Probeklausur zur Linearen Algebra II
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Name Vorname Matrikelnummer
... ... ...
Studienfach Fachsemester
... ...
A1 A2 A3 A4 A5
A6 A7 A8 A9 P
Informationen: Die Klausur besteht aus 9 Aufgaben mit insgesamt 54 Punkten. Die Klausur gilt als bestanden, wenn mindestens 24 Punkte erreicht werden.
Sie m¨ussen alle Aussagen begr¨unden. Nat¨urlich d¨urfen Sie Aussagen aus der Vorlesung und den ¨Ubungen ohne Beweis verwenden, außer, wenn explizit nach einem Beweis gefragt wird.
Bitte beachten Sie, dass die Begr¨undungen einen wesentlichen Anteil an der Bewertung der Aufgaben haben.
Bitte schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer.
Wenn Rechnungen ¨uber endlichen K¨orpern (also K¨orpern der FormFp) durchgef¨uhrt wer- den, m¨ussen die Endergebnisse als Elemente von {0, . . . , p−1} angegeben werden. Bei- spielsweise ist −2 = 5 und 23 = 3 inF7. Die Angabe der Elemente−2 und 23 wird als Fehler gerechnet!
Einlesezeit: 10 Minuten
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Viel Erfolg!
Aufgabe 1. (Jordan-Normalform. 6 Punkte.)
Bestimme die Jordan-NormalformJ der folgenden MatrixA∈F4×42 sowie einX ∈GL4(F2) mit X−1AX =J.
A:=
. . 1 1 . 1 1 . . 1 1 . . 1 1 .
Aufgabe 2. (Trennende Invarianten. 6 Punkte.)
Gib (bis auf Permutation der Jordanbl¨ocke) alle solchen Matrizen J ∈ R20×20 an, so dass J in Jordan-Normalform ist und f¨ur das Minimalpolynom µJ = (x2+ 1)2(x2−2)x3 und f¨ur das charakteristische Polynom χJ = (x2+ 1)4(x2−2)3x6 gilt. Wie lauten in diesen F¨allen die Partitionen?
Aufgabe 3. ( ¨Ahnlichkeit. 6 Punkte.) Gegeben seien die folgenden Matrizen:
A1 :=
1 0 1 1
A2 :=
4 3
−3 −2
A3 :=
2 4
−3 9
A4 :=
10 19
−1 1
. Bestimme alle Paare (Ai, Aj) mit 4 ≥ i ≥j ≥ 1, sodass Ai und Aj konjugiert sind unter GL2(Q).
Aufgabe 4. (Elementarteiler. 6 Punkte.) Es sei
A:=
1 3 7 2 5 8 1 2 3
∈Z3×3.
Bestimme die Elementarteiler von Z3×1/hA−,1, A−,2, A−,3i.
Aufgabe 5. (Simultane Kongruenzen. 6 Punkte.) Finde alle x∈Zmit
x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 3 (mod 5) Aufgabe 6. (Gruppen. 6 Punkte.)
Sei G eine Gruppe, welche auf einer MengeM operiert, und seig ∈G und m∈M. Zeige:
StabG(gm) = gStabG(m)g−1. Aufgabe 7. (Zentralisator. 6 Punkte.)
Sei
A:=
1 0 0 1 1 0 0 1 1
∈F3×32 .
1. Bestimme eine F2-Basis der Zentralisatoralgebra vonA inF3×32 .
2. Es operiere GL3(F2) aufF3×32 durch Konjugation. Bestimme die L¨ange der Bahn von A.
Aufgabe 8. (Moduln. 6 Punkte.)
Sei R ein Ring und seien M, N R-Moduln. Sei weiterhin ϕ : M → N ein R- Modulhomomorphismus. Zeige: Bild(ϕ) ist ein Teilmodul vonN.
Aufgabe 9. (Operation. 6 Punkte.)
G:=S4 operiert auf den 2-Tupeln von Elementen von M :={1,2,3,4} via G×M2 →M2,(g,(m1, m2))7→(g(m1), g(m2)). Bestimme ein Vertretersystem der Bahnen dieser Operation.