Prof. Dr. Volker Kaibel M.Sc. Jonas Frede
Wintersemester 2019/2020
Probeklausur zum Selbstlernen - Einf¨ uhrung in die Mathematische Optimierung
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise19/emo/
Richtige Klausur am 30.01.2020
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Bitte beachten:
• Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Matrikelnummer!
• Bitte beginnen Sie jede Aufgabe mit einem neuen Blatt.
• Alle Aussagen m¨ussen sorgf¨altig begr¨undet werden.
• Die Bearbeitungszeit betr¨agt 90 Minuten.
Viel Erfolg!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 ∑
max. P. 6 4 6 4 6 6 32
Punkte
Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Probeklausur zum Selbstlernen -S. 1/2
Aufgabe 1 (6 Punkte)
L¨ose das folgende LP mit dem Simplex-Verfahren. Verwende dazu als Startbasis die ersten drei Spalten.
max x1 + 2x4 − 2x5 − 2x6
x1 + x4 − x6 = 2
x2 − x4 − 3x5 = 1
x3 + 2x4 − 3x6 = 6
x1, . . . , x6 ≥ 0
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Wir betrachten das folgende Optimierungsproblem:
max x+y
s.t. (x−1)2+ (y−2)2 ≤ 1 (x−2)2+ (y−1)2 ≤ 1 (x−3)2+ (y−3)2 ≤ 4.
Uberpr¨¨ ufe die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen f¨ur den Punkt (2,2); ist dieser Punkt globales Maximum des Optimierungsproplems?
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Sei X = {x1, . . . , xl} eine endliche Menge mit x1, . . . , xl∈Rn.
(a) Formulieren Sie das Problem, zu entscheiden, ob ein gegebener Vektor ˜xin conv(X) liegt, als LP.
(b) Beweisen Sie, dass
⎛⎜
⎝ 1 1 1
⎞⎟
⎠∉conv
⎛⎜
⎝
⎛⎜
⎝ 0 0 0
⎞⎟
⎠,
⎛⎜
⎝
−1 2 0
⎞⎟
⎠,
⎛⎜
⎝ 0
−1 2
⎞⎟
⎠,
⎛⎜
⎝ 2
−10
⎞⎟
⎠
⎞⎟
⎠.
Aufgabe 4 (3+1 Punkte)
Dualisiere das im Folgenden beschriebene lineare Programm. Es seiG= (V, E)ein (unge- richteter, einfacher) Graph. Das LP hat zu jeder Kante e∈E eine Variable xe. F¨urv ∈V sei N(v) = {v′∈V ∶ {v, v′} ∈E} die Menge aller zu v benachbarten Knoten. Es ist ∑
e∈Exe zu minimieren unter den Nebenbedingungen:
u∈N(v)∑
x{u,v} ≥ 1 f¨ur alle v∈V xe ≥ 0 f¨ur alle e∈E.
Beschreibe das duale Problem auf kombinatorische Weise und nicht nur durch eine trans- ponierte Matrix!
Zeige ausserdem, dass ∑
e∈Exe≥α gilt, wennα die Stabilit¨atszahl des Graphen ist.
Hinweis: Die Stabilit¨atszahl ist die Anzahl an Knoten in der/einer gr¨oßten stabilen Menge des Graphen. Eine stabile Menge ist eine Menge von Knoten, die untereinander nicht durch Kanten verbunden sind.
Einf¨uhrung in die Mathematische Optimierung – Probeklausur zum Selbstlernen -S. 2/2
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Gegeben sei ein (einfacher, ungerichteter) Graph G mit Knotenmenge V und Kanten- menge E und ein Vektor b ∈ RV+. F¨ur einen Knoten v bezeichne N(v) die Menge der Nachbarknoten von v. Wir wollen jedem Knoten v eine nicht-negative reelle Zahl xv ≥0 zuweisen. Dabei soll folgendes gelten:
u∈N∑(v)
xu ≤ bv ∀v∈V
w∈V∑
xw ≥ 1 Zeige folgendes:
Existiert kein solcher Vektor x, so gibt es ein λ∈RV, so dass f¨ur alle v∈V gilt:
u∈N(v)∑
λu≥1+ ∑
w∈V λwbw
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Entscheide ¨uber die Korrektheit jeder der folgenden Aussagen. Falls sie falsch sind, gib eine ¨ahnliche, aber korrekte Aussage oder ein Gegenbeispiel an.
(a) F¨ur alle A, B⊆Rn gilt: conv(A∪B) =conv(A) ∪conv(B).
(b) Sei X ⊆Rn und x ∈conv(X). Dann gilt x ∈conv(x1, . . . , xk) f¨ur jede Menge von affin unabh¨angigen Punkten x1, . . . , xk∈X mit k =n+1.
(c) SeiA⊆Rn konvex und abgeschlossen und seien x, y∈A.
Dann gilt λx+ (1−λ)y∈int(A) f¨ur alle 0<λ<1.
(d) SeiX ⊆Rn und ˜x∈Rn. Falls ˜x∉conv(X), so existiert einu∈Rn mit ⟨x, u⟩ ≤1 f¨ur alle x∈X und ⟨˜x, u⟩ >1.
(e) Ist ein LP unzul¨assig, so ist das dazugeh¨orige duale LP unbeschr¨ankt.
(f) Im Simplex-Algorithmus mit der Bland-Regel f¨uhrt jeder Basiswechsel zu einer echten Verbesserung des Zielfunktionswerts der jeweils aktuellen Basisl¨osung.
