modulfigur tref- fen, sind sämtlich Spitzen der Modulfigur (unter ihnen T =

Die Menge dieser Spitzen stimmt sowohl überein mit dem um

erweiterten Körper

der rationalen Zahlen, als auch mit der Menge der parabolischen Fixpunkte von

- 4 -

1 r . Aus diesem Grunde wird im folgenden der Ausdruck Spitze stets als exaktes Synonym für "parabolischer Fix- punkt" verwendet. Alle Spitzen der Modulgruppe bilden eine einzige Bahn mod

1 r , als deren Vertreter von U) gewählt werden kann.

00

(Fixpunkt

Es sei nun r eine kanonische Untergruppe von

1 r .

Eine Spitze von r ist immer auch eine Spitze von

1 r .

Liegt umgekehrt eine Spitze s von

1 r vor, so bestimme man ein mit der Eigenschaft s =

. Dann er- hält man alle parabolischen Matrizen von

1 r mit dem Fix- punkt s in der Gestalt ±A- 1 UkA mit kEZZ, und man findet nach bekannten Schlüssen unter den

( 1 . 5) A - 1 UkA

E

1 ~

~

= [

1

eine Matrix aus r . Danach haben alle kanonischen Unter- gruppen r von

1 r die gleichen Spitzen, weshalb unter den obigen Annahmen im folgenden nicht mehr von Spitzen

von r , sondern nur noch von Spitzen schlechthin gespro-

chen wird.

Von entscheidender Bedeutung ist der Begriff der

Spitzenbreite. In den obigen Bezeichnungen sei (vgl. (1 .5))

N hängt bei gegebenen r,s von der Wahl von A nicht ab und wird als Breite der Spitze s in r und mit N

amrs bezeichnet; das Symbol enthält einen Anklang

- 5 -

an den FRICKEschen Ausdruck "Amplitude" für Breite (vgl.

a.[2]). N ist eine Invariante der Spitzenbahnen mod r , d.h. alle Spitzen von fs haben in r die gleiche Brei- te N, die deshalb auch die Breite der Bahn fs genannt wird.

Die Matrix P := A- 1

uNA hängt bei gegebenen r,s von der Wahl von A nicht ab und wird die Grundmatrix der Spitze s in r genannt. Man erhält alle parabolischen Elemente von .. r mit dem Fixpunkt s in der Gestalt ±Pk

(kEZZ) . Die Spitze L-

s = (AL)-\:o (LEf) hat in r die Grundmatrix L- ¹ PL . Jedes System

( 1 • 7)

lll=lll(A,r)

N-1

:= u

\)= 0

heißt ein (vollständiger) Spitzensektor mod r (oder bezgl. r ) der Spitze s . Durchläuft s-

system der sämtlichen Spitzenbahnen mod r ist a

µ := [

1 r :

und es gilt

( 1 • 8)

ein Vertreter-

so

Ist r ein Normalteiler von

1 r , so stimmen alle

J

überein ( 1

j

und für deren gemeinsamen Wert N gilt Na=µ .

Zu jeder kanonischen Untergruppe r von

1 r exi- stiert ein über Kanten zusammenhängender Komplex

(Un- terkomplex der Modulfigur), der aus Spitzensektoren mod r eines Vertretersystems der Spitzenbahnen besteht. Aus K

- 6 -

entsteht eine Fundamentalmenge von r in H durch Til- gung höchstens endlich vieler ("überflüssiger") Punkte;

diese sind sämtlich elliptische Fixpunkte von

1

r , wel- che nicht zugleich elliptische Fixpunkte von r sind.

Ein Komplex dieser Art wird als ein (regulärer) Fundamen- talkomplex von r (in

bezeichnet. Er kann stets in- duktiv konstruiert werden: Hat man bereits einen über Kan- ten zusammenhängenden Komplex K* , der aus Spitzensektoren mod r von

* <

Vertretern von Spitzenbahnen mod r

steht, gewonnen, so läßt sich K* durch einen geeignet zu be-

wählenden angrenzenden Spitzensektor mod r zu einem ana- logen Komplex mit

* +

anstelle von a * Spitzen erwei- tern.

Für die Untersuchung konkreter Gruppen r ist wichtig, daß diese Konstruktion über eine gewisse Anzahl von Frei- heiten verfügt, falls a nicht zu klein ist.

Man erhält die sämtlichen elliptischen Fixpunkte der Modulgruppe

1

r in der Gestalt Ss 1 wo s l E E ,

( s E

1

r , 1 =

oder

( 1 • 9 ) TTi

f;m : = exp m ^{(m E}

^s ₁ ^{= -1 , s} ₂ ^{= i, s} ₃ ⁼ ₂ ⁺ ₂ /3, . . . ) Alle genannten Ss

1 (SE

1

sind als Fixpunkte der Modul- gruppe von der Ordnung 1 ; d.h., der Stabilisator in der Modulgruppe des betr. Fixpunkts ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 21 . Versteht man unter p = Pr das Geschlecht eines durch Einbeziehung der Spitzenbahnen kompaktifizier-

- 7 -

ten Fundamentalkomplexes von r , unter a = a r ^{die An-}

zahl der Spitzenbahnen mod r , unter e ₁ = e l, r die An- zahl der elliptischen Fixpunktbahnen mod r der Ordnung

1 (1 =

2,3) , so besteht mit

1 r: r] als einer der wichtigsten Sachverhalte der Theorie die Eulersche Polyederforrnel

(1.10)

= 12(p-1) +6o+4e

3 +3e 2 .

Was sie leistet, zeigen bereits ihre trivialen Konsequen- zen

µ

= ^e ₃ ^{mod 3 ,}

= ^e ₂ ^{mod 2}

für die Existenz elliptischer Fixpunkte von r

Die explizite Konstruktion kanonischer Untergruppen der Modulgruppe bietet, allgemein betrachtet, große Schwie- rigkeiten. Insbesondere gilt dies, wenn das Problem in folgendem Sinne verstanden wird: Man soll die Elemente der Matrizen der Gruppe durch finite Bedingungen explizit kenn-

zeichnen. Daß dgln durch drastische Einschränkungen des allgemeinen Begriffs der kanonischen Untergruppe überhaupt möglich ist, lehrt der Begriff der Kongruenzgruppen, die wir nun betrachten.

Wir definieren zwei Arten von Haupt-Kongruenzgruppen der Stufe mEJN, die wir als homogen

r [ m]

bzw. in- homogen r (m)

bezeichnen:

r [ m J

E 1 r

- ^{±I mod m}}

(1.11)

r (m) :=

E 1 r

^{- +I modm}}

- 8 -

Es gilt also 1 r = ^{r [ 1}

= ^{r ( 1 )}

ferner genau dann

r [ m] = ^{r (m)} ' ^{wenn m = 1 , 2 . r [ m]} ist stets eine kano- nische Untergruppe von 1 r ' r (m) für m > 2 nie. Beide sind Normalteiler von 1 r ' und alle Spitzen haben in r [ m] die Breite m . ^{r [ m]} enthält für m > 1 keine elliptischen Matrizen.

Aus der Zuordnung der Spitzenbahnen mod r[m] zu den Restklassenpaaren ±{a

1 ,a

2 } mit a 1 ,a

2 E ^?1./mll. und (a 1 ,a

2 ,m) = 1 ergibt sich für die Anzahl o[m] der Spitzenbahnen mod r [m]

(1.12) o[m] = ; - I I

2

\J-

2

2 -1)(m > 2), o[2] = 3, q

wo m = -1-1 q

mit Exponenten

und verschiedenen q

Primzahlen q . Hinsichtlich µ[m]

1 r : r[m]]

mo[m]

bedeutet dies bei Zerlegung von m in teilerfremde Fak- toren

(1.13)

JJ

[m 1 m

2 ] = 2µ [m

1 ]µ [m

2 ], wenn m

1 ,m 2 > 2, (m 1 ,m

2 ) = 1 µ [ 2m ] = 6 µ [ m ] wenn m = 1 mod 2 .

Neben den Hauptkongruenzgruppen werden als wichtig- ste Beispiele von Kongruenzgruppen die kanonischen Unter- gruppen r

0 [m],r [m]

in Betracht gezogen. Die Systematik dieser Gruppen ist zwar wesentlich komplizier- ter als die der Hauptkongruenzgruppen, aber im Falle

- 9 -

m

Primzahl, der als einziger näher untersucht wird, noch immer recht einfach. - Wir definieren

r

[m]

Cl

_~)

r

^{mod m}}

(1.14)

(m E

r

[m]

(a _y ~) ^E

^r

s

^{mod m}}

m heißt in jedem Falle die Stufe der genannten Gruppe.

Es gilt

Es sei jetzt m = q eine Primzahl~

Dann be- steht die leicht beweisbare disjunkte Zerlegung

r =

1

q-1

u r ⁰[q]uv u r ⁰[q]T . v=O

Aus ihr folgt neben

q + 1 ( vg 1 . F i g . 1 - 6 )

q-1

U U\JEUTE (1.15)

v=O

( r = r

daß

einen regulären Fundamentalkomplex von r = r

dar- stellt. Er besteht aus zwei Spitzensektoren mod r [

q]

deren Breiten am r

=q ^und sich auch unmit- telbar aus der Kenntnis der betr. Grundmatrizen

uq,ü-

1

E

0

[q]

ergeben. Die Verteilung der Menge aller Spitzen auf die danach insgesamt zwei Spitzenbahnen

mod r

[q J regelt sich wie folgt: s =

^{bzw. 0 mod f [}

^q]

bedeutet, daß der reduzierte Zähler von s zu q teiler- fremd bzw. durch q teilbar ist.

- 10 -

über die Ränderzuordnung und die _elliptischen Fix- punkte der r

[q] sei weiter folgendes ausgeführt:

Nach (1.10,15) gilt für q=2,3 zunächst

= 3, p =

= 2, e

3 =

e

2 = 1 ( q = 2) ;

µ

= 4, p = O,

= 2, e

3 = 1 , e

2 = O ( q = 3)

(vgl. Fig. 1 ,2). Die Ränderzuordnung an den Komplexen

K0

[q] wird, abgesehen von parabolischen Matrizen mit den Fixpunkten

und O , durch die Matrizen

(1.16) M h = Mgh g, bewirkt. Setzt man

= UgTU-h = (g -gh-1)

1 -h

(g,hEll..)

so entsprechen einander durch die Ränderzuordnung die Kanten Uvb und uv'b von

[q] gemäß

U\)b

= M uv'b

v,v' (v,v' E ll..)

genau dann, wenn v,v' = 1,2, . . . , q - 1 , vv' = ^{-1 modq.}

Man erhält daher die elliptischen Fixpunkte der Ordnung 2 in K ⁰ [q] von r ⁰ [q] in der Gestalt

,..,

v + i , v E

v

q - 1 , v"" + 1 _

mod q

und die der Ordnung 3 in K ⁰ [q] von r ⁰ [q] in der Ge- stalt

v +

3 , v E

v ;;; q - 2 , v 2 + v + 1 =

^{mod q}

Das liefert die folgende kleiBe Tabelle für e 2 = e 2 ,r,e 3 = e 3 ,r,r = r [q], q Primzahl> 3 :

- 11 -

= {2 , wenn

e2

wenn

q = 1 ^mod 4}

q = ^{3 mod 4}

= {2 , wenn

e3

wenn

Nach (1 .10) gewinnt man daraus die Werte von

q = 1 mod 3}

q = 2 mod 3

p

p

p

r

(r = r

^{[q], q} Primzahl> 3) : Man setze q = 1 2\) +

= 5 , 7 , 11 , 1 3)

dann gilt

p [q] 0

= \) , wenn

= 5,7,13 ; p [

q ] = \) + 1 , wenn Für die niedrigsten Werte von q lassen sich Angaben numerisch realisieren. Man erhält die Lage elliptischen Fixpunkte

von der Ordnung 1 in und das zugehörige Geschlecht p wie folgt:

q = 2:

= ⁺

^p

q = ^3:

= ^{1 + s} ₃

= 3) ' p =

q = ^5:

= ^2+i,3+i(l = 2) ' p =

q = ^{7 :}

= ^2+s ₃ ^,4+s ₃

= 3) ' p =

q = _{1 1 : e3} = _e2 =

_' ^p = ¹

q = ^{1 3 :}

= ^5+i,8+i(l = ²⁾

w

= 3+s

3 ,9+s

3

= 3) (Vgl. dazu Fig. 1-5.)

p =

§

2. ZUSAMMENSTELLUNG DER HILFSMITTEL I

k

= 11 .

diese der

Ko [

q l

Die Sachverhalte, die beim folgenden Aufbau der The- orie als Hilfsmittel benutzt werden, lassen sich zwanglos in zwei Systeme einordnen. Einmal handelt es sich um kon- krete algebraische Sätze, die mit der üblichen deduktiven

- 12 -

Technik zu beweisen sind. Die Beweise werden meist, soweit sie nicht wohlbekannt sind oder sich ad hoc anbieten, in Um- rissen angedeutet. In den übrigen Fällen wird aus der Lite- ratur zitiert. Das zweite System besteht aus Sätzen der Theorie der inhomogenen Modulargruppe ffi[q] von Primzahl- stufe q . Es bietet gewisse aus [1] wohlbekannte prinzi- pielle Schwierigkeiten beweistechnischer Art, die nur durch

zusätzliche Gedankengänge zu überwinden sind.

Der zunächst folgende Satz 2.1 ist ein Sachverhalt der Gruppentheorie, der hier für Untergruppen der Modulgruppe

formuliert und benutzt wird (vgl. das Diagramm Fig. 6).

SATZ 2.1 Es seien r 1 ,r

2 Untergruppen von endlichem Index in der Modulgruppe

1 r . Dann hat auch 6

r 1 nr

2 endlichen Index in

1

r . Es sei zusätzlich r

1

im Normali- sator (bezgl.

1

r) von r

2

enthalten. Dann gilt (Kompositum).

Ferner ist sowohl r

2 Normalteiler von r 1 r

2 ^{als auch}

Normalteiler von r

und es sind die Faktorgruppen r 1 r

2 ;r

2 ^und r

1 /6 isomorph. -

In den Anwendungen ist stets r

2 Normalteiler von 1 r , der Normalisator von r

2 also

1 r .

Es seien f,6 kanonische Untergruppen der Modulgrup- pe, es sei 6Cf und s eine Spitze. Dann ist offenbar arn6s ein Vielfaches von arnrs . Wir definieren die Rela- tivbreite von s in 6 bezgl. r ' in Zeichen arn6/fs durch

- 13 -

( 2 • 1 )

Nun besagt

SATZ

Es seien f,6 kanonische Untergruppen der 1 r ^{., es sei,}

Spitzenbahn

rs

6 Cf

und

rs ^gemäß

h

-·

u 6R\Js

v=1

s eine Spitze. Dann zerfällt die

(R E f)

\)

in h paarweise disjunkte Bahnen

s ^mod

¹

^v

(man beachte„ daß alle R\Js ^i,n r die gleiche Breite N

haben„ wie s ). Bezeichnet nun die Relativbreite von

R _\)

s ^i,n

^bezüglich r

so gilt h

( 1 ~ v ~ h) .,

( 2 • 2)

L ^g =

6J .

v=1 v ·

Ist

Normalteiler von r „ so stimmen alle mitein- ander überein„ und für den gemeinsamen Wert g gilt

gh = [ r : 6]

Beweis s. EB, Anhang F(a), Satz F1. Im Falle h = 1 sagen wir, es bleibe s

zerlegt.

(beim Übergang von r zu 6) un-

Die beiden folgenden Sätze betreffen Kongruenzgruppen;

diese müssen also zunächst definiert werden. Vorher soll je- doch ein Lemma zitiert werden, das für genauere Untersuchun- gen über Kongruenzgruppen unentbehrlich ist.

- 14 -

LEMMA 2 .1 Gegeben se1.,en n 1 ,n

2 E

und zwei Matrizen

2

vom Typus SE 1

mit

( 2, 2) über Tl. Genau dann gibt es ein

wenn gilt

det

=

^{mod n.}

J J

Beweis s. EB, Anhang F(c).

Der Versuch, eine Definition der Kongruenzgruppen aus dem Wortbegriff abzuleiten, führt über Lemma 2.1 auf die Bedingung, daß eine Untergruppe der Modulgruppe, die als Kongruenzgruppe zu bezeichnen wäre, eine Hauptkongruenz- gruppe enthalten soll. Wegen der besonderen Bedeutung der Spitzenbreiten und auch zur Realisierung einer gewissen Maximalitätsforderung wird verlangt, daß es sich hier um homogene Hauptkongruenzgruppen handelt. Das besagt insge- samt

DEFINITION. Eine Untergruppe r der Modulgruppe 1 r

heißt eine Kongruenzgr-uppe (in

1

r ), wenn eine natürli- che Zahl

derart existiert, daß r:) r

Dann wird

m

eine Stufe von r genannt; man sagt auch, r habe die Stufe m.

Danach sind r [ m] , r

m ] , r

O [

m ]

vg 1 . ( 1 . 1 1 , 1 4 ) ) sämtlich Kongruenzgruppen der Stufe m; daß f(m) für

m > 2 nicht Kongruenzgruppe (irgendeiner Stufe) ist, muß in

Kauf genommen werden. Der Begriff der Kongruenzgruppe und

- 15 -

der ihrer $tufe ist gegenüber Konjugation in

1 r inva- riant. Jede Kongruenzgruppe r hat (wegen r [m] ::::, r [mk]

für m, k E

unendlich viele Stufen, deren Minimum im folgenden als genaue Stufe von r bezeichnet wird. Auf- grund von Lemma 2.1 beweist man leicht: Sind m

1 ,m

2 Stu- fen von r , so ist auch t

(m

1 ,m

2 ) eine Stufe von r

Daraus folgt, daß die genaue Stufe von r zugleich der ggT aller Stufen von r ist.

Sei weiter r eine Kongruenzgruppe, m eine Stufe von r , s eine Spitze und N deren Breite in r ; ^dann

gilt NI m . Als Stufen von r kommen also nur gemeinsame Vielfache aller Spitzenbreiten in r in Betracht. Der in dieser Hinsicht entscheidende Satz von FRICKE-WOHLFAHRT be- sagt:

SATZ 2.3 (SATZ VON FRICKE-WOHLFAHRT) Die genaue Stu- fe einer Kongruenzgruppe r ist das kleinste positive ge- me-insame Vielfache der Breiten aller Spitzenbahnen mod r .

Beweises. [8];[4],§ 7a.

Der folgende Satz betrifft den Durchschnitt zweier Kongruenzgruppen, deren Stufen zueinander teilerfremd sind.

SATZ

r

es sei

(m

,m

2)

=

Es seien r

1

,r

2

m. e-ine Stufe von

J

Kongruenzgruppen in der

r . ( j = 1 , 2 J und

J

Dann ist

r

1

n r

2

eine Kongruenzgruppe

- 16 -

der Stufe

1^m2 .

Weiter se&en s

1

,s

2

zwei (nicht not- wendig verschiedene) Spitzen. Dann ist der Durchschnitt der Spitzenbahnen r

s

und r

s

niemals leer, sondern

stimmt mit einer gewissen Spitzenbahn 6s mod 6 überein, und jede Spitzenbahn 6s wird in dieser Weise, nämlich durch r

1

s n r

s dargestellt. Demgemäß sind die geordne- ten Paare {r

1 s 1 ,r

2 s

2 } der Spitzenbahnen modr

1 ^und mod r

2 auf die Spitzenbahnen mod 6 bijektiv bezogen.

Hat s· ⁱⁿ r. die Breite N. (j=1,2) , so gilt

J J J

N.

m. , und s ^{hat in} 6 die Breite N1N2 . In den Be-

zei~hnungen zu (1.10) gilt also

0

6 = ar ar 1 2 , µ6 = µr µr 1 2 Beweis s. EB,

3, Satz 3.1.

Unter den Sätzen, die später dauernd angewendet wer- den, befindet sich ein Strukturtheorem über Kartesiche Produkte zweier Gruppen. Es seien ~

1 ,~

2 endliche Grup- pen; wir definieren ihr Kartesisches Produkt durch

mit der Komposition

e 1 ,e

2 seien die neutralen Elemente von ~

1 bzw. ~ 2 Es wird die Aufgabe gestellt, die "allgemeinste" Un-

zu konstruieren. - Wir analy- sieren zunächst den Begriff: Liegt eine Untergruppe U

- 17 -

vor, so sei TT . (j=1,2) der Projektionsoperator J

TT . : u - ^{~- mit} TTj((u 1 ,u 2)) =uj für (u1 ,u2)

(j=1,2).

J J

Er führt u in die Untergruppe

TT.(U) von

J J

Der zugehörige Kern von

2 liefert in der Gestalt

{r

1 E ~

1

^(r 1 ^,e 2 ) EU}

~- _J

einen Normalteiler

1

von

1 ,

und nun gilt pei ana- loger Bedeutung von

2

über.

SATZ 2.5 Die Faktorgruppen P 1 /N

1 und P 2 /N

2 sind isomorph.-

Bezeichnet o diesen Struktur-Isomorphismus in der Richtung

o:

1 - F 2/N

2 ,

so erhält man nun

durch die folgende Vorschrift für die Bestimmung von u

1 ,u

2 : Man wähle u

1 willkürlich aus P

1 und danach u 2 EP

2 so, daß o(u

1 ^N 1 ) = u

2 ^N 2 . Die Anzahl

der Elemente von

beträgt daher

IP ₁ l IN ₂ 1 = IP 2 1!N

1 1 . Wenn ll selbst ein Kartesisches Produkt in (~

1 ,~

2 ) sein soll, so muß es möglich sein, u 2 willkürlich in P

2 zu wählen, was offenbar

2 = F 2 ,

N1

= F 1 besagt. Die Lösung der gestellten Aufgabe ergibt sich damit zwangsläufig aus den Strukturelementen

und ihren Eigenschaften.

F . , N .

J J

Wir führen nun die Modulargruppen der Stufe m E

ein, in dem wir wie folgt definieren:

- 18 -

,.

Für m E JN sei Pm der Restklassenring mod m über ll. und pm der entsprechende kanonische Homo- morphismus von ll. auf Pm . Wir schreiben

( 2 • 3)

m

. - SL (

m

, m [ m] . - m (m) /<-Im> ,

wo I die Einheitsmatrix in ffi(m) angibt, und bezeich-

m

nen diese Gruppen als homogene bzw. inhomogene Modular- gruppe der Stufe m. Für sie gilt

m(m);;;;

1 r;r(m), m[m];;

1 r;r[m].

Die erste Relation besteht darin, daß der Nebenklasse sr (m) (S E

1

die (elementweise zu bildende) Restklasse p (S) ESL(2,P)

bijektiv zugeordnet ist, was zugleich die bijektive Beziehung zwischen den Untergruppen r der Modulgruppe, die f(m) enthalten, und den Untergruppen

h

~

von ffi(m) liefert: Ist r = u R f(m)

v=1 v eine Zerle- gung in disjunkte Nebenklassen, so besteht

aus den

(1 ~

v

Andererseits gestattet ffi(m) vermöge des Isomorphis- mus ffi(m);; (ffi(m

1 ) ,ffi(m

2 )) (m=m 1 m

2 ;m 1 ,m

2 EJN, (m 1 ,m

2 )

1)

eine Darstellung als Kartesisches Produkt der m (mj) ( j = 1 , 2) Dabei entspricht - nach Rückübertragung in die Modulgruppe - der Klasse sr(m) das Paar (srcm

1 ) ,sr(m

2 )) und in der umgekehrten Richtung bei gegebenen

s 1 , s 2 E

1 r , wenn s E 1 r (vgl. Lemma 2.1) dem Paar

- 1 9 -

(s 1 r (m 1 ), s

2 r (m

2 )) = (sr (m

1 ) ,sr (m 2 )) die Klasse Sf(m) .

Damit erhält man einen Isomorphismus, der r/r(m) oder

auf eine Untergruppe U von (m(m

1 ) ,m(m

2 )) ab- bildet. In der obigen Bedeutung von pm(S) besteht

aus den Paaren (Pm (Rv) ,Pm (Rv)) ( 1 ;;; v ;;; h) , denen in

1 2

der Modulgruppe die Paare (Rvf(m

1 ) ,Rvf(m

2 )) (1;:;;v;;;h) entsprechen. Daraus folgt, daß die Gruppe

1 , die in Satz (2.5) auftritt, aus genau den sämtlichen verschie- denen Pm (R)

1

( 1 ;;;

h) besteht. Bei Übertragung in h

die Modulgruppe ergibt dies genau u Rvf(m

1 ) , und nun v=1

kommt

rr(m 1 ) = mithin

h

u Rvf(m)f(m 1 ) = v=1

SATZ 2.6 Es sei m=m 1 m

2 ; m 1 ,m

2

(m 1 ,m

2 ) =1 und r eine Untergruppe von

1 r mit r

r (m) ; ferner

U

die r vermöge des oben entwickelten Isomorphismus zugeordnete Untergruppe des Kartesischen Produkts

(m(m 1 ),ffi(m

2 ) ) . Dann gilt in den Bezeichnungen von Satz 2.5

p (

r r

=

m. J J

J

(j=1,2)

Für die Normalteiler

von

scheint eine ähn-

J J

lieh einfache Kennzeichnung nicht zu existieren. Jedoch

- ?n -

kann man gelegentlich das folgende leicht beweisbare Lemma mit Vorteil benutzen:

LEMMA 2.2 Es sei m eine Potenz einer ungeraden Primzahl und

eine Untergruppe von ffi(m) Genau dann

Pm, wenn enthält

die negative Einsmatrix

die Ordnung von

gerade i s t . -

-I über

Im folgenden soll, wie vielfach üblich, mit lffil die Anzahl der Elemente der Menge ffi bezeichnet werden.

Damit ergibt sich in den obigen Bezeichnungen:

§

3. ZUSAMMENSTELLUNG DER HILFSMITTEL II: MODULARGRUPPEN.

PROBLEMSTELLUNG

Von entscheidender Bedeutung sind die Eigenschaften der inhomogenen Modulargruppen ffi[q] von Primzahlstufe q . Das folgende kurze Referat beruht auf Resultaten aus

[ 1 ] •

Zunächst gilt

SATZ 3 .1 Für jede Primzahl q

5 ist die inhomogene Modulargruppe ffi[q] einfach.-

Gleichfalls für Primzahlen m = q wird die Frage nach den Kongruenzgruppen gestellt, die eine Stufe q und den Index q + 1 (l·n

1 r) mi·t r ⁰ [q] gemein · h b a en. H' ier gi ·1t

- 21 -

SATZ 3. 2 Es gibt genau q + 1 Kongruenzgruppen r

der Stufe

in der

1

r , die in dieser den Index

+

haben, und sie sind sämtlich zu r

[q] in

1

r konju- giert. Unter den q +

Konjugierten von r

[q] gibt es genau eine mit dem Fundamentalkomplex (1.15)

und dies ist r

^{[qJ .-}

Die genaue Anzahl der Konjugierten von r ⁰ [q] in 1 r und eine Übersicht über diese ergibt sich unmittel- bar aus der Gestalt von

und der entsprechenden

Zerlegung von

1 r in Nebenklassen. Die Anzahlbestimmung besagt, daß die Gruppe r ⁰ [q] ihr eigener Normalisator in 1 r ist.

Im Zusammenhang mit den Spitzenbreiten (s. (1 .6)) ist der folgende Begriff von Bedeutung (vgl. [4]):

DEFINITION Eine kanonische Untergruppe r der Modul- gruppe heißt zykloid, wenn es nur eine einzige Spitzenbahn mod r gibt (d.h. wenn in den Bezeichnungen zu

ar =

zutrifft).-

Ist r eine zykloide Untergruppe von

1 r und be- zeichnet N die Breite der einzigen Spitzenbahn mod r ,

N-1

so stellt jedes System u A- 1 U \JE (A E

1 f) einen Funda-

\J= 0

mentalkomplex von

r dar.

gilt in der Gestalt

\lr + 6 = 1 2p + 4e 3 + 3e 2 . Ein einfacher Sachverhalt über zykloide Kongruenzgruppen besagt

-

SATZ 3.3 Eine Kongruenzgruppe r der Primzahlstufe

mit r *

r ist genau dann zykloid~ wenn

1

r : r]

ist.-

Beweis. Nach der Voraussetzung über die Stufe von r

hat r die genaue Stufe 1 oder q , also q . Nach Satz 2.3 sind alle Spitzenbreiten in r gleich 1 oder q , und q muß vorkommen. Daraus folgt die Behauptung.

Eine genaue Analyse des Begriffs zeigt folgendes (vgl.

[4,5]): Zykloide Untergruppen der Modulgruppe existieren zu jedem Indexwert m und ihre Anzahl strebt mit m expo- nentiell ins Unendliche. Das Gleiche gilt auch bei vorge- gebenem Geschlecht p , wenn der Indexwert oberhalb einer geeigneten von p abhängigen Schranke liegt. Dagegen gibt es insgesamt nur endlich viele zykloide Kongruenzgruppen und insbesondere solche einer Primzahlstufe q nur für q = 2,3,5,7,11 .

Für eine Primzahl q

13 ist der in Satz 3.2 genann- te Indexwert q + 1 die kleinste Zahl > 1 , die als Index einer Untergruppe der ffi[q] auftreten kann. In den Fällen q = 2, 3, 5, 7, 11 wird jedoch die Schranke q + 1 durch den Wert q der zykloiden Kongruenzgruppen der Stufe q unter- boten. Im folgenden sollen die zykloiden Kongruenzgruppen

r des Primzahlindex q für diese q durch Angabe ihrer Daten (die Parameter in (1 .10)) und der Struktur der ihnen zugeordneten Modulargruppen ( ; f/f[q]) kurz beschrieben werden; dabei gilt stets 1-lr = q und natürlich ar = 1 .

- 23 -

q = 2: r = Normalteiler

2

der

1 r mit p

0,e

3

2, e = 0; Ordnung 3; Rotationsgruppe in der Dieder-

2

gruppe des Dreiecks.

q = 3: r = Normal teil er

3 N der

1 r rni t p = o, e

3 = o,

e = 3; Ordnung 4; Kleinsche Vierergruppe in der

2

Tetraedergruppe.

q = 5: 5 Gruppen r , die eine Konjugationsklasse in der 1 r mit p=0,e

3 =2,e

2 =1 bilden; Ordnung 12;

5 konjugierte Tetraedergruppen in der Ikosaeder- gruppe.

q = 7: 14 Gruppen r , die zwei Konjugationsklassen zu je·7 in der

1 r mit p = 0,e

3 = 1,e

2 = 3 bilden;

Ordnung 24; 14 Oktaedergruppen in zwei Klassen Konjugierter zu je 7 in der ffi[7] ( lffi[7]

= 168).

q = 11 : 22 Gruppen r , die zwei Konjugationsklassen zu je 11 in der

1 r mit p = 0 ,e

3 = 2,e

2 = 3 bilden;

Ordnung 60; 22 Ikosaedergruppen in zwei Klassen Konjugierter zu je 11 in der ffi[11]

m [ 11 J

= 6 60) Für die Primzahlen q = 2,3,5,7 sind die zykloiden Untergruppen der Modulgruppe vorn Index q sämtlich Kon- gruenzgruppen. Im Falle q = 11 hingegen gibt es genau 11 O zykloide Untergruppen der Modulgruppe vorn Index 11 in 10 Konjugationsklassen zu je 11, und nur zwei dieser Klassen bestehen aus Kongruenzgruppen (s.o. unter q = 11 ) . Alle

110 zykloiden Untergruppen der Modulgruppe vorn Index 11 sind untereinander isomorph.

- 24 -

(Problemstellung). In Analogie zu den Resultaten über zykloide Kongruenzgruppen wird nun die Problematik der Kongruenzgruppen mit genau zwei Spitzenbahnen disku- tiert. Eine kanonische Untergruppe der Modulgruppe mit genau zwei Spitzenbahnen wird im folgenden als Zweispitz- gruppe bezeichnet; eine Kongruenzgruppe, die zugleich Zwei- spitzgruppe ist, als Zweispitz-Kongruenzgruppe. Jede Zwei- spitzgruppe r kann unter ihren Konjugierten in

1 r so ausgewählt werden, daß

und 0 die Vertreter ihrer beiden Spitzenbahnen sind. Wir schreiben

( 3 • 1 )

und dürfen überdies

( 3 • 2)

voraussetzen. Es gilt (1.10) mit

= J.lr = n

0

+ n , or=2, also

n

+ n = 1 2p + 4e

3 + 3e 2 .

Als Fernziel ist die Konstruktion aller Zweispitz- Kongruenzgruppen anzusehen. Dieses soll hier nicht in vol- ler Allgemeinheit angesteuert werden; wir beschränken uns auf den Fall, der in der Anordnung (3.1 ,2) durch die zu- sätzliche Bedingung

( 3 • 3)

n = 1 oder Primzahl

0

gekennzeichnet ist. Eine Zweispitzgruppe (bzw. Zweispitz-

- 25 -

Kongruenzgruppe) dieser Art wird als Zweispitzgruppe (bzw.

Zweispitz-Kongruenzgruppe) nach (3.1 ,2,3) oder - wenn n 0 vorgegeben ist - nach (3.1,2) bezeichnet.

§

4. TEILBARKEITSSÄTZE. DER FALL = 1 Wir beweisen zunächst

SATZ 4.1 Es sei r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach (3.1,2) und

0,n)

=1 ( r hat also den Index n

+ n in 1 r und die genaue Stufe

t I n

0

n ., t < n

0

n ., so gilt ers terrs 2 . 1

zweitens

(n

+ n)µ[t]

µ[n

0

n]

Beweis. Wir setzen

n

n

. Ist t

„

rr[tJ = 1 r (vgl. Satz

r 1 [tJ := rr[tJ,µ

1

[tJ := [

1 r : r

1 [tJJ,m 1 [tJ := [r

[tJ: r J . Nach Satz 2.2 ist r

1

[t] entweder eine Zweispitzgruppe oder zykloid. Es liege der erste Fall vor. Dann bleibt

jede der beiden Spitzenbahnen mod r

1 [ t] beim Übergang zu r unzerlegt; abermals nach Satz 2.2 geht m

1

[t] in und n auf, ist also =

Das besagt

r = r

1

[tJ :) r[tJ

erweist also t als Stufe von r , im Gegensatz zu t < n

0 n und Satz 2. 3. Daraus folgt, daß r

1 [ t] zykloid ist, und daß nun µ

1

[t] in und n aufgeht, also

= 1 ist. Dies ist die erste Behauptung des Satzes. Die zweite erhält man daraus, daß r[n 0 n] sowohl in r[t] , als auch (nach Satz 2.3) in r , also in 6

r n r[t]

- 26 -

enthalten ist, wodurch Satz 2.1 auf 6 anwendbar wird.- Es sei bemerkt, daß dieser Satz natürlich auch für t = 1 zutrifft, was (n

0

+ n) i ^{µ [ n}

^n] impliziert. Hieraus folgt z.B. sofort, daß die Zweispitzgruppen nach (3.1 ,2) mit n

0

+ n = 7 sämtlich nicht Kongruenzgruppen sind.

Wir wenden Satz 4.1 auf den Fall n =

0

an, setzen also voraus, daß r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach

(3.1 ,2) mit den Werten

=

0

ist. Zunächst sei

bemerkt, daß der .Fall n = 1 nach (1 .10) -nicht eintreten kann; wir dürfen also n > 1 voraussetzen.

Nun sei zunächst n durch zwei verschiedene Primzah- len teilbar, q der kleinste Primteiler von n und

n = q m

,m EIN, (m,q) = 1). Dann ergibt die Teilbarkeits- formel von Satz 4.1

(t := m)

also nach (1 .13)

(1+q\Jm) l 2µ[q\J], wenn

> 2 ; (1+2m) 16, ^wenn q

=

Die zweite Aussage kann nicht eintreten, da m

3 . Die erste bedeutet

und ist daher gleichfalls unmöglich.

Hieraus folgt, daß für n nur eine Potenz einer ein- zigen Primzahl in Betracht kommt. Mit n=q

q Prim- zahl,

wird nach Satz 4 . 1 , wenn \) > 1

(1 +q\))µ[q\J-1]

µ[q\)] (t v-1 := q )

- 27 -

also nach (1 .13)

\) 1 3

( 1 + q ) q , wenn q > 2 , \)~2 und q = 2 , \ ) ~ 3 , was unmöglich; die betr. Relation ist aber auch für

q = \) =

wegen µ [

=

unmöglich. Damit bleibt n = ^q

also folgt nach Satz 3.2

SATZ

Es sei r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach ^(3.1,2) mit

und

Dann ist

n =

n

(d.h. mit den Spitzenbreiten eine Primzahl

und r = r

n

zur Diskussion der Zweispitz-Kongruenzgruppen r nach (3.1,2) mit n

0 = Primzahl wird ein Analogon des Satzes ^{4. 1} benutzt, das den Fall n ₀

n betrifft. Es be- sagt

SATZ 4.3 Es sei r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach (3 .1, 2)., n

0 eine Primzahl„ n

0

n ( r hat also die genaue Stufe n ) . Ferner sei, t EIN„ t

n „ t < n . Dann bestehen für r

1 = r

1 [t] = rr[t] die folgenden bei- den Möglichkeiten:

ist

(a) Es gibt genau zwei Spitzenbahnen [r 1 [tJ: rJ = n

0 „ r

1 [tJ = r [q]., q

mod r

1 und es ei,ne Primzahl;

(b) r 1 [t] ist zykloid., µ

1 [t] = [

1 r r

1 [t] J = 1 oder

(n 0 +n)µ[t]

µ

1 [t]µ[n]

-

Beweis. Im Falle (a) geht m

1 [t] :=

1 [t]:

in n 0 auf, ist also= 1 oder n

0 . Die erste Möglichkeit ist wie beim Beweise von Satz 4.1 durch Satz 2.3 zu wi- derlegen. Die zweite führt nach Satz 2.2 auf 1 als Spitzenbreite von O in r

1 [t] und damit nach Satz 4.2 zu den ersten 4 Aussagen der Behauptung. t ist eine Stufe,

die genaue Stufe von r ₁ [ t] , so daß

I t das gibt die fünfte Aussage der Behauptung.

Im Falle (b) ergibt sich die Behauptung in voller Analogie zu dem vorgehen beim Beweise der Teilbarkeitsre- lation von Satz 4.1 .-

Auch dieser Satz gilt für t = 1 . Hier ist nur (b) realisiert und liefert (n

0

+n) µ[n] .-

In dieser ersten Mitteilung zum Thema der Zweispitz- gruppen sollen vornehmlich die Fälle n

0

= 2,3 (s. (3.1,2)) abgehandelt werden. Wir beweisen dazu den folgenden

SATZ 4.4 Es sei r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach (3.1,2) mit n

0

= 2,3 . Dann ist n durch n

0

teilbar.- Beweis: Andernfalls wäre (n

0

,n) = 1 und dann nach Satz 4.1

(t

:=n) , also mit n;,;;3 bzw. n;,;;4 nach (1.13)

( 2 + n)

6 ( n

O = 2 , ( n, 2) = 1 ) bzw. (3+n) [ 24(n

0

=3,(n,3) =1).

Das ergibt bis auf die einzige Ausnahme einen Widerspruch.

- 29 -

n =3 n=S

0 '

stets

Im Ausnahmefall ist der Index von r gleich 8 , die genaue Stufe gleich 15 . r führt auf eine Unter- gruppe U des Kartesischen Produkts ( ffi ( 5) , ffi ( 3) ) . Nach den Sätzen 2.5,6 und 4.1 ( t

5) erhält man P

1

m ( 5) , also (vgl. (1.12))

illi

= 2µ[15]/8 = IP ! IN

= 2µ[5]1N 2

1 2

was I N

2 i = 3 liefert. Nach Lemma 2. 2 ist <N

2 , -I 3 > ein Normalteiler der Ordnung 6 von ffi(3) . Die Faktorisierung nach <-I >

3

ergibt nun einen Normalteiler vom Index 4 der Tetraedergruppe ffi[3] . Ein solcher existiert nicht. -

Damit ist Satz 4.4 bewiesen.-

An dieser Stelle ist auf den Zusammenhang von Satz 4.4 mit den schönen Sätzen von H. LARCHER [2] hinzuweisen. Satz

4.4 folgt unmittelbar aus [2], Theorem 2. Ich habe jedoch den obigen Beweis reproduziert, weil die darin enthaltenen Schlußweisen für einen großen Teil der vorliegenden Unter- suchung unentbehrlich sind.

§

5. NICHT-ZYKLOIDE ERWEITERUNGSGRUPPEN. SPEZIALFÄLLE Um die Probleme mit n

0 = 2, 3 zu bearbeiten, gehen wir von einer Zweispitz-Kongruenzgruppe r nach (3.1 ,2) mit n 0 = 2, 3 aus; nach Satz 4. 4 ist n

0 ein Teiler von n . Wir schreiben n = n n'

und zeigen jetzt, daß nie der Fall Satz 4.3(b) eintreten kann, wenn t

n' > 1 .

- 30 -

Es liege also mit t = n' > 1 der Sachverhalt (b) von Satz 4.3 vor. Dann ist r

1 [n'] .- ^{rr[n'] zykloid}

JJ1[n'] := [ 1 r : r

1 [n']J ist notwendig = 1 oder no (µ 1 [n']=2 besagt r

1 [n'] = 2N ' JJ1[n'] = 3 besagt r 1 [ n' ] =

3 N) · . Nach der Teilbarkei tsrelation von Satz 4.3 gilt

( 5 • 1 ) n

0 ( 1 + n') µ [ n' ] \ µ

1 [ n' ] µ [ n

0 n' ] ;

und

es sei bemerkt, daß in dem nicht zugelassenen Fall n' = 1 diese Relation für

zutrifft.

n =

0

nicht,_wohl aber für n

=

Im Falle n = 2 n ' - 1 mod 2

0 '

folgt aus (5.1) nach

(1.13)

2(1 +n') \ 6µ

1 [n'] , d.h. ( n ' + 1 ) \ 3 oder 6 . Die einzige Möglichkeit hierfür ist n' = 5 , r

1 [n'] = 2 N Sie ergäbe jedoch

2 N

r [ 5] , was nicht eintreten kann, weil eine kanonische Untergruppe von

2 N nur gerade Spit- zenbreiten hat.

Im Falle wenn n' > 2 :

n = 2 , n ' -

mod 2

0

2(1+n') \8µ

1 [ n ' ] , d.h.

entsteht aus (5.1),

( n ' + 1 ) \ 4 oder 8 , was wieder unmöglich ist; auch n' = 2 liefert einen Wider- spruch.

Im Falle n

0

=3,(n,3) =1 folgt aus (5.1) nach (1.13) 3(1 +n') \ 24µ

1 [n'] , d.h. (n' +1) \ 8 oder 24.

- 31 -

Die erste Relation wird durch n' = 7 und, da n

> 1 , nur hierdurch erfüllt. Sie soll später widerlegt werden. Die

zweite erfordert wegen r ₁ [n'] =

3

daß

3

I'[n'] , also n' =

mod 3 , im Widerspruch zur Voraussetzung. Auch der Sonderfall n' = 2 ist nicht realisierbar.

Im Falle n

0

= 3 , n' =

^{mod 3} entsteht aus ( 5.

3(1+n') [27µ

1 [ n ' ] , d.h.

keine dieser Relationen trifft zu.

( n ' + 1 )

oder 2 7

Im noch übrigen jetzt zu widerlegenden Fall n

0

= 3, n' =7 hat r den Index 24 und die genaue Stufe 21

r entspricht einer Untergruppe ll des Kartesischen Pro- dukts (m(7) ,ffi(3)} , und es gilt nach Satz 2.6:

p

3 (r ₁ ^{[3]) = F} ₂ . Von der Gruppe r ₁ ^[3] kann man nach Satz 4.3 schließen, daß sie keine Zweispitzgruppe sein kann, da sie sonst mit r

[7] zusammenfallen müßte. Das aber ergäbe wegen r

7] = r ₁ [ 3]

r [ 3] einen Widerspruch. Daraus folgt, daß r ₁ [3] zykloid ist und, wie· aus Satz 4.3(b) hervorgeht, in 1 r den Index 1 oder 3 aufweist. Damit kommt

llll = 2µ[21]/24 = !F 2 i!N

1 ! = 2µ[3]!N 1 !/µ

1 [3]

also !N

1

= 14µ

1 [3] = 14 oder 42 . Die Faktorisierung nach

<-I 7 > liefert einen Normalteiler der Ordnung 7 oder 21 von ffi[7] , entgegen Satz 3.1 .- Damit ist folgendes bewiesen:

SATZ 5.1 Es sei r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach ( 3. 1 , 2) mit n =

0

oder

so daß also nach Satz 4.4 n = n n'

0 (n' E JN) ~

es sei überdies n' >

Dann ist

- 32 -

r

[n']

rr [n'] nicht zykloid~ sondern vielmehr eine Zwei- spitz-Kongruenzgruppe nach Satz 4.3(a).-

Die Fortsetzung der Untersuchung basiert im wesentli- chen auf einer Kombination der Sätze 4.3 und 5.1. Diese be- sagt

SATZ 5.2 Es sei r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach (3.1,2) mit n

0

=2,3 und n>n

0 •

Dann gilt n=n

0

n•

(n' E :IN)

und

[r 1 [n']: r] = n

r

1 [n'] = r

[q], q Primzahl~ q = n' .- Nicht in dieses Schema passen die beiden Fälle

n = n

0

= 2, 3 , die sogleich untersucht werden sollen. Dagegen handelt es sich in der Situation von Satz 5.2, von den wei- teren beiden Fällen

Kartesischen Produkts

abgesehen, um Untergruppen des

( m

m (n

mit I;rimzahlen

> n

.

ihre Diskussion beginnt in§ 6. Im gegenwärtigen§ 5 be- trachten wir noch die numerischen Spezialfälle n

0

= 2 , n

2, 4 und n

0 =

3 , n = 3,

wobei wir zur Vereinfachung der Diskussion das FRICKEsche Resultat unterstellen, nach dem alle kanonischen Untergruppen der Modulgruppe vom Index~

Kongruenzgruppen sind. (Beweis s. a. [7])

Der Fall n

= 3 , n =

wird wie allgemein n

0

= q , n = q

( q Primzahl) , da er nur eine Primzahl involviert, als singulär bezeichnet. Die singulären Fälle erfordern für q > 2 Methoden, die von den oben eingeführten gänzlich ver- schieden sind; ihre Untersuchung muß aufgeschoben werden.-

- 33 -

n

= n = 2 . Dieser Fall widerspricht der Eulerschen Polyederformel (1 .10) keineswegs, sondern entspricht ihr mit p =

e

3 = 1 , e

2 =

Trotzdem existiert eine solche ka- nonische Untergruppe der Modulgruppe nicht, weil es keine Möglichkeit gibt, den elliptischen Fixpunkt der Ordnung 3

im Fundamentalkomplex zu lokalisieren; vgl. Fig. 7.

n

= 2 , n = 4 . Wir betrachten zunächst r o [ 2] ; diese

h d U 2, u·-1

Gruppe at die kanonischen Erzeugen en und -M 11 ( s.

1) mit der Schließungsrelation

( vg 1 . F i g . 1 )

und führt durch den geraden Charakter x mit X (M 11 ) = +1

zu einem Normalteiler r vom Index 2 in r

[2] mit den Spitzenbahnen r

(Breite 4) und ro (Breite 2) sowie den elliptischen Fixpunkten 1 + i , 3 + i . Es gilt (1.10) mit µ=6,p=0,a=2,e

3 =o,e

2 = 2 , wodurch 3+i * ^{1+imodr be-}

stätigt wird. Gibt man, wie dies hier zutrifft, die Vertre- ter der Spitzenbahnen nach ( 3. 1, 2) mit n

0

= 2 , n = 4 vor, so ist eine kanonische Untergruppe der Modulgruppe durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt; d.h. es existiert in einem entsprechenden Fundamentalkomplex K genau ein System von geschlossenen Eckenumläufen (vgl. Fig. 8).

Das zugehörige kanonische Erzeugendensystem besteht aus U ⁴ , U ^{• -2} , -M

11 , -M

33 mit der Schließungsrelation 4 •-2

U U M 11 M

33 = +I . Bei Reduktion in die Gruppe ffi[4] erhal- ten die kanonischen Erzeugenden (mit Ausnahme von u ⁴

- 34 -

sämtlich die Ordnung 2 , so daß der Kongruenzgruppe r

der Stufe 4 eine Untergruppe der ffi[4] von der Struktur der Kleinsehen Vierergruppe entspricht; vgl. [3], die dor- tige Fig. 4 und die im Diagramm ganz links stehende Gruppe der Ordnung 4.

n 0 = n = 3 . Der sehr einfache Fundamentalkomplex von 3

liefert ein System kanonischer Erzeugenden in der Ge- stalt U ,-M..

= 0,1,2) mit der Schließungsrelation

JJ

U MOOM11M22 = -I .

Es gilt (1.10) mit p=e

3 =0,cr=1,e

2 =3 Bei der Reduktion von 3

mod 3 in die Modulargruppe m [ 3] entsteht aus

3

eine Kleinsche Vierergruppe, die den Normalteiler der Tetra- edergruppe mit zyklischer Faktorgruppe der Ordnung 3 reali- siert.

Der gerade Charakter x auf 3

mit

( 5 • 2)

definiert vermöge x = 1 einen Normalteiler r vom Index 2 in 3

dessen Fundamentalkomplex aus den beiden Spitzen- bahnen von der Breite 3 der Fig. 9 besteht. In der Tat ist

00

* 0 mod r ; denn bereits L

= 0 für L E

3

impliziert L = ±Tu 3 k (k E

so daß · X (L) = -1 nach (5. 2). Es gilt

(1 .10) mit p = e

3 =

= e

2 = 2 . Das zugehörige kanonische Erzeugendensystem wird durch

3 •- 3 TU- 2Tu 2T

1 ^{:= ,} E

2

=

- 35 -

mit der Schließungsrelation beschrieben.

f[3] ist eine Untergruppe von r vom Index 2, und man sieht leicht, daß

( 5. 3) r = r [

u r [

11

zutrifft, was besagt, daß r durch

f

= {L E 1

L = ± I oder L = ±M11 mod 3}

definiert werden kann. Die Konjugationsklasse von r be- steht aus genau drei Gruppen, die sich analog zu (5.2) in der Gestalt

( 5. 4) r '. : = r [

u r [

J J J

darstellen lassen; r 1 ist das obige r . Einen Fundamen- talkomplex wie den einer Zweispitzgruppe nach (3.1 ,2) mit n 0 = ⁿ = ³ besitzen nur r 1 ^{und r} 2 , die also die gesuch- ten Lösungen des speziellen Problems sind (vgl. [3]). Sie unterscheiden sich von einander durch die Lage der ellip- tischen Fixpunkte im (gemeinsamen) Fundamentalkomplex.

n 0 = 3 , n = 6 . Zunächst ergibt Satz 2. 4, angewendet auf r ₁ : = ₃ N (m

1 = 3) und r

= r [

2

=

die Exi- stenz einer Zweispitz-Kongruenzgruppe nach (3.1 ,2) mit den obigen Werten n

0 , n ; dies ist

3 N n r [ 2] . Daß es keine anderen Lösungen des konkreten Problems gibt, soll

jetzt gezeigt werden.

Es sei also r eine Zweispitz-Kongruenzgruppe nach

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