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1/3 ∀ p ∈ P : A ( p )füralle p aus P ist A ( p )wahr ∃ p ∈ P : A ( p )esgibtmindestensein p aus P ,fürdas A ( p )wahrist p auseinerMenge P abhängen.SchreibweiseBedeutung A ( p )benutzt,dievoneinemParameter ∃ undderAllquantor ∀ verwendet.DieseQuantorenw

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Studienjahr: 2021

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Academic year: 2021

Aktie "1/3 ∀ p ∈ P : A ( p )füralle p aus P ist A ( p )wahr ∃ p ∈ P : A ( p )esgibtmindestensein p aus P ,fürdas A ( p )wahrist p auseinerMenge P abhängen.SchreibweiseBedeutung A ( p )benutzt,dievoneinemParameter ∃ undderAllquantor ∀ verwendet.DieseQuantorenw"

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Quantoren

Als Abk¨urzung f¨ur die Formulierungen

”es gibt . . . “,

”f¨ur alle . . . “

werden der Existenzquantor ∃und der Allquantor∀ verwendet. Diese Quantoren werden h¨aufig in Verbindung mit AussagenA(p) benutzt, die von einem Parameter p aus einer MengeP abh¨angen.

Schreibweise Bedeutung

∃p∈P : A(p) es gibt mindestens ein p ausP, f¨ur das A(p) wahr ist

∀p∈P : A(p) f¨ur alle p ausP ist A(p) wahr

1 / 3

(2)

Bei der Negation der beiden Aussagentypen vertauschen sich die Quantoren:

¬ ∃p ∈P : A(p)

= ∀p∈P : ¬A(p)

¬ ∀p ∈P : A(p)

= ∃p∈P : ¬A(p)

Gebr¨auchlich ist ebenfalls die Schreibweise ∃! f¨ur die Formulierung

”es gibt genau ein . . . “.

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(3)

Beispiel

Negation des Kriteriums f¨ur die Konvergenz einer Folgea1,a2, . . .gegen 0:

∀ε >0 ∃nε ∀n∈N: n >nε =⇒ |a_n|< ε

Negation durch Negieren der Kernaussage und Ersetzen der Quantoren,

∃ ↔ ∀

Ersetzen der Implikation (A =⇒ B = ¬A∨B) und Anwendung der De Morganschen Regel (¬(A∨B) = ¬A∧ ¬B)

¬(n>nε =⇒ |a_n|< ε) =¬(n≤nε∨ |a_n|< ε) =n>nε∧ |a_n| ≥ε negierte Aussage:

∃ε >0 ∀nε ∃n∈N: n>nε∧ |a_n| ≥ε Vereinfachung: ∃ε >0 : |a_n| ≥εf¨ur unendlich vielen∈N

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