The Combined Approach to Query Answering in Horn-ALCHOIQ

(1)

The Combined Approach to Query Answering in Horn-ALCHOIQ

David Carral, Irina Dragoste, Markus Krötzsch

Knowledge-Based Systems Group at

(2)

TBox

The Combined Approach

ABox

Conjunctive query

(3)

TBox

The Combined Approach

1. Materialisation Step

ABox

Conjunctive query

(4)

TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Set

1. Materialisation Step

ABox

Conjunctive query

(5)

TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Engine Datalog Rule Set

1. Materialisation Step

ABox

Conjunctive query

(6)

TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Engine Datalog Rule Set

1. Materialisation Step

ABox

Conjunctive query

(7)

TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Engine Datalog Rule Set

1. Materialisation Step

* Complete for CQA

* May not be a model

* Sound (and complete) for instance queries

ABox

Conjunctive query

(8)

TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Engine Datalog Rule Set

2. Filtration Step 1. Materialisation Step

* Complete for CQA

* May not be a model

* Sound (and complete) for instance queries

ABox

Conjunctive query

(9)

Ans. 1 Ans. 2 Ans. 3 Ans. 4 TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Engine Datalog Rule Set

2. Filtration Step 1. Materialisation Step

* Complete for CQA

* May not be a model

* Sound (and complete) for instance queries

ABox

Conjunctive query

(10)

Ans. 1 Ans. 2 Ans. 3 Ans. 4 TBox

The Combined Approach

Datalog Rule Engine Datalog Rule Set

2. Filtration Step 1. Materialisation Step

* Complete for CQA

* May not be a model

* Sound (and complete) for instance queries

ABox

Conjunctive query

(11)

C ₁ ⊓ … ⊓ C _n ⊑ D R ⊑ S

∃ R . C ⊑ D R ₁ ⊓ … ⊓ R _n ⊑ ⊥ C ⊑ ∃ R . D R(a, b) C ⊑ ≤ 1R . D A(a)

C ⊑ {a}

The Combined Approach for Horn-ALCHOIQ

(12)

The Materialisation Step

(13)

C ₁ ⊓ … ⊓ C _n ⊑ D ↦ C ₁ (x) ∧ … ∧ C _n (x) → D(x)

∃ R . C ⊑ D ↦ R(x, y) ∧ C(y) → D(x) C ⊑ ∃ R . D ↦ C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

R ⊑ S ↦ R(x, y) → S(x, y) C(a) ↦ C(a)

R(a, b) ↦ R(a, b)

Materialisation Step: EL

(14)

C ₁ ⊓ … ⊓ C _n ⊑ D ↦ C ₁ (x) ∧ … ∧ C _n (x) → D(x)

∃ R . C ⊑ D ↦ R(x, y) ∧ C(y) → D(x) C ⊑ ∃ R . D ↦ C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

R ⊑ S ↦ R(x, y) → S(x, y) C(a) ↦ C(a)

R(a, b) ↦ R(a, b)

Materialisation Step: EL

(15)

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

Materialisation Step: EL

(16)

a : C

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

Materialisation Step: EL

(17)

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

d

1

: D

Materialisation Step: EL

(18)

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S

d

1

: D d

2

: C

Materialisation Step: EL

(19)

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S

d

1

: D d

2

: C

Materialisation Step: EL

(20)

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S

a : C, F d

1

: D d

2

: C

Materialisation Step: EL

(21)

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D

Materialisation Step: EL

(22)

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C

Materialisation Step: EL

(23)

d

3

: D , E

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C

Materialisation Step: EL

(24)

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C

Materialisation Step: EL

(25)

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

Materialisation Step: EL

(26)

d

6

: C

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

Materialisation Step: EL

(27)

d

6

: C d

5

: D , E

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

Materialisation Step: EL

(28)

d

6

: C d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

Materialisation Step: EL

(29)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

Materialisation Step: EL

(30)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

Materialisation Step: EL

(31)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

Materialisation Step: EL

(32)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E

R a : C

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

Materialisation Step: EL

(33)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E

R a : C

R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

t

D

: D

Materialisation Step: EL

(34)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

S

t

C

: C

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

t

D

: D

Materialisation Step: EL

(35)

d

7

: D d

6

: C

d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

R S

t

C

: C

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

t

D

: D

Materialisation Step: EL

(36)

t

D

: D, E d

7

: D

d

6

: C d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

R S

t

C

: C

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

t

D

: D

Materialisation Step: EL

(37)

t

D

: D, E d

7

: D

d

6

: C d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

R S

t

C

: C

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

t

C

: C, F t

D

: D

Materialisation Step: EL

(38)

t

D

: D, E d

7

: D

d

6

: C d

5

: D , E

d

4

: C, F

d

3

: D , E

d

2

: C, F

a : C d

1

: D, E R

R S

t

C

: C

a : C R

C ⊑ ∃ R . D D ⊑ ∃ S . C

∃ S . C ⊑ E

∃ R . E ⊑ F

C(a)

S R S R

S R

a : C, F d

1

: D d

2

: C d

3

: D d

4

: C d

5

: D

S

d

8

: C

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D ) D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C ) S(x, y) ∧ C(y) → E(x) R(x, y) ∧ E(y) → F(x)

a : C, F

t

C

: C, F t

D

: D

Materialisation Step: EL

(39)

Materialisation Step: (Horn-)ELI

C ₁ ⊓ … ⊓ C _n ⊑ D ↦ C ₁ (x) ∧ … ∧ C _n (x) → D(x)

∃ R . C ⊑ D ↦ R(x, y) ∧ C( y) → D(x),

C(x) ∧ R ⁻ (x, t _𝔼 ) → R ⁻ (x, t _𝔼⊓D ) ∧ ⋀ _E∈𝔼⊓D E(t _𝔼⊓D ) for every conjunction 𝔼 of concept names C ⊑ ∃ R . D ↦ C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

R ⊑ S ↦ R(x, y) → S(x, y), R ⁻ (x, y) → S ⁻ (x, y)

(40)

Materialisation Step: (Horn-)ELI

C ₁ ⊓ … ⊓ C _n ⊑ D ↦ C ₁ (x) ∧ … ∧ C _n (x) → D(x)

∃ R . C ⊑ D ↦ R(x, y) ∧ C( y) → D(x),

C(x) ∧ R ⁻ (x, t _𝔼 ) → R ⁻ (x, t _𝔼⊓D ) ∧ ⋀ _E∈𝔼⊓D E(t _𝔼⊓D ) for every conjunction 𝔼 of concept names C ⊑ ∃ R . D ↦ C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

R ⊑ S ↦ R(x, y) → S(x, y), R ⁻ (x, y) → S ⁻ (x, y)

(41)

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

Materialisation Step: Horn-ELI

(42)

a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

Materialisation Step: Horn-ELI

(43)

a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

(44)

a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

(45)

a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D : t

D

R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

(46)

a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D : t

D

R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

(47)

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D : t

D

R

t

C

: C

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

(48)

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

(49)

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

(50)

a : C,E, G

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

(51)

a : C,E, G

S S

a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

(52)

a : C,E, G

S S

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

(53)

a : C,E, G

R S

S

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

(54)

a : C,E, G

R S

S R

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

(55)

a : C,E, G

t

C⊓_E

: C,E,G

R S

S R

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

(56)

a : C,E, G

t

C⊓_E

: C,E,G

R S

S R

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

(57)

a : C,E, G

t

C⊓_E

: C,E,G

R S

S R

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

q ₁ = ∃ y, w . C(a) ∧ R(a, y) ∧ S(y, w) ∧ G(w)

(58)

a : C,E, G

t

C⊓_E

: C,E,G

R S

S R

S a : C,E,G d

1

: D ,F d

2

: C,E,G d

3

: D,F

R S R

b : C e

1

: D e

2

: C e

3

: D

R S R

a : C,E b : C

D, F : t

D⊓_F

R D : t

D

R

t

C

: C R

∃ R ⁻ . E ⊑ F

∃ S ⁻ . F ⊑ E C ⊑ ∃ R . D

∃ R . F ⊑ G

D ⊑ ∃ S . C C(a) C(b) E(a)

C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

Materialisation Step: Horn-ELI

D(x) → S(x, t _C ) ∧ C(t _C )

E(x) ∧ R(x, t _D ) → R(x, t _D⊓F ) ∧ D(t _D⊓F ) ∧ F(t _D⊓F ) F(x) ∧ S(x, t _C ) → S(x, t _C⊓E ) ∧ C(t _C⊓E ) ∧ E(t _C⊓E )

R(x, y) ∧ F(y) → G(x)

R

t

C⊓_E

: C,E

q ₂ = ∃ y, w . C(a) ∧ R(a, y) ∧ S(y, w) ∧ R(w, y)

q ₁ = ∃ y, w . C(a) ∧ R(a, y) ∧ S(y, w) ∧ G(w)

(59)

ℛ Eq = {x ≈ y → y ≈ x, x ≈ y ∧ y ≈ z → x ≈ z} ∪ {C(x) ∧ x ≈ y → C(y) ∣ C ∈ N _C ⁺ } ∪

{ℝ(x, y) ∧ x ≈ z → ℝ(z, y), ℝ(x, y) ∧ y ≈ z → ℝ(x, z) ∣ ℝ ∈ N _R ^⊓ }

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

ℛ Top = {C(x) → ⊤ (x) ∣ C ∈ N _C } ∪ {ℝ(x, y) → ⊤ (x) ∧ ⊤ ( y) ∣ ℝ ∈ N _R ^⊓ } ℛ Role = {ℝ(x, y) ∧ N (y) → ℝ ⁻ (x, y) ∣ ℝ ∈ N _R ^⊓ } ∪

{ℝ(x, y) → R(x, y) ∣ ℝ ∈ N _R ^⊓ , R ∈ N _R }

ℛ Nm = { N (a), ⊤ (a) ∣ a ∈ N _I }

(60)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

C ₁ ⊓ … ⊓ C _n ⊑ D ↦ C ₁ (x) ∧ … ∧ C _n (x) → D(x)

C ⊑ {a} ↦ C(x) → x ≈ a

∃ R . C ⊑ D ↦ R(x, y) ∧ C( y) → D(x),

C(x) ∧ ℝ ⁻ (x, t _𝔼 ) → ℝ ⁻ (x, t _𝔼⊓D ) ∧ ⋀ _E∈𝔼⊓D E(t _𝔼⊓D ) for every ℝ ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and 𝔼 ∈ N _C ^⊓

C ⊑ ∃ R . D ↦ C(x) → R(x, t _D ) ∧ D(t _D )

R ⊑ S ↦ ℝ(x, y) → (ℝ ⊓ S )(x, y), ℝ ⁻ (x, y) → (ℝ ⁻ ⊓ S ⁻ )(x, y)

for every ℝ ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ

(61)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

For all ℝ, 𝕊 ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and R ∈ 𝕊, and all 𝔼, 𝔽 ∈ N _C ^⊓ D(y) ∧ R ⁻ (y, x) ∧ C(x) ∧ R(x, z) ∧ D(z) ∧ N (z) → y ≈ z

C(x) ∧ ℝ(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) ∧ 𝕊(x, t _𝔽 ) ∧ F(t _𝔽 ) → (ℝ ⊓ 𝕊)(x, t _𝔼⊓𝔽 ) ∧ ⋀

X∈𝔼⊓𝔽

X(t _𝔼⊓𝔽 ) D(y) ∧ ℝ ⁻ (y, x) ∧ C(x) ∧ 𝕊(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) → ⋀

X∈𝔼

X(y) ∧ (ℝ ⁻ ⊓ 𝕊 ⁻ )(y, x) D( y) ∧ R ⁻ (y, x) ∧ C(x) ∧ N (x) → N (y)

C ⊑ ≤ 1R . D ↦

(62)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

For all ℝ, 𝕊 ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and R ∈ 𝕊, and all 𝔼, 𝔽 ∈ N _C ^⊓ D(y) ∧ R ⁻ (y, x) ∧ C(x) ∧ R(x, z) ∧ D(z) ∧ N (z) → y ≈ z

C(x) ∧ ℝ(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) ∧ 𝕊(x, t _𝔽 ) ∧ F(t _𝔽 ) → (ℝ ⊓ 𝕊)(x, t _𝔼⊓𝔽 ) ∧ ⋀

X∈𝔼⊓𝔽

X(t _𝔼⊓𝔽 ) D(y) ∧ ℝ ⁻ (y, x) ∧ C(x) ∧ 𝕊(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) → ⋀

X∈𝔼

X(y) ∧ (ℝ ⁻ ⊓ 𝕊 ⁻ )(y, x) D( y) ∧ R ⁻ (y, x) ∧ C(x) ∧ N (x) → N (y)

C ⊑ ≤ 1R . D ↦

(63)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

For all ℝ, 𝕊 ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and R ∈ 𝕊, and all 𝔼, 𝔽 ∈ N _C ^⊓

C(x) ∧ ℝ(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) ∧ 𝕊(x, t _𝔽 ) ∧ F(t _𝔽 ) → (ℝ ⊓ 𝕊)(x, t _𝔼⊓𝔽 ) ∧ ⋀

X∈𝔼⊓𝔽

X(t _𝔼⊓𝔽 )

C ⊑ ≤ 1R . D ↦

(64)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

a : C t

B⊓_D

: B, D

R ⊓ S R t

A

: A, D

For all ℝ, 𝕊 ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and R ∈ 𝕊, and all 𝔼, 𝔽 ∈ N _C ^⊓

C(x) ∧ ℝ(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) ∧ 𝕊(x, t _𝔽 ) ∧ F(t _𝔽 ) → (ℝ ⊓ 𝕊)(x, t _𝔼⊓𝔽 ) ∧ ⋀

X∈𝔼⊓𝔽

X(t _𝔼⊓𝔽 )

C ⊑ ≤ 1R . D ↦

(65)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

a : C t

B⊓_D

: B, D

R ⊓ S R t

A

: A, D

For all ℝ, 𝕊 ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and R ∈ 𝕊, and all 𝔼, 𝔽 ∈ N _C ^⊓

C(x) ∧ ℝ(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) ∧ 𝕊(x, t _𝔽 ) ∧ F(t _𝔽 ) → (ℝ ⊓ 𝕊)(x, t _𝔼⊓𝔽 ) ∧ ⋀

X∈𝔼⊓𝔽

X(t _𝔼⊓𝔽 ) C ⊑ ≤ 1R . D ↦

C(x) ∧ (R ⊓ S )(x, t _B⊓D ) ∧ D(t _B⊓D )

∧ R(x, t _A ) ∧ D(t _A ) → (R ⊓ S )(x, t _A⊓B⊓D ) ∧ A(t _A⊓B⊓D ) ∧ B(t _A⊓B⊓D ) ∧ D(t _A⊓B⊓D )

(66)

Materialisation Step: Horn-ALCHOIQ

a : C t

B⊓_D

: B, D

R ⊓ S R t

A

: A, D

t

A⊓_B⊓_D

: A, B, D R ⊓ S

For all ℝ, 𝕊 ∈ N _R ^⊓ with R ∈ ℝ and R ∈ 𝕊, and all 𝔼, 𝔽 ∈ N _C ^⊓

C(x) ∧ ℝ(x, t _𝔼 ) ∧ D(t _𝔼 ) ∧ 𝕊(x, t _𝔽 ) ∧ F(t _𝔽 ) → (ℝ ⊓ 𝕊)(x, t _𝔼⊓𝔽 ) ∧ ⋀

X∈𝔼⊓𝔽

X(t _𝔼⊓𝔽 ) C ⊑ ≤ 1R . D ↦

C(x) ∧ (R ⊓ S )(x, t _B⊓D ) ∧ D(t _B⊓D )

∧ R(x, t _A ) ∧ D(t _A ) → (R ⊓ S )(x, t _A⊓B⊓D ) ∧ A(t _A⊓B⊓D ) ∧ B(t _A⊓B⊓D ) ∧ D(t _A⊓B⊓D )

The Combined Approach to Query Answering in Horn-ALCHOIQ