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Academic year: 2022

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Morphologische Filter

Industrielle Bildverarbeitung, Vorlesung No. 81

M. O. Franz

28.11.2007

1falls nicht anders vermerkt, sind die Abbildungen entnommen aus Burger & Burge, 2005.

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Übersicht

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Morphologische Filter

2

Morphologische Grundoperationen

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Morphologische Filter für Grauwertbilder

(3)

Übersicht

1

Morphologische Filter

2

Morphologische Grundoperationen

3

Morphologische Filter für Grauwertbilder

(4)

Nichtlineare Filter: Beispiel 3 x 3-Medianfilter

Abrundung von Ecken

Kleine Strukturen verschwinden

beeinflußt wird dieFormder Bildregionen

Ziel:Nichtlineare Filter zur gezielten Formveränderung von Bildstrukturen.

(5)

Grundidee: schrumpfen und wachsen

1 Schrittweises Schrumpfen durch Entfernen der Randpixel⇒ kleine Bildstrukturen verschwinden.

2 Übriggebliebene Regionen wieder wachsen lassen

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Schrumpfen und Wachsen auf Pixelebene

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Nachbarschaften bei rechteckigem Bildraster

4er-Nachbarschaft:die vier Pixel, die in horizontaler und vertikaler Richtung angrenzen.

8er-Nachbarschaft:4er-Nachbarschaft + vier diagonale Pixel

(8)

Binäre nichtlineare Filter

Ähnlich wie beim linearen Filter wird das Verhalten eines morphologischen Filters durch eine binäre Matrix beschrieben, dem sog.StrukturelementHmit

H(i,j)∈ {0,1}.

Binärbilder und Strukturelement werden oft Mengen 2-dimensionaler Koordinatenpaare der Vordergrundpixel beschrieben:

QI ={(u,v)|I(u,v) =1}

(9)

Operationen auf Binärbildern in Mengennotation

InvertierungI(u,v)→ ¬I(u,v)ist äquivalent zur Bildung der Komplementärmenge:

Q¬I =QI

Punktweise ODER-OperationI1∨I2ergibt die Vereinigung der zugehörigen PunktemengenQ1undQ2:

QI1∨I2 =QI1∪QI2

Punktweise UND-OperationI1∧I2ergibt die Schnittmenge der zugehörigen PunktemengenQ1undQ2:

QI1∧I2 =QI1∩QI2

Vereinfachte DarstellungI1∪I2bedeutetQI1∪QI2,IbedeutetQI.

(10)

Übersicht

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Morphologische Filter

2

Morphologische Grundoperationen

3

Morphologische Filter für Grauwertbilder

(11)

Dilatation

Dilatationführt zum Wachstum einer Bildregion:

I⊕H={(u0,v0) = (u+i,v+j)|(u0,v0)∈QI,(i,j)∈QH}.

StrukturelementHwird an jedem gesetzten Bildpixelrepliziert(oder umgekehrt).

(12)

Erosion

Erosionführt zum Schrumpfen einer Bildregion:

I H={(u0,v0)|(u0+i,v0+j)∈QI,(i,j),∀(i,j)∈QH}.

Es werden nur die Pixel beibehalten, um die herum das Strukturelement vollständig in die Bildregion hineinpaßt.

(13)

Aufgabe 8.1

Berechnen Sie die Ergebnisse für die Dilatation und die Erosion zwischen dem folgenden Binärbild und den StrukturelementenH1 undH2:

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Eigenschaften von Dilatation und Erosion (1)

Dilatation und Erosion bewirken zwar gegenteilige Effekte, aber sie sind i.A.nicht zueinander invers(z.B. können wegerodierte Details nicht durch eine Dilatation wiederhergestellt werden).

Eine Dilatation des Vordergrundes kann durch eine Erosion des Hintergrundes erreicht werden und umgekehrt:

I⊕H=I H und I H=I⊕H Dilatation istkommutativ:

I⊕H=H⊕I Neutrales Elementder Dilatation:

I⊕δ=δ⊕I=I, wobei Qδ ={(0,0)}

(15)

Eigenschaften von Dilatation und Erosion (2)

Dilatation istassoziativ:

(I1⊕I1)⊕I3=I1⊕(I2⊕I3) Eine Dilatation mit einem großen Strukturelement

H=H1⊕H2⊕ · · · ⊕Hnkann als Folge von mehreren Dilatationen mit kleinen StrukturelementenHidargestellt werden:

I⊕H= (. . .((I⊕H1)⊕H2)⊕. . .)⊕Hn

Erosion istnicht kommutativ:

I H6=H I Zweifache Erosion:

(I1 I2) I3=I1 (I2⊕I3)

(16)

Beispiel: Isotrope Strukturelemente

(17)

Beispiel: Unterschiedliche Größe des

Strukturelements (1)

(18)

Beispiel: Unterschiedliche Größe des

Strukturelements (2)

(19)

Beispiel: Frei gestaltete Strukturelemente (1)

(20)

Beispiel: Frei gestaltete Strukturelemente (2)

(21)

Beispiel: Mehrfache Anwendung kleiner

Strukturelemente

(22)

Beispiel: Outline

1. Erosion der Randpixel:

I0 =I H 2. InversionI0

Hintergrund + Randpixel 3. Schnittmenge mit Originalbild

B=I∩I0=I∩I H enthält nur die

Randpixel.

(23)

Zusammengesetzte Operationen: Opening und Closing

Opening:Erosion gefolgt von Dilatation mit demselbenH:

I◦H= (I H)⊕H

entfernt kleine Bildstrukturen.

Closing:Dilatation gefolgt von Erosion:

I•H= (I⊕H) H

füllt Löcher und Zwischenräume in Vordergrundstrukturen.

Opening und Closing sindidempotent, d.h. jede weitere Anendung läßt das Bild unverändert:

(I◦H)◦H=I◦H und (I•H)•H=I•H Opening des Vordergrundes ist äquivalent zu Closing des Hintergrundes (und umgekehrt):

I◦H=I•H und I•H=I◦H

(24)

Beispiel: Opening und Closing (1)

(25)

Beispiel: Opening und Closing (2)

(26)

Übersicht

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Morphologische Filter

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Morphologische Grundoperationen

3

Morphologische Filter für Grauwertbilder

(27)

Strukturelemente für morphologische Operatoren auf Grauwertbildern

Strukturelemente werden nicht als Punktemengen, sondern als diskrete 2D-Funktionen mit beliebigen reellen Werten definiert:

H(i,j)∈R

Im Unterschied zur linearen Faltung beeinflussen auch Nullwerte das Ergebnis und dürfen daher nicht weggelassen werden. Leere Zellen werden durch×markiert:

Morphologische Operatoren für Grauwertbilder werden als Varianten des Maximum- bzw. Minimumfilters realisiert.

(28)

Grauwert-Dilatation

Grauwert-Dilatation:Ersetze Pixel durch Maximum der Summen aus dem StrukturelementHund der entsprechenden BildregionI:

(I⊕H)(u,v) = max

(i,j)∈H{I(u+i,v+j) +H(i,j)}

(29)

Grauwert-Erosion

Grauwert-Erosion:Ersetze Pixel durch Minimum der Differenzen aus dem StrukturelementHund der entsprechenden BildregionI:

(I H)(u,v) = min

(i,j)∈H{I(u+i,v+j)−H(i,j)}

(30)

Beispiel: Grauwert-Dilatation und -Erosion (1)

(31)

Beispiel: Grauwert-Dilatation und -Erosion (2)

(32)

Beispiel: Grauwert-Opening und -Closing (1)

(33)

Beispiel: Grauwert-Opening und -Closing (2)

(34)

Beispiel: Grauwert-Dilatation und -Erosion mit frei

gestalteten Strukturelementen (1)

(35)

Beispiel: Grauwert-Dilatation und -Erosion mit frei

gestalteten Strukturelementen (2)

(36)

Beispiel: Grauwert-Opening und -Closing mit frei

gestalteten Strukturelementen (1)

(37)

Beispiel: Grauwert-Opening und -Closing mit frei

gestalteten Strukturelementen (2)

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