NOT FOR QUOTATION WITHOUT P E R M I S S I O N OF THE AUTHORS
AN ANALYSIS O F F I N I T E D I F F E R E N C E AND GALERKIN TECHNIQUES A P P L I E D TO THE SIMULATION OF ADVECTION AND D I F F U S I O N OF A I R POLLUTANTS FROM A L I N E SOURCE
E . R u n c a P . M e l l i F. S a r d e i
S e p t e m b e r 1 9 8 1 C P - 8 1 - 2 6
Co2lakorctiue P a p e r s r e p o r t w o r k w h i c h h a s n o t been p e r f o r m e d s o l e l y a t t h e I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s a n d w h i c h h a s received o n l y
l i m i t e d r e v i e w . V i e w s o r o p i n i o n s e x p r e s s e d h e r e i n do n o t n e c e s s a r i l y r e p r e s e n t t h o s e o f t h e I n s t i t u t e , i t s N a t i o n a l M e m b e r O r g a n i z a t i o n s , o r o t h e r o r g a n i - z a t i o n s s u p p o r t i n g t h e w o r k .
INTERNATIONAL I N S T I T U T E FOR A P P L I E D SYSTENS ANALYSIS A - 2 3 6 1 L a x e n b u r g , A u s t r i a
PREFACE
Management o f e n v i r o n m e n t a l q u a l i t y v e r y o f t e n h a s t o d e a l w i t h t h e a n a l y s i s o f t r a n s p o r t a n d d i f f u s i o n o f p o l l u t a n t s . I n most c a s e s , t h e p r o c e s s i s n o n s t a t i o n a r y a n d i t s s i m u l a t i o n re- q u i r e s t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e t i m e d e p e n d e n t c o n t i n u i t y e q u a t i o n .
The f u n d a m e n t a l p r o b l e m o f t h e e r r o r i n t r o d u c e d b y t h e d i s c r e t i z a t i o n o n a c o m p u t e r o f t i m e d e p e n d e n t p r o c e s s e s o f
t r a n s p o r t and d i f f u s i o n o f p o l l u t a n t s i s a d d r e s s e d i n t h i s s t u d y w i t h s p e c i f i c r e f e r e n c e t o d i s p e r s i o n o f a i r p o l l u t a n t s f r o m a n e l e v a t e d s o u r c e .
T h i s work i s p a r t o f t h e a c t i v i t y o f t h e R e s o u r c e s a n d
E n v i r o n m e n t Area ( T a s k 2 E n v i r o n m e n t a l Q u a l i t y C o n t r o l a n d Manage- m e n t ) o n a p p l i c a t i o n a n d e v a l u a t i o n o f a i r p o l l u t i o n m o d e l s . I t was c o n d u c t e d j o i n t l y w i t h t h e IBM I t a l y S c i e n t i f i c C e x t e r o f Rome a n d t h e Max P l a n c k I n s t i t u t f f l r P l a s m a p h y s i k o f G a r c h i n g b e i Mflnchen.
ABSTRACT
A f i n i t e d i f f e r e n c e and a G a l e r k i n t y p e scheme a r e compared w i t h r e f e r e n c e t o a v e r y a c c u r a t e s o l u t i o n d e s c r i b i n g t i m e de-
p e n d e n t a d v e c t i o n and d i f f u s i o n o f a i r p o l l u t a n t s from a l i n e s o u r c e i n a n a t m o s p h e r e v e r t i c a l l y s t r a t i f i e d and l i m i t e d by a n i n v e r s i o n l a y e r .
The a c c u r a t e s o l u t i o n was a c h i e v e d by a p p l y i n g t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme on a v e r y r e f i n e d g r i d w i t h a v e r y s m a l l t i m e s t e p . G r i d s i z e and t i m e s t e p were d e f i n e d a c c o r d i n g t o s t a b i l i t y and a c c u r a c y c r i t e r i a d i s c u s s e d i n t h e t e x t .
I t i s found t h a t f o r t h e problem c o n s i d e r e d , t h e two methods c a n b e c o n s i d e r e d e q u a l l y a c c u r a t e . However, t h e G a l e r k i n method g i v e s l a r g e r a r e a s o f small e r r o r s c l o s e t o t h e s o u r c e , T h i s was assumed t o b e p a r t l y due t o t h e d i f f e r e n t way t h e s o u r c e t e r m i s t a k e n i n t o a c c o u n t by t h e two methods. An improvement o f t h e a c c u r a c y of t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme w a s a c h i e v e d by approx- i m a t i n g , a t e v e r y s t e p , t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e s o u r c e t e r m by a G a u s s i a n p u f f moving and d i f f u s i n g w i t h v e l o c i t y a n d d i f f u s i v i t y o f t h e s o u r c e l o c a t i o n , i n s t e a d o f u t i l i z i n g a s t e p w i s e f u n c t i o n f o r t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e 6 f u n c t i o n r e p r e s e n t i n g t h e s o u r c e term,
CONTENTS
INTRODUCTION REFERENCE CASE
F i n i t e D i f f e r e n c e S c h e m e A c c u r a c y C o n d i t i o n s
R e f i n e d S o l u t i o n
COMPARISON WITH REFINED SOLUTION G a l e r k i n S c h e m e
R e s u l t s
S o u r c e T e r m A p p r o x i m a t i o n CONCLUSION
REFERENCES
AN ANALYSIS OF FINITE DIFFERENCE AND GALERKIN TTCHNIQUES APPLIED TO THE
SIMULATION OF ADVECTION AND DIFFUSION
OF A I R POLLUTANTS FROM A L I N E SOURCE
E. Runca, P . M e l l i , a n d F. S a r d e i
INTRODUCTION
S i m u l a t i o n o f a d v e c t i o n a n d d i f f u s i o n of p o l l u t a n t s i n e n v i - r o n m e n t a l m e d i a are r e q u i r e d f o r t h e d e f i n i t i o n o f b o t h p l a n n i n g a n d c o n t r o l s t r a t e g i e s . I n many s i t u a t i o n s , t h e p r o b l e m i s t h e d i s p e r s i o n o f p o l l u t a n t s from a p o i n t s o u r c e i n a t u r b u l e n t
f l o w . A c l a s s i c a l m a t h e m a t i c a l m o d e l o f t h i s p r o c e s s i s p r o v i d e d b y t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n w h i c h , n e g l e c t i n g r e m o v a l p r o c e s s e s , t a k e s t h e f o r m :
I n ( I ) , C i s t h e mean ( e n s e m b l e a v e r a g e ) c o n c e n t r a t i o n o f t h e con- -
s i d e r e d p o l l u t a n t ,
-
U i s t h e mean f l o w v e l o c i t y v e c t o r ,R
i s t h et u r b u l e n t d i f f u s i v i t y t e n s o r , Q i s t h e e m i s s i o n r a t e o f t h e p o i n t s o u r c e l o c a t e d a t ( x S r y S , z S ) a n d 6(.) i s D i r a c ' s f u n c t i o n .
E q u a t i o n ( 1 ) i s b a s e d o n t h e m i x i n g l e n g t h o r g r a d i e n t t r a n s - p o r t h y p o t h e s i s (see L e s l i e , 1 9 7 3 ) w h i c h , b y a n a l o g y w i t h m o l e c u l a r d i f f u s i o n , a s s u m e s t h a t t h e t u r b u l e n t f l u x c a n be e x p r e s s e d a s t h e
-1-
p r o d u c t o f an e d d y d i f f u s i v i t y c o e f f i c i e n t a n d t h e g r a d i e n t o f t h e mean c o n c e n t r a t i o n . The g r a d i e n t t r a n s f e r h y p o t h e s i s i m p l i e s t h a t e q u a t i o n ( 1 ) c a n o n l y r e s o l v e s p a t i a l a n d t e m p o r a l v a r i a t i o n s o f t h e c o n c e n t r a t i o n o n s c a l e s l a r g e r t h a n t h e r e s p e c t i v e L a g r a n g -
i a n s c a l e s of t h e t u r b u l e n c e .
Limitations o f the g r a d i e n t t r a n s f e r h y p o t h e s e s a r e d i s c u s s z d by C o r r s i n ( 1 9 7 4 )
,
Lamb a n d S e i n f e l d ( 1 9 7 3 ),
a n d o t h e r r e s e a r c h - e r s . The p r e s e n t s t u d y i s c o n c e r n e d w i t h t h e p r o b l e m o f s o l v i n g( 1 ) by n u m e r i c a l m e t h o d s . B o t h a f i n i t e d i f f e r e n c e a n d a G a l e r k i n scheme h a v e b e e n u s e d t o s i m u l a t e n u m e r i c a l l y t h e p r o c e s s e s d e - s c r i b e d by ( 1 ) . The s c h e m e s c o n s i d e r e d a r e c o m p a r e d w i t h r e f e r - e n c e t o t h e i r a p p l i c a t i o n t o t h e c l a s s i c a l t w o - d i m e n s i o n a l p r o b - , e m o f d i s p e r s i o n o f a i r p o l l u t a n t s f r o m a n e l e v a t e d l i n e s o u r c e i n t h e a t m o s p h e r i c b o u n d a r y l a y e r . F o r t h i s s p e c i f i c p r o b l e m , t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme i s u s e d t o c o m p u t e a v e r y a c c u r a t e s o l u t i o n by s o l v i n g ( 1 ) on a h i g h l y r e f i n e d g r i d a n d u s i n g a n e x t r e m e l y small i n t e g r a t i o n t i m e s t e p . The f i n i t e d i f f e r e n c e a n d t h e G a l e r k i n s c h e m e s a r e t h e n a p p l i e d t o s o l v e t h e same p r o b l e m on much c o a r s e r g r i d s w i t h l a r g e r t i m e s t e p s ; t h e n t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e r e f i n e d s o l u t i o n . F i n a l l y , a n i m p r o v e d method o f t r e a t i n g t h e s o u r c e term o f ( I ) , when f i n i t e d i f f e r e n c e
s c h e m e s a r e a p p l i e d , i s d i s c u s s e d . REFERENCE CASE
The n u m e r i c a l s c h e m e s i n t h i s s t u d y h a v e b e e n a p p l i e d t o a p r o b l e m w h i c h c a n b e c o n s i d e r e d a m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e d i s p e r s i o n o f a n i n e r t a i r p o l l u t a n t f r o m a c r o s s w i n d l i n e s o u r c e o f i n f i n i t e e x t e n t a n d u n i f o r m e m i s s i o n i n a n a t m o s p h e r e v e r t i c a l l y l i m i t e d by a n i n v e r s i o n l a y e r . F o r t h i s p r o b l e ~ ,
i f t h e x - a x i s i s t a k e n a l o n g t h e wind v e c t o r ( a s s u m e d t o h a v e components o n l y i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e ) , t h e y - d e p e n d e n t t e r m s o f ( 1 ) c a n b e e l i m i n a t e d . Assuming a l s o t h a t t h e a x e s o f t h e c h o s e n f r a m e o f r e f e r e n c e a r e t h e p r i n c i p a l a x e s o f t h e d i f - f u s i v i t y t e n s o r a n d t h a t g r o u n d a n d i n v e r s i o n l a y e r s c o m p l e t e l y r e f l e c t t h e d i f f u s i n g m a t e r i a l , t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m c a n b e s t a t e d a s :
where H i s t h e h e i g h t o f t h e i n v e r s i o n l a y e r . E q u a t i o n ( 2 ) i s d e r i v e d f r o m ( 1 ) w i t h t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s o f c o n s t a n t h o r i z o n t a l d i f f u s i v i t y a n d wind a n d v e r t i c a l d i f f u s i v i t y a s f u n c - t i o n s o n l y o f t h e v e r t i c a l c o o r d i n a t e . I n f o r m u l a t i n g t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 2 ) - ( 2 c ) , t h e r e g i o n i s c o n s i d e r e d u n p o l l u t e d a t t i m e t = 0 .
To g e n e r a l i z e r e s u l t s g i v e n by t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n t o e q u a t i o n ( 2 ) a n d r e l a t e d b o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s ( 2 a ) -
( 2 c ) , t h e va b e e n e x p r e s s
r i a b l e s a n d p a r a m e t e r s e d r e s p e c t i v e l y i n u n i
Q
( H )
'
U (H) - H.
U s e o fX I Z , t , U, K X , K Z , C h a v e
CI
L L
t h e s e n o r m a l i z i n g f a c t o r s l e a v e s e q u a t i o n s ( 2 ) - ( 2 c ) f o r m a l l y unchanged e x c e p t f o r t h e e m i s s i o n r a t e a n d t h e i n v e r s i o n l a y e r h e i g h t , which a r e b o t h n o r m a l i z e d t o u n i t y .
An a c c u r a t e s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m d e s c r i b e d by ( 2 ) - ( 2 c ) ( w i t h g i v e n wind and d i f f u s i v i t y ) h a s b e e n computed by means o f t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme d e s c r i b e d b e l o w .
F i n i t e D i f f e r e n c e Scheme
The f i n i t e d i f f e r e n c e scheme u s e d i s b a s e d o n t h e method o f f r a c t i o n a l s t e p s (see, e.g., Yanenko, 1 9 7 1 )
.
A c c o r d i n g t o t h i s p r o c e d u r e , ( 2 ) i s s p l i t i n t o t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e o f one-dimen- s i o n a l e q u a t i o n s :A t e a c h t i m e s t e p , t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e s o l v e d s e q u e n t i a l l y by t a k i n g as i n i t l a 1 c o n c e n t r a t i o n t h e o n e o b t a i n e d by s o l v i n g
t h e p r e v i o u s e q u a t i o n . Each o f t h e a b o v e e q u a t i o n s i s n u m e r i c a l l y i n t e g r a t e d o v e r t h e t i m e s t e p A t . The c o n c e n t r a t i o n f i e l d o b t a i n e d a f t e r t h e i n t e g r a t i o n o f ( 3 d ) i s t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n t o t h e
b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 2 ) - ( 2 c ) a f t e r t h e c o n s i d e r e d t i m e s t e p a n d p r o v i d e s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n t o ( 3 a ) f o r t h e n e x t t i m e s t e p . I n p r a c t i c e , t h e p r o c e s s e s d e s c r i b e d by ( 3 a ) - ( 3 d ) a r e c o n s i d e r e d s e p a r a t e o c c u r r e n c e s a t e a c h t i m e s t e p . R e d u c t i o n o f t h e i n - t e g r a t i o n t i m e s t e p d e c r e a s e s t h e e r r o r i n t r o d u c e d by t h i s assump- t i o n .
The f r a c t i o n a l s t e p p r o c e d u r e h a s b e e n e x t e n s i v e l y a p p l i e d
t o a p r o b l e m s i m i l a r t o t h a t d i s c u s s e d h e r e ( S h i r and S h i e h ( 1 9 7 4 ) , Runca and S a r d e i ( 1 9 7 5 ) , and Runca e t a l . ( 1 9 7 9 ) ) . A g e o m e t r i c
i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d a b o v e f o l l o w s .
The t r a j e c t o r y o f t h e p o l l u t a n t p a r t i c l e ( F i g . 1 ) s t a r t s from a a t t i m e nAt and r e a c h e s t h e g r i d p o i n t b ( i , k ) a t t i m e
( n
+
1 ) A t . I t s c o n c e n t r a t i o n a t p o i n t b c a n b e e x p r e s s e d a s :where 0 i s t h e c o n t r i b u t i o n d u e t o d i f f u s i o n p r o c e s s e s . (From h e r e on i t i s assumed t o o p e r a t e o v e r p o i n t s o f t h e i n t e g r a t i o n g r i d which d o n o t i n c l u d e t h e s o u r c e t e r m . )
By d e f i n i n g C
*
a s t h e v a l u e o f t h e c o n c e n t r a t i o n f i e l d t h a t would b e f o u n d a t t i m e ( t+
A t ) i f n o d i f f u s i o n o c c u r s , C**
a s t h e f i e l d o b t a i n e d i f no v e r t i c a l d i f f u s i o n o c c u r s , a n d A ,Dx and D Z a s t h e f i n i t e d i f f e r e n c e e x p l i c i t o p e r a t o r s f o r a d v e c t i o n , h o r i z o n t a l , and v e r t i c a l d i f f u s i o n r e s p e c t i v e l y , ( 3 b ) - ( 3 d ) y i e l d a t ' p o i n t b ( i , k ) :
E q u a t i o n s ( 5 a ) - ( 5 c ) show t h a t by v i r t u e o f t h e f r a c t i o n a l
s t e p p r o c e d u r e , t h e c o n t r i b u t i o n 0 g i v e n by t h e d i f f u s i o n p r o c e s s e s i s e v a l u a t e d w i t h r e s p e c t t o p o i n t a , which b e l o n g s t o t h e t r a - j e c t o r y o f t h e p o l l u t a n t p a r t i c l e . A s p o i n t e d o u t by S a r d e i a n d Runca ( 1 9 7 5 ) , t h i s would n o t h a v e o c c u r r e d i f ( 2 ) had n o t b e e n
F i g u r e 1 . Geometric d e s c r i p t i o n o f t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e . a b i s t h e t r a j e c t o r y o f t h e p o l l u t a n t p a r t i c l e a t l e v e l zk.
d i v i d e d i n t o ( 3 a ) - ( 3 d ) . T h i s p r o p e r t y o f t h e f r a c t i o n a l s t e p p r o c e d u r e ( t h a t o f e v a l u a t i n g t h e d i f f u s i o n c o n t r i b u t i o n O o n p o i n t s b e l o n g i n g t o t h e t r a j e c t o r y o f t h e p o l l u t a n t p a r t i c l e , t h u s r e t a i n i n g t h e L a g r a n g i a n a s p e c t o f t h e p r o c e s s e s d e s c r i b e d by ( 1 ) ) i s b e t t e r e x p r e s s e d i f t h e C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e i s a d o p t e d f o r t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e d i f f u s i o n terms. I n t h i s c a s e , ( 5 a )
-
( 5 c ) c a n b e c o m b i n e d t o p r o d u c e t h e e q u a t i o n :*
-*
- nCa = C b = A I C i k l h a s been u s e d t o p o i n t o u t b e t t e r a t w h i c h l o c a - t i o n o f t h e p o l l u t a n t t r a j e c t o r y t h e n u m e r i c a l s c h e m e o p e r a t e s . N o t e t h a t t h e terms D D [.I c a n b e i n t e r p r e t e d a s r e p r e s e n t a t i v e
X z
o f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e h o r i z o n t a l a n d t h e v e r t i c a l d i f - f u s i o n s .
E q u a t i o n ( 6 ) i s i m p l e m e n t e d i n t h i s s t u d y . I n o r d e r t o p r o g r a m t h e s c h e m e e l u c i d a t e d a b o v e , t h e o p e r a t o r s U, D x , a n d DZ m u s t b e d e f i n e d .
Much a t t e n t i o n w a s p a i d t o t h e d e v e l o p m e n t o f a n u m e r i c a l s c h e m e w h i c h c a n a v o i d t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e e r r o r s f r o m t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e a d v e c t i v e t e r m s o f ( 1 ) ( e q u a t i o n ( 3 b ) i n t h e case c o n s i d e r e d h e r e ) . A summary o f t h e p r o p o s e d m e t h o d s
c a n b e f o u n d i n B e r k o w i c z a n d Prahnl ( 1 9 7 9 ) . I n t h e p r e s e n t s t u d y , t h e c h o i c e i s made t o a p p r o x i m a t e e q u a t i o n ( 3 b ) by t h e Lax-Wendroff scheme ( R i c h t m y e r a n d M o r t o n ( 1 9 6 7 ) ) . By c h o o s i n g t h e Lax-Wendroff
* *
s c h e m e , Ca : Cb i s t h e v a l u e o b t a i n e d i n "a" t h r o u g h p a r a b o l i c i n t e r p o l a t i o n o v e r t h e p o i n t s i
-
1 , k , ( i , k ) , a n d (1 + 1 , k ) .The a d o p t e d d i f f u s i o n o p e r a t o r s were t h e u s u a l s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d d i f f e r e n c e o p e r a t o r s .
Under t h e s t a t e d c o n d i t i o n s , t h e f r a c t i o n a l s t e p p r o c e d u r e d e s c r i b e d by ( 3 a ) - ( 3 d ) i s u s e d t o s o l v e t h e b o u n d a r y v a l u e prob- l e m ( 2 )
-
( 2 c ).
However, i n o r d e r t o d o t h a t , a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t b e c h o s e n f o r t h e s i n g l e s t e p s ( 3 b ) - ( 3 d ) a n d s t e p( 3 a ) m u s t b e n u m e r i c a l l y a p p r o x i m a t e d .
I n t h e p r o b l e m d e a l t w i t h , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r ( 3 b )
-
( 3 d ) a r e e a s i l y d e t e r m i n e d . F o r ( 3 d ),
t h e b o u n d a r y c o n d i - t i o n s a r e g i v e n by ( 2 a ) , w h i l e f o r ( 3 b )-
( 3 c ),
t h e e x t e n t o f t h e i n t e g r a t i o n g r i d i s assumed t o b e s u c h t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n c a n b e c o n s i d e r e d e q u a l t o zero b o t h a t t h e downwind a n d a t t h e upwind l a t e r a l b o u n d a r i e s .The n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f ( 3 a ) i s o b t a i n e d , a s u s u a l , by a d d i n g a c o n t r i b u t i o n a t e a c h t i m e s t e p t o t h e p o i n t s c l o s e t o t h e s o u r c e l o c a t i o n s o t h a t t h e t o t a l matter i n t h e r e g i o n i n - c r e a s e s by Q A t ( A t i n n o r m a l i z e d u n i t s ) . T h i s method i n t r o d u c e s l a r g e e r r o r s c l o s e t o t h e s o u r c e . An i m p r o v e d way o f t r e a t i n g t h e s o u r c e t e r m i s t h e r e f o r e shown l a t e r .
The scheme d e s c r i b e d a b o v e i s u s e d i n o r d e r t o compute a n a c c u r a t e s o l u t i o n t o t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 2 ) - ( 2 c ) f o r
r e a l i s t i c wind a n d d i f f u s i v i t y p r o f i l e s ( e x p l a i n e d i n t h e s e c t i o n
" R e f i n e d s o l u t i o n " )
.
A c c u r a c y C o n d i t i o n s
Here, a c c u r a c y c o n d i t i o n s t o b e m e t i n a p p l y i n g t h e d i s c u s s e d f i n i t e d i f f e r e n c e scheme a r e r e v i e w e d . The a p p l i c a t i o n o f Von Neuman's s t a b i l i t y a n a l y s i s t o t h e a b o v e f r a c t i o n a l s t e p p r o c e d u r e shows t h a t t h e a m p l i f i c a t i o n f a c t o r o f a F o u r i e r c o n c e n t r a t i o n
component i s t h e p r o d u c t o f t h e a m p l i f i c a t i o n f a c t o r s o f t h e s i n g l e s t e p s ( R o a c h e ( 1 9 7 2 ) )
.
The s t a b i l i t y c o n d i t i o n r e q u i r e d by t h e scheme i s , t h e r e f o r e , o n l y t h e C o u r a n t c o n d i t i o n .T h i s s t e m s f r o m t h e u s e o f L a x - W e n d r o f f ' s scheme f o r t h e a d v e c t i o n s t e p .
:do c o n d i t i o n s a r e i n t r o d u c e d by t h e d i f f u s i o n s t e p s s i n c e C r a n k - i i i c o l s o n ' s scheme i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e . However, i n o r d e r t o a v o i d n e g a t i v e a m p l i f i c a t i o n f a c t o r s o f t h e h i g h - o r d e r F o u r i e r c o m p o n e n t s i n t h e d e r i v a t i o n o f t h e a c c u r a t e n u m e r i c a l s o l u t i o n , t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e a l s o r e q u i r e d :
A n o t h e r c o n d i t i o n i s a l s o i m p o s e d o n t h e g r i d g e o m e t r y a n d t i m e s t e p s t o g u a r a n t e e t h e d e r i v a t i o n o f a n a c c u r a t e n u m e r i c a l s o l u t i o n . I n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h i s c o n d i t i o n , l e t u s c o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l e q u a t i o n :
A p p l i c a t i o n o f t h e Lax-Weridroff a n d C r a n k - N i c o l s o n schemes t o t h i s e q u a t . i o n q i v e :
where
and
The a b o v e e q u a t i o n c a n b e r e a r r a n g e d a s f o l l o w s :
t h a t i s , as a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f a n upwind d i f f e r e n c e scheme a n d a C r a n k - N i c o l s o n t y p e o f scheme i n w h i c h t h e c o e f f i c i e n t o f t h e s e c o n d o r d e r c e n t e r e d d i f f e r e n c e a t t i m e nAt i s a l t e r e d by t h e
a a 2
f a c t o r
- -
2+ -
2 On p u r e l y p h y s i c a l g r o u n d s , i t seems r e a s o n a b l et o i m p o s e :
i n o r d e r t o a v o i d s i m u l a t i o n o f d i s p e r s i o n p r o c e s s e s h a v i n g n e g a - t i v e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s . C o n d i t i o n ( l o ) , d e r i v e d b y r e d u c i n g L a x - W e n d r o f f ' s scheme t o t h e c l a s s i c a l u p w i n d d i f f e r e n c e s c h e m e , . c o u l d a l s o b e o b t a i n e d by von Neumann's a n a l y s i s . By r e d u c i n g
L a x - W e n d r o f f ' s s c h e m e t o t h e upwind scheme i n ( 6 ) , t h e c o e f f i c i e n t o f t h e c e n t e r e d d i f f e r e n c e a t t i m e nAt i s a l t e r e d a s a b o v e , a n d c o n d i t i o n ( 1 0 ) i s t h e r e b y c o n s i d e r e d i n t h e d e f i n i t i o n o f t h e g r i d g e o m e t r y a n d t h e t i m e i n t e g r a t i o n s t e p a d o p t e d f o r t h e com- p u t a t i o n o f t h e a c c u r a t e s o l u t i o n .
R e f i n e d S o l u t i o n
The b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 2 )
-
( 2 c ) i s s o l v e d w i t h t h e a b o v e d e f i n e d scheme f o r ( i n n o r m a l i z e d u n i t s ) :o v e r t h e r e g i o n 0 < x i 2 . 4 ' 10 -2 a n d 0 < Z < 1 .
The c h o s e n v e r t i c a l e d d y d i f f u s i v i t y i s t h e same a s t h a t a d o p t e d by S h i r a n d S h i e h ( 1 9 7 4 ) ; i t c a n b e c o n s i d e r e d r e p r e s e n - t a t i v e o f d i f f u s i o n i n a n e u t r a l a t m o s p h e r e ( S h i r ( 1 9 7 3 ) , Wyngard e t a l . ( 1 9 7 4 ) , R o b i n s ( 1 9 7 8 ) ) .
The i n t e g r a t i o n r e g i o n h a s b e e n d e s c r i b e d b y 481 p o i n t s i n t h e h o r i z o n t a l a x i s e n d 97 i n t h e v e r t i c a l a x i s , c o r r e s p o n d i n g
t o A X = 0 . 0 0 0 0 5 a n d Az z 0 . 0 1 0 4 r e s p e c t i v e l y . U s i n g A t = 0 . 0 0 0 0 1 2 5 ,
t h e f o l l o w i n g v a l u e s a r e o b t a i n e d f o r c o n d i t i o n s ( 7 )
-
( 1 0 ).
K z
a t
max
'7 r 0 . 5 8
K ~ A t U A t
ua
t- ~ - > [ ~ ( 1 - ~ ) ] = 0 . 1 8 7 5
max
Of c o n d i t i o n s ( 7 ) - ( l o ) , o n l y t h e c o n d i t i o n on t h e v e r t i c a l d i f f u s i o n i s v i o l a t e d i n a s m a l l r e g i o n a r o u n d t h e maximum o f
2 -
With t h e a b o v e p a r a m e t e r s and g r i d g e o m e t r y , t h e i n t e g r a t i o n i s c a r r i e d o u t f o r 3 0 7 2 t i m e s t e p s f o r two d i f f e r e n t s o u r c e h e i g h t s e q u a l t o 0 . 2 5 and 0 . 5 r e s p e c t i v e l y . I n b o t h c a s e s , t h e s o u r c e
i s l o c a t e d a t x s = 3 8
-
1 0 -4.
A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t b o t h t h e up- wind a n d downwind l a t e r a l e x t r e m e s o f t h e r e g i o n assume t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n i s zero. To a v o i d t h e i n f l u e n c e o f e r r o r s i n t r o - duced by t h i s a p p r o x i m a t i o n , t h e r e s u l t s d i s c u s s e d l a t e r r e f e r t o t h e subdomain R o f t h e i n t e g r a t i o n r e g i o n d e f i n e d by:
C O M P A R I S O N WIT11 REFINED SOLUTION
The b o u n d a r y v a l u e pl.oblem ( 2 )
-
( 2 r ) i s s o l v e d o v e r t h e s a n e r e g i o n w i t h t h e same p a r a m e t e r s a s s p e c i f i e d i n t h e s e c t i o n" R e f i n e d S o l u t i o n " , b u t o n c o a r s e r g r i d s w i t h l a r g e r t i m e s t e p s . The same f i n i t e d i f f e r e n c e scheme d e l i n e a t e d a b o v e a n d a G a l e r k i n t y p e o f scheme a r e u s e d . The G a l e r k i n scheme i s i n t r o d u c e d p r i . - m a r i l y b e c a u s e o f t h e e a s e o f a p p l i c a t i o n when t r e a t i n g c o m p l e x
g e o m e t r i e s o f t h e b o u n d a r i e s . G a l e r k i n Scheme
The G a l e r k i n scheme employed i n t h i s s t u d y i s programmed o n t h e same g r i d g e o m e t r y u s e d f o r t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e . A G a l e r k i n scheme s i m i l a r t o t h e o n e d i s c u s s e d h e r e h a s b e e n a p p l i e d b y M e l l i ( 1 9 7 6 ) .
The e l e m e n t s o f t h e r e c t a n g u l a r g r i d r e p r e s e n t i n g t h e r e g i o n s p e c i f i e d i n " R e c t a n g u l a r S o l u t i o n " a r e d i v i d e d i n t o t r i a n g l e s by means o f d i a g o n a l s . On t h e t r i a n g u l a r e l e m e n t s t h u s o b t a i n e d t h e
s e t o f p y r a m i d a l f u n c t i o n s @ i s d e f i n e d . The c o n c e n t r a t i o n i s e x p r e s s e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h i s s e t of f u n c t i o n s :
w h e r e N i s t h e t o t a l number o f g r i d p o i n t s u s e d a n d C i s t h e j
v a l u e o f t h e c o n c e n t r a t i o n i n t h e g r i d p o i n t s .
By a p p l y i n g t n e G a l e r k i n p r i n c i p l e ( M i t c h e l l a n d W a i t ( 1 9 7 7 ) ) , t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s o b t a i n e d :
w h e r e
R
i s t h e r e g i o n o f i n t e g r a t i o n ,r
i s i t s b o u n d a r y , s i s t h e c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e a l o n gr
a n d-
n i s t h e i n w a r d u n i t v e c t o r n o r m a l t oT.
I t m u s t b e n o t e d t h a t b o u n d a r y c o n d i t i o n s( 2 a ) h a v e a l r e a d y b e e n u s e d i n d e r i v i n g e q u a t i o n ( 1 2 ) , l e a d i n g t o c a n c e l l a t i o n o f i n t e g r a l s a l o n g
r
c o n t a i n i n g v e r t i c a l d i f f u s i o n terms. A s f a r a s t h e i n t e g r a l sa r e c o n c e r n e d , t h e y a r e c o m p u t e d i n a c c o r d a n c e w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t c o n c e n t r a t i o n v a n i s h e s o n l a t e r a l b o u n d a r i e s ( t h e same a s - s u m p t i o n a s u s e d f o r t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e ) .
D i s c r e t i z a t i o n o f t h e t i m e d e r i v a t i v e b y means o f t h e C r a n k - N i c o l s o n s c h e m e l e a d s t o a s y s t e m o f l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s w h i c h i s solved b y m e a n s o f t h e S e i d e l i t e r a t i v e t e c h n i q u e
( F r o b e r g , ( 1 9 6 6 ) )
.
No s t a b i l i t y c o n d i t i o n i s r e q u i r e d b y t h i s s c h e m e .R e s u 1 ts
I n t h i s s e c t i o n , t h e s o l u t . i o n s c o m p u t e d by t h e G a l e r k i n a n d t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e s o n c o a r s e r g r i d s w i t h l a r g e r t i m e s t e p s a r e c o m p a r e d w i t h t h e o n e d i s c u s s e d i n t h e s e c t i o n
" R e f i n e d S o l u t i o n " . T h i s c o m p a r i s o n i s c a r r i e d o u t i n terms of r o o t - m e a n - s q u a r e d e v i a t i o n s o f t h e s o l u t i o n s g i v e n b y t h e t w o s c h e m e s f r o m t h e r e f i n e d s o l u t i o n . S p e c i f i c a l l y , t h e f o l l o w i n g n o r m a l i z e d v a l u e o f t h e r o o t - m e a n - s q u a r e o f t h e d e v i a t i o n s i s u s e d :
( x , z , t ) d x d z
w h e r e A i s t h e a r e a o f t h e c o n s i d e r e d s u b d o m a i n o f t h e i n t e g r a t ~ o n r e g i o n . Note t h a t t h e r o o t - n e a n - s q u a r e o f t h e d e v i a t i o n s i s n o r - m a l i z e d , a t a g i v e i l t i m e , t o t h e mean c o n c e n t r a t i o n o f t h e r e f i n e d s o l u t i o n , i n o r d e r t o o b t a i n e r r o r e s t i m a t e s a c c o u n t i n g f o r t h e i n - c r e a s i n g q u a n t i t y o f t h e t o t a l e m i t t e d p o l l u t a n t i n t h e r e g i o n c o n s i d e r e d .
The same r e g i o n o v e r w h i c h t h e r e f i n e d s o l u t i o n i s c c r n ; x t e d i s d e s c r i b e d s u c c e s s i v e l y by 6 1 x 1 3 p o i n t s a n d 31 x 7 p o i n t s . Namely, t h e i n t e g r a t i o n i s p e r f o r m e d w i t h g r i d s p a c i n g r e s p e c - t i v e l y 8 a n d 16 t i m e s l a r g e r t h a n t h e o n e u s e d i n t h e r e f i n e d s o l u t i o n . The t i m e s t e p s a r e made a s l a r g e a s p o s s i b l e w i t h o u t v i o l a t i n g t h e C o u r a n t c o n d i t i o n , w h i c h i n t h e n o r m a l i z e d s y s t e m u s e d , i m p l i e s G t
-
< Ax. T h u s , t h e t i m e s t e p s a r e r e s p e c t i v e l y 3 2 a n d 64 t i m e s l a r g e r t h a n t h e o n e u s e d f o r t h e r e f i n e d s o l u t i o n .C o n s i d e r i n g o n l y t h e subdomain R a s d e f i n e d i n " R e f i n e d S o l u t i o n "
(which c o r r e s p o n d s t o 49 x 1 3 a n d 25 x 7 p o i n t s , r e s p e c t i v e l y ) , F i g u r e 2 d e p i c t s t h e n o r m a l i z e d r o o t - m e a n - s q u a r e o f t h e d e v i a - t i o n s d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 1 3 ) f o r t h e s o u r c e l o c a t e d a t zs = 0 . 5 .
F i g u r e 2 i s c o n s t r u c t e d by e x t r a c t i n g t h e m a t r i c e s c o r r e s - p o n d i n g t o ( 2 5 x 7 ) p o i n t s from b o t h t h e r e f i n e d s o l u t i o n a n d t h e o n e o b t a i n e d w i t h 61 x 13 p o i n t s . I t shows t h e b e h a v i o r w i t h i n c r e a s i n g t i m e o f t h e n o r m a l i z e d r o o t - m e a n - s q u a r e o f t h e d e v i a - t i o n s computed o n ( 2 5 x 7 ) p o i n t s f o r b o t h t h e f i n i t e d i f f e r e n c e
( s o l i d l i n e s ) a n d t h e G a l e r k i n schemes ( d a s h e d l i n e s ) .
The G a l e r k i n scheme r e s u l t s a r e s l i g h t l y b e t t e r t h a n t h e o n e s g i v e n by t h e f i n i t e d i f f e r e n c e method. However, i f t h e
source h e i g h t is c h a n g e d t o z = 0 . 2 5 , t h e t w o schemes g i v e a p p r o x -
S
i m a t e l y t h e same r e s u l t , a s shown i n F i g u r e 3 , w h i c h a l s o i n d i c a t e s a r e v e r s e s i t u a t i o n w i t h r e s p e c t t o F i g u r e 2 , i . e . , t h e G a l e r k i n method i s n o t q u i t e a s good a s t h e f i n i t e d i f f e r e n c e method.
Both F i g u r e s 2 a n d 3 show t h a t d e c r e a s e s w i t h t i m e , which i n d i c a t e s a d e c r e a s i n g l e v e l o f errors i n t h e downwind d i r e c t i o n . T h i s i s n o t s u r p r i s i n g , s i n c e t h e g r a d i e n t s o f t h e c o n c e n t r a t i o n become s m a l l e r a s t h e p o l l u t a n t f r o n t moves away from t h e s o u r c e . The s i t u a t i o n i s c l e a r l y d e p i c t e d i n F i g u r e 4 , which d i s p l a y s t h e i s o l i n e s o f t h e p e r c e n t e r r o r
E
=
J C-
CI
X 100/CrefP r e f
f o r t h e s o u r c e l o c a t e d a t zs = 0.25 a n d a g r i d o f 61 x 13 p o i n t s . I n F i g u r e 4 , t h e l e f t s i d e r e f e r s t o t h e G a l e r k i n scheme a n d t h e r i g h t s i d e t o t h e f i n i t e d i f f e r e n c e . Note t h a t i n a c c o r d a n c e
w i t h t h e a b o v e , o n l y t h e subdomain o f (48 x 1 3 ) p o i n t s i s u t i l i z e d .
Time (X
10-9
F i g u r e 2 . T h e e v o l u t i o n o f <,e,, f o r t h e f i n i t e d i f f e r e n c e and t h e S a l e r k i n scheme f o r g r i d s o f ( 3 1 x 7) p o i n t s a n d ( 6 1 x 1 3 ) p o i n t s . I n b o t h c a s e s , t h e t i m e s t e p was t a k e n e q u a l t o Ax. S o u r c e h e i g h t = 0 . 5 .
E mean
2
360
Time ( X 1
o - ~ )
F i g u r e 3 . A s for F i g u r e 2, except that z s = 0.25.
The i s o l i n e s o f F i g u r e U i n d i c a t e t h a t t h e a r e a a £ s m a l l e r r o r s increases w i t h j . n c r e a s j . n g s i m u 1 a t i o : l t i m e . T h e C a l e r k i n method shows a r e a s o f s m a l l e r r o r s w i d e r t h a n t h e o n e s g i v e n by t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e . However, i t a l s o p r e s e n t s w i d e r a r e a s o f l a r g e r e r r o r s c l o s e t o t h e b o u n d a r i e s o f t h e i n t e g r a t i o n r e g i o n . T h i s e x p l a i n s t h e r e s u l t s o f F i g u r e 3 a n d t h e r e v e r s e s i t u a t i o n w i t h r e s p e c t t o F i g u r e 2. R e d u c i n g t h e s o u r c e h e i g h t i n c r e a s e s t h e e r r o r i n d u c e d by t h e b o u n d a r i e s o f t h e r e g i o n i n t h e G a l e r k i n m e t h o d .
The r e s u l t s o f F i g u r e s 2 , 3 , a n d 4 show t h a t a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s o l u t i o n o f t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ( 2 ) -
( 2 c ) c a n b e a c h i e v e d w i t h a l i m i t e d number o f p o i n t s a n d a l a r g e t i m e s t e p f o r a s u f f i c i e n t l y l a r g e s i m u l a t i o n t i m e . I n o r d e r t o g u a r a n t e e a s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e s o l u t i o n f o r a s m a l l s i m u l a t i o n t i m e , e s p e c i a l i y a t p o i n t s f a r f r o m t h e s o u r c e , t h e number o f g r l d p o i n t s m u s t b e i n c r e a s e d a n d t h e t i m e s t e p s h o r t e n e d . I t a p p e a r s f r o m t h e p r e s e n t e d r e s u l t s t h a t i n o r d e r t o a v o i d e r r o r s n o t much l a r g e r t h a n 1 0 % a t g r o u n d l e v e l , t h e number o f g r i d p o i n t s s h o u l d b e o f t h e o r d e r o f ( 6 1 x 1 3 ) a n d t h e t i m e s t e p c h o s e n a c c o r d i n g l y . I n r e a l i t y , t h i s i s t h e l e v e l o f d i s c r e t i z a t i o n u s e d i n a p p l i c a - t i o n s r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e ( S h i r a n d S h i e h ( 1 9 7 4 ) , Runca e t a l . ( 1 9 7 9 ) ) .
On t h e b a s i s o f t h e a b o v e r e s u l t s , t h e G a l e r k i n m e t h o d c a n n o t b e c o n s i d e r e d s u p e r i o r t o t h e f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e . I t a l s o r e q u i r e s more c o m p u t e r t i m e s i n c e t h e l i n e a r s y s t e m d e r i v e d f r o m e q u a t i o n (12) m u s t b e s o l v e d a t e v e r y t i m e s t e p . T h i s p o i n t i s n o t q u a n t i f i e d i n t h i s s t u d y . By o p t i m i z i n g t h e s o l u t i o n o f t h e s y s t e m , t h e g e o m e t r y o f t h e g r i d , a n d t h e t i m e s t e p , t h e c o m p u t e r t i m e r e q u i r e d by t h e G a l e r k i n m e t h o d c a n b e k e p t a t a n a c c e p t a b l e
l e v e l . T h i s method c a n b e e s p e c i a l l y u s e f u l i n t h o s e a p p l i c a t i o n s where t h e b o u n d a r i e s h a v e a complex g e o m e t r y .
A n a l y s i s o f F i g u r e 4 a l s o i n d i c a t e s t h a t t h e G a l e r k i n method a p p r o x i m a t e s , b e t t e r t h a n t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme, t h e con- c e n t r a t i o n f i e l d i n t h e r e g i o n c l o s e t o t h e s o u r c e , w h e r e t h e maximum g r a d i e n t s o f c o n c e n t r a t i o n o c c u r . T h i s i s b e c a u s e t h e d i s c o n t i n u i t y i n t r o d u c e d by t h e s o u r c e t e r m i s somewhat smoothed by t h e G a l e r k i n method t h r o u g h t h e i n t e g r a t i o n p r o c e s s l e a d i n g
t o e q u a t i o n (12). I n t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme, t h e s o u r c e t e r m i s t r e a t e d " e m p i r i c a l l y " by a d d i n g a c o n t r i b u t i o n t o t h e concen- t r a t i o n i n t h e p o i n t s o f t h e g r i d c l o s e t o t h e s o u r c e i n s u c h a way t h a t a t e v e r y t i m e s t e p , t h e q u a n t i t y A t i s i n j e c t e d i n t h e r e g i o n . T h i s a p p r o a c h i n t r o d u c e s l a r g e e r r o r s c l o s e t o t h e s o u r c e w h i c h , by v i r t u e o f t h e d i f f u s i o n o p e r a t o r , a r e smoothed o u t
downwind o f t h e s o u r c e . T h e r e f o r e , an improved method o f t r e a t i n g t h e s o u r c e term t o r e d u c e t h e e r r o r s c l o s e t o t h e s o u r c e i s d i s - c u s s e d n e x t .
S o u r c e Term A p p r o x i m a t i o n
Due t o t h e l i n e a r i t y o f e q u a t i o n ( I ) , t h e d i f f u s i o n p r o c e s s f r o m a p o i n t s o u r c e c a n b e s e e n a t t i m e n h t a s t h e r e s u l t o f two p r o c e s s e s . One i s t h e d i f f u s i o n p r o c e s s o f t h e c o n c e n t r a t i o n f i e l d C , t h e o t h e r i s t h e d i f f u s i o n p r o c e s s o f t h e amount o f p o l -
na t
Q i t ' d t ' r e l e a s e d by t h e s o u r c e i n t h e t i m e i n - t e r v a l A t .
The a b o v e c o n s i d e r a t i o n s u g g e s t s t r e a t i n g t h e p r o b l e m a s f o l - l o w s . L e t u s e x a m i n s , f o r t h e p u r p o s e o f simplicity, t h e one- d i m e n s i o n a l c a s e :
Then, g i v e n t h e e q u a t i o n s
ac act
n- 1 n- 1-
=-u -
w i t h C 'a t
a x + K~7
= Ca x and
w i t h
i t i s shown t h a t
where
c ' "
andc""
a r e t h e r e s p e c t i v e s o l u t i o n s t o ( 1 5 ) and ( 1 6 ) a t t i m e nAt. The sum o fc ' " + c""
by v i r t u e o f ( 1 7 ) p r o v i d e s a n ap- p r o x i m a t i o n o f C n.
N o t c o m b i n i n g ( 1 5 ) and ( 1 6 ) may a p p e a r a r t i f i c i a l a t t h i s p o i n t . But s e p a r a t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s a l l o w s o n e t o s o l v e
( 1 6 ) by a method d i f f e r e n t f r o m t h a t u s e d f o r ( 1 5 ) a n d f u r t h e r - more, e n a b l e s o n e t o e x p e r i m e n t w i t h t h e a c c u r a c y o f a p p r o x i m a t i o n t o C n o b t a i n e d t h r o u g h i n t e g r a t i n g ( 1 6 ) o n l y up t o a t i m e d i f f e r e n t by nAt. T h i s w i l l b e p r e s e n t e d l a t e r i n g r e a t e r d e t a i l .
To p r o v e r e l a t i o n ( 1 7 ) , i t i s c o n v e n i e n t t o o p e r a t e i n t h e
*
-,F o u r i e r s p a c e
.
I f C is t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f C i n x , r e l a t i o n ( 1 7 ) t a k e s t h e form:R e l a t i o n ( 1 8 ) c a n now be proved by c o n s i d e r i n g t h e f o l l o w i n g T a y l o r e x p a n s i o n s .
By making use o f e q . ( 1 4 - 1 6 ) , t h e t i m e d e r i v a t i v e s o f ( 1 9 ) - ( 2 1 )
-
c a n be r e p l a c e d by s p a c e d e r i v a t i v e s . 9 - R e c a l l i n g t h a t- aLc
241= ikC,
-
= -k C e t c . , ( 1 9 ) - ( 2 1 ) c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s :ax 2x 2
n t '
2 2 2 4 3+ -
2 (-Uk +
2 U K x k 3+
K X k ) ? ' n - l+
O ( 3 t ) ( 1 9 a )*
I n t h e F o u r i e r s p a c e , t h e t r a n s f o r m o f D i r a c ' s f u n c t i o n and a l s o I t s d e r i v a t i v e s a r e d e f i n e d .-n- 1 .-.
R e c a l l i n g t h a t = C and ~ " n - 1 = a n m i 4 t 6 , t h e s u b t r a c - t i o n o f e q u a t i o n ( 2 1 a ) from t h e sum o f ( 1 9 a ) a n d ( 2 0 a ) g i v e s :
S i n c e i t i s :
r e l a t i o n ( 1 8 ) a n d c o n s e q u e n t l y ( 1 7 ) a r e p r o v e d . E q u a t i o n s ( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) a l s o i n d i c a t e t h a t
A t
However, e x p a n s i o n o f t h e p u f f i n ( 1 6 ) o f j u s t
T
i m p l i e s t h a t t h e b a r y c e n t e r o f t h e p u f f i s moved o n l y h a l f w a y t o i t s r e a l l o c a t i o n . E q u a t i o n ( 1 7 ) i s t h e r e f o r e p r e f e r a b l e t o e q u a t i o n( ' 2 4 ) . The n u m e r i c a l t e s t s p e r f o r m e d a l s o p r o v e t h a t ( 1 7 ) l e a d s t o more a c c u r a t e r e s u l t s t h a n e q u a t i o n ( 2 4 ) .
E q u a t i o n s ( 1 5 ) - ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) p r o v i d e a n a l t e r n a t i v e way t o t r e a t t h e s o u r c e t e r m o f e q u a t i o n ( 1 ) . I n f a c t , a s s u m i n g t h a t
a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o e q u a t i o n ( 1 6 ) c a n be o b t a i n e d by r e - p l a c i n g wind and d i f f u s i v i t y w i t h t h e i r v a l u e s a t t h e s o u r c e l o - c a t i o n , C V n c a n b e p u t i n t h e f o r m ( f o r a g e n e r a l t r i - d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n ) :
( X
-
U S A t-
2Q
n-1/2 A tc ~ n = Xs )
8 ( ~ r A t ) ~ / ~ Kx K y Kz 4 K x A t
S S S S
i f t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n i s t h a t t h e b o u n d a r i e s h a v e no e f f e c t on t h e d i s p e r s i o n o f t h e p u f f f o r t h e t i m e i n t e r v a l A t
* .
(Thes u b s c r i p t s i n ( 2 5 ) i n d i c a t e s v a l u e s t a k e n a t t h e s o u r c e l o c a t i o n
E q u a t i o n ( 2 5 ) p r o v i d e s t h e c o n t r i b u t i o n s t o b e a d d e d t o t h e g r i d p o i n t s a t e v e r y t i m e s t e p . V a l u e s g i v e n by ( 2 5 ) m u s t be n o r m a l i z e d t o g u a r a n t e e t h a t a t e v e r y t i m e s t e p t h e amount
Q ( t l ) d t ' i s i n j e c t e d i n t o t h e r e g i o n .
R e s u l t s from t h e a p p l i c a t i o n o f t h e a b o v e a l g o r i t h m a r e shown i n F i g u r e s 5 a n d 6 , which compare t h e r o o t mean s q u a r e o f t h e de- v i a t i o n s g i v e n by t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme a s a p p l i e d i n F i g - u r e s 2 and 3 w i t h t h a t o b t a i n e d by t r e a t i n g t h e s o u r c e t e r m a s
i l l u s t r a t e d a b o v e . F i g u r e s 5 a n d 6 r e f e r t o a g r i d o f (31 x 7 ) p o i n t s and t o a s o u r c e l o c a t e d a t z = 0.5 and 0.25 r e s p e c t i v e l y .
S
The r e d u c t i o n o f i s g r e a t e r f o r s h o r t s i m u l a t i o n t i m e s a n d becomes n e g l i g i b l e f o r l o n g s i m u l a t i o n t i m e s , t h u s c o n f i r m i n g t h a t e r r o r s i n t h e t r e a t m e n t o f . t h e s o u r c e t e r m a r e smoothed o u t
---
*
E q u a t i o n ( 2 5 ) c a n e a s i l y b e m o d i f i e d t o a c c o u n t f o r r e f l e c t i v e b o u n d a r i e s .-
Source term approximated by a step functionI ----
Sourceterm approximated bya pseudo-analytical solution to equation (1 6) (see text) Source height = 0.5
I
I
II
IE mean
O'
24 i 2I I 1 I 1
I 44 2 i 6 288 360
Time ( X Finite Difference:
F i g u r e 5. Comparison o f cmean g i v e n by t h e f i n i t e d i f f e r e n c e ( s o l i d l i n e ) f o r a g r i d o f ( 3 1 x 7 ) p o i n t s and s o u r c e h e i g h t = 0 . 5 (same as i n F i g u r e 2 ) w i t h t h e Ernean
a c h i e v e d by t r e a t i n g t h e s o u r c e i t e m a s p r o p o s e d i n t h e t e x t ( b r o k e n l i n e )
.
-
Source term approximated by a step functione mean
---a Source term approximated by a pseudo-analytical solution to equation ( 1 6) (see text) Finite Difference:
Source height = 0.25
Time ( X 1
o - ~ )
F i g u r e 6 . Same a s f o r F i g u r e 5 , e x c e p t t h a t z s = 0.25.
By t h e d i f f u s i o n o p e r a t o r downwind o f t h e s o u r c e .
The p r o p o s e d method r a t i o n a l i z e s t h e t r e a t m e n t o f t h e s o u r c e term o f ( 1 )
.
I n o t h e r w o r d s , i t d e s c r i b e s t h e m a t h e m a t i c a l l y c o r r e c t p r o c e d u r e t o b e f o l l o w e d i n o r d e r t o a c c o u n t f o r t h e s o u r c e term i n a f i n i t e d i f f e r e n c e a l g o r i t h m . The errors i n t r o - d u c e d by t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e c o n t r i b u t i o n g i v e n by t h e i n - s t a n t a n e o u s p u f f Q n - 1 ' 2 ~ t 6(xs -
x ) (see ( 1 6 ) ) c a n b e f u r t h e r r e d u c e d by l o o k i n g f o r a more a c c u r a t e s o l u t i o n t h a n t h e o n eg i v e n b y ( 2 5 ) . However, improvement i n t h e a c c u r a c y i s p r i m a r i l y t o b e e x p e c t e d c l o s e t o t h e s o u r c e . The method c a n t h e r e f o r e s u b s t a n t i a l l y i n c r e a s e t h e a c c u r a c y o f t h e s o l u t i o n i n m u l t i p l e s o u r c e s i t u a t i o n s .
CONCLUSION
A f i n i t e d i f f e r e n c e a n d a G a l e r k i n scheme are u s e d i n o r d e r t o s o l v e n u m e r i c a l l y a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m d e s c r i b i n g a d v e c t i o n a n d d i f f u s i o n o f a i r p o l l u t a n t s f r o m a n e l e v a t e d l i n e s o u r c e i n a n a t m o s p h e r e v e r t i c a l l y l i m i t e d by a n i n v e r s i o n l a y e r .
Comparison o f t h e r e s u l t s g i v e n by t h e two schemes w i t h a n a c c u r a t e s o l u t i o n i n d i c a t e t h a t f o r b o t h m e t h o d s t h e g r i d s p a c i n g and i n t e g r a t i o n t i m e s t e p c a n n o t e x c e e d t h e l i m i t s d i s c u s s e d i n t h e t e x t , i n o r d e r t o o b t a i n a s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e n u m e r i c a l s o l u t i o n , i . e . , i n o r d e r t o a v o i d p e r c e n t e r r o r much l a r g e r t h a n 10% f o r s i g n i f i c a n t v a l u e s o f t h e s o l u t i o n .
The G a l e r k i n method d e s c r i b e s b e t t e r t h a n t h e f i n i t e d i f - f e r e n c e scheme t h e r e g i o n close t o t h e s o u r c e f o r s h o r t s i m u l a t i o n t i m e s . However, l a r g e r d e v i a t i o n s i n a c c u r a c y r e s u l t f r o m t h e G a l e r k i n s o l u t i o n t h a n f r o m t h e f i n i t e d i f f e r e n c e scheme a t p o i n t s f a r from t h e s o u r c e , p a r t i c u l a r l y a t t h e b o u n d a r i e s . The two
schemes prove equivalent for simulation time approaching the steady-state.
The errors presented by the finite difference scheme in points close to the source can be ascribed to the inaccurate estimation of the contribution given at every time step by the source term. By improving such an estimation deviation of the finite difference solution from the accurate one could be re- duced. The proposed treatment of the source term by increasing
the accuracy of the solution close to the source appears relevant to multiple source situations.
Considering that the Galerkin method requires more computer
time, for cases similar to the one discussed in this study, the
finite difference scheme is preferable. The Galerkin method,
however, offers a valid alternative for those situations which
require a complex grid geometry.
REFERENCES
B e r k o w i c z , R . , and L.P. Prahm ( 1 9 7 9 ) . G e n e r a l i z a t i o n o f K-theory f o r T u r b u l e n t D i f f u s i o n . J . Appl. Meteor., 1 8 , p p . 266-272.
C o r r s i n , S. ( 1 9 7 4 ) . L i m i t a t i o n s o f G r a d i e n t T r a n s p o r t Models i n Random Walks a n d i n T u r b u l e n c e . Advances i n G e o ~ h v s i c s
18A, pp. 25-60. Academic P r e s s , New York, U.S.A.
F r o b e r g , C .E. ( 1 9 6 6 )
.
I n t r o d u c t i o n t o N u m e r i c a l A n a l y s i s ,Addison-Wesley, London, U.K.
Lamb, R.G., and J . H . S e i n f e l d ( 1 9 7 3 )
.
M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g o f Urban A i r P o l l u t i o n . E n v i r o n m e n t a l S c i e n c e & T e c h n o l o g y 7 , pp. 253-261.L e s l i e , D.C. ( 1 9 7 3 ) . Development i n t h e T h e o r y o f T u r b u l e n c e . C l a r e n d o n P r e s s , London, U . K .
M e l l i , P. ( 1 9 7 6 )
.
An A p p l i c a t i o n of t h e G a l e r k i n Method t o t h e E u l e r i a n - L a g r a n g i a n T r e a t m e n t o f Time Dependent A d v e c t i o n a n d D i f f u s i o n of A i r P o l l u t a n t s . P r o c . I n t . Conf. i n F i n i t e E l e m e n t s f o r Water R e s o u r c e s ( P r i n c e t o n ) , P e n t e c h P r e s s , Plymouth, E n g l a n d .M i t c h e l l , A.R., a n d R. W a i t ( 1 9 7 7 ) . The F i n i t e E l e m e n t Method i n P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s . J o h n Wiley & S o n s , N e w York, U.S.A.
R i c h t m y e r , R . D . , a n d K.W. Morton ( 1 9 6 7 ) . D i f f e r e n t Methods f o r I n i t i a l - V a l u e P r o b l e m s . Wiley I n t e r s c i e n c e , N e w York, U.S.A.
Roache, J . R . ( 1 9 7 2 ) . C o m p u t a t i o n a l F l u i d Dynamics. Hermosa P u b l i s h e r s , A l b u q u e r q u e , New Mexico.
R o b i n s , A . G . (19'78)
.
P l u m e D i s p e r s i o n from Ground L e v e l S o u r c e s i n a S i m u l a t e d A t m o s p h e r i c Boundary L a y e r s . Atmos. E n v i r o n .12, pp. 1021-1032.
Runca, E . , a n d F. S a r d e i ( 1 9 7 5 )
.
N u m e r i c a l T r e a t m e n t o f Time Dependent A d v e c t i o n a n d D i f f u s i o n o f A i r P o l l u t a n t s . A t m o s . E n v i r o n . 9 , pp. 69-80.Runca, E., P. M e l l i a n d A. S p i r i t o ( 1 9 7 9 )
.
R e a l Time F o r e c a s t i n g o f A i r P o l l u t i o n E p i s o d e i n the V e n e t i a n R e g i o n . IIASAR e s e a r c h R e p o r t RR-79-11. I n t e r n a t i o n a l I n s t i t u t e f o r A p p l i e d S y s t e m s A n a l y s i s , L a x e n b u r g , A u s t r i a .
S a r d e i , F . , a n d E. Runca ( 1 9 7 5 ) . An E f f i c i e n t N u m e r i c a l Scheme f o r S o l v i n g Time Dependent P r o b l e m s o f A i r P o l l u t i o n
A d v e c t i o n a n d D i f f u s i o n . P r o c . I B M S e m i n a r o n A i r P o l l u t i o n M o d e l l i n g , I B M I t a l y Tech. R e p . , Rome, I t a l y .
S h i r , C.C. ( 1 9 7 3 ) . A P r e l i m i n a r y N u m e r i c a l S t u d y o f A t m o s p h e r i c T u r b u l e n t Flows i n the I d e a l i z e d P l a n e t a r y Boundary L a y e r . J . A t m o s . , S c i . , 30, pp. 1327-1339.
S h i r , C.C., a n d L.H. S h i e h ( 1 9 7 4 ) . A G e n e r a l i z e d Urban A i r P o l l u t i o n ~ o d e l a n d i t s A p p l i c a t i o n t o t h e S t u d y o f SO2 D i s t r i b u t i o n s i n t h e S t . L o u i s M e t r o p o l i t a n A r e a .
J . Appl. Meteor., 1 3 , pp. 185-204.
Wyngaard, J . C.
,
0 . R. C o t e a n d K . S.
R a o ( 19 74.
M o d e l i n g t h e A t m o s p h e r i c Boundary L a y e r . I n : Advances i n G e o p h y s i c s 18A, pp. 133-21 2. Academic P r e s s , N e w York, U. S.A.Yanenko, N . N . (1971 1 . The Method o f F r a c t i o n a l S t e p s . S p r i n g e r , B e r l i n .
