§4 Das quadratische Reziprozitätsgesetz

(1)

Universität Konstanz Zahlentheorie Fachbereich Mathematik und Statistik Sommersemester 2019 Markus Schweighofer

§4 Das quadratische Reziprozitätsgesetz

[Johann Carl Friedrich Gauß *1777 †1855]

4.1 Kreisteilungskörper

Proposition 4.1.1. (a) Sind a,n∈_{Z, so}

a⁽ⁿ⁾∈(_Z/(n))^× ⇐⇒ (a,n) = (1). (b) Ist n∈_{N, so}

(_Z/(n))^×={a⁽ⁿ⁾|a ∈ {0, . . . ,n−1},(a,n) = (1)}.

Beweis. (a) Seien a,n ∈ _{Z. Ist} a ∈ (_Z/(n))^×, so gibt ess ∈ _Zmitsa⁽ⁿ⁾ = 1 und daher aucht ∈_Zmitsa+tn=1. Ist umgekehrt(a,n) =1, so gibt ess,t ∈_Zmitsa+tn=1 und dahers⁽ⁿ⁾a⁽ⁿ⁾ =1.

Definition 4.1.2. Die Abbildung

ϕ:N→_N, n7→#(_Z/(n))^× heißtEulersche ϕ-Funktion.[Leonard Euler *1707 †1783]

Proposition 4.1.3. (a) ∀m,n ∈_N:((m,n) = (1) =⇒ ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n)) (b) ∀p∈_P_:∀k ∈_N_: ϕ(p^k) = (p−₁)p^k⁻¹

(c) ∀n∈_N: ϕ(n) =n∏p∈_P p|n

(1− ¹_p)

Beweis. (a) Sind m,n ∈ _Nmit (m,n) = (1), so gilt nach dem Chinesischen Restsatz Z/(mn)∼=Z/(m)×_Z/(n)und daher(_Z/(mn))^× ∼= (Z/(m))^××(_Z/(n))^×.

(b) Sindp∈ _Pundk∈_{N, so}

ϕ(p^k)^4.1.1(b)= _#{a ∈ {_{0, . . . ,}p^k−₁} | p-^a}

= #({0, . . . ,p^k−1} \ {0,p, . . . ,p^k−p}) = p^k−p^k⁻¹= (p−1)p^k⁻¹. (c) Sei n ∈ _N. Schreibe n = p^α₁¹· · ·p^α_m^m mit m ∈ _N₀, p₁, . . . ,p_m ∈ _P paarweise verschieden undα₁, . . . ,αm ∈_{N. Dann}

ϕ(n)^(a)= ϕ(p^α₁¹)· · ·ϕ(p^α_m^m)^(b)= p^α₁¹⁻¹· · ·p^α_m^m⁻¹(p₁−1)· · ·(p_m−1)

= p^α₁¹· · ·p^α_m^m

| {z }

=n

1− ¹

p₁

· · ·

1− ¹ p_m

.

(2)

Bemerkung4.1.4. SeiGeine multiplikativ geschriebene endliche zyklische Gruppe der Ordnungn. Sei a∈ GmitG=hai. Dann ist

Z/hni →G, k7→ a^k (k∈_Z)

wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus. Für allek∈_Zgilt (_k,_n) = (₁) ⇐⇒ k∈ (_Z/(_n))^× ⇐⇒ G=ha^ki. Definition 4.1.5. SeiKein Körper undζ ∈K. Man nenntζ

• eineEinheitswurzelin K, wenn∃n∈_N:ζⁿ=1,

• einen-te EinheitswurzelinK(n∈_{N), wenn}ζⁿ =1 und

• eineprimitive n-te EinheitswurzelinK (n∈_N), wennζ ∈ K^× die Ordnungnhat.

Bemerkung4.1.6. SeiKein Körper.

(a) Die Einheitswurzeln inKbilden eine Untergruppe vonK^×.

(b) Ist n ∈ N, so bilden die n-ten Einheitswurzeln in K eine zyklische Untergruppe von K^×, deren Ordnung n teilt (Xⁿ−1 hat nur endlich viele Nullstellen, aber endliche Untergruppen vonK^×sind zyklisch und nach Lagrange teilt die Ordnung eines Erzeugersn).

Beispiel4.1.7. Sein∈_{N. Die}n-ten Einheitswurzeln inCsind e^2kπ

◦ı

n (k∈ {0, . . . ,n−1}). Istk∈_{Z, so ist}e^2kπ

◦ı

n gemäß Bemerkung 4.1.4 genau dann eine primitiven-te Einheits- wurzel inC, wenn(k,n) = (1).

Proposition 4.1.8. Sei K ein Körper, p :=charK∈ {0} ∪_Pund n∈ N. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) K besitzt eine primitive n-te Einheitswurzel.

(b) K besitzt n n-te Einheitswurzeln.

(c) p-^{n und X}ⁿ−1zerfällt in K[X]. Beweis. (a)=⇒(b) ist trivial.

(b)=⇒(a) ist klar mit 4.1.6(b).

Setzt man f := Xⁿ−1, so f⁰ =nXⁿ⁻¹ und daher

f separabel ⇐⇒ f⁰ 6=₀ ⇐⇒ n6=_{0 in}K ⇐⇒ p-^n.

Hieraus (b)⇐⇒(c).

(3)

Definition 4.1.9. Sein∈N. Dann heißt Φn:=

∏

ζprimitive n-te Einheitswurzel

inC

(X−ζ)^4.1.7=

n−1

∏

k=₀ (k,n)=(₁)

X−e^2kπ

◦ı n

∈_Q[X]

[mit Galoistheorie angewandt auf den Zerfällungskörper vonXⁿ−1 überQfolgt leicht Φn ∈ _Q[X]] dasn-te Kreisteilungspolynomund sein Zerfällungskörper über Qder n-te Kreisteilungskörper.

Bemerkung 4.1.10. Sein ∈ _Nund ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in C. Dann ist Q(ζ)der Zerfällungskörper vonXⁿ−1 und damit auch der n-te Kreisteilungskörper.

Satz 4.1.11. Sei n ∈ N. Der n-te Kreisteilungskörper ist galoissch über Qmit Galoisgruppe G∼= (Z/(n))^×. Seiζ eine primitive n-te Einheitswurzel inC. Dann

G→^∼⁼ (_Z/(n))^×, ϕ7→k falls k ∈_Zmitϕ(ζ) =ζ^k.

Beweis. Als Zerfällungskörper vonXⁿ−1 überQ ist dern-te Kreisteilungskörper galoissch überQ. Wendet man 4.1.4 auf die Gruppe dern-ten Einheitswurzeln inCan, so sieht man, dass die Abbildung wohldefiniert ist. Sie ist auch ein Gruppenhomo- morphismus, denn sind ϕ,ψ ∈ G und k,` ∈ _Z mit ϕ(ζ) = ζ^k und ψ(ζ) = ζ^`, so (ϕψ)(ζ) = ϕ(ψ(ζ)) = ϕ(ζ^`) = (ϕ(ζ))^` = (ζ^k)^` = ζ^k^`. Die Abbildung ist offensichtlich auch injektiv, womit #G≤ ϕ(n)folgt. Für die Surjektivität zeigen wir #G≥ ϕ(n). Mit Galoistheorie gilt [_Q(ζ) : Q] = #G. Es ist daher [_Q(ζ) : Q] ≥ ϕ(n)zu zeigen. Setze f :=irr_Q(ζ)∈_Q[X]. Zu zeigen: degf ≥ ϕ(n). Es reicht zu zeigen, dass jede primitive n-te Einheitswurzel in C eine Nullstelle von f ist. Man überlegt sich, dass es wegen 4.1.4 reicht zu zeigen, dass für jede primitiven-te EinheitswurzelzinCund alle p∈_P mitp-ⁿ^gilt

f(z) =0 =⇒ f(z^p) =0.

Sei hierzuz ∈ _Cund p ∈_P mit f(z) =0 und f(z^p)6=0. Zu zeigen ist p |n. Schreibe Xⁿ−1= f gmit f,g ∈ _Q[X] normiert. Nach dem Lemma von Gauß gilt f,g ∈ _Z[X]. Wegen f(z^p) 6= 0 und (f g)(z^p) = 0 folgt g(z^p) = 0, das heißt z ist Nullstelle von g(X^p) und es gibt h ∈ _Q[X] mit g(X^p) = f h. Wieder mit dem Lemma von Gauß sieht man h ∈ _Z[X]. Reduziere nun die Koeffizienten modulo p (das heißt, wende den RinghomomorphismusZ[X] → _F_p[X], p 7→ p mit X = X an) und benutze den FrobeniushomomorphismusFp[X]→_F_p[X], um Xⁿ−1= f gund

g^p =g(X^p) = g(X^p) = f h= f ·h

zu erhalten. Wegen f | g^p ist Xⁿ−1 nicht separabel über Fp. Wegen (Xⁿ−1)⁰ = nXⁿ⁻¹ ∈_F_p[X]gilt dann abern=0 inFp[X], das heißt p |nwie gewünscht.

Korollar 4.1.12. Sei n∈_N. Der n-te Kreisteilungskörper ist ein Zahlkörper vom Gradϕ(n). Korollar 4.1.13. Sei n∈N. Dann istΦnirreduzibel inQ[X]und es giltΦn∈ _Z[X].

(4)

Beweis. Bezeichneζ einen-te primitive Einheitswurzel inC. Nach 4.1.12 gilt [_Q(ζ):Q] = ϕ(n) =deg(_Φ_n).

Also istΦn =_irr_Q(ζ). Mit 2.1.14 folgt Φn∈_Z[X]_{, da}ζ ganz überZist.

Bemerkung4.1.14. Die für alle n∈_Ngültige Formel Xⁿ−1=

∏

ζ∈_C ζⁿ=₁

(X−ζ) =

∏

d∈_N d|n

∏

ζprimitive d-te Einheitswurzel

(X−ζ) =

∏

d∈_N d|n

Φd

liefert ein rekursives Berechnungsverfahren fürΦn. Zum Beispiel gilt Φ12= ^X

12−1 Φ1Φ2Φ3Φ4Φ6

= ^X

12−1

(X⁶−1)_Φ₄ = ^X

6+1 Φ4

und Φ4= ^X

4−1 Φ1Φ2

= ^X

4−1

X²−1 = X²+1.

AlsoΦ12 = ^X⁶⁺¹

X²+1 =X⁴−X²+1.

Bemerkung4.1.15. Aus 4.1.14 folgt leicht Φn(0) =1 für allen∈_Nmitn≥2.

4.2 Zahlringe von Kreisteilungskörpern

Lemma 4.2.1. Sei p ∈ _{P, m} ∈ _{N, n}:= p^m,ζ eine primitive n-te Einheitswurzel inC und K:=_Q(ζ). Dann gilt:

(a) d_K_|_Q(1,ζ, . . . ,ζ^ϕ⁽ⁿ⁾⁻¹) = (−1)^ϕ⁽ⁿ⁾⁽^ϕ²⁽ⁿ⁾⁻¹⁾p^p^m⁻¹⁽^m⁽^p⁻¹⁾⁻¹⁾

(b) Für alle weiteren primitiven n-te Einheitswurzelnξ inCgilt ¹₁⁻₋^ξ_ζ ∈_O_K^×. (c) pOK = (1−ζ)^ϕ⁽ⁿ⁾_O_K

(d) 1−ζist prim inOK. (e) OK/(1−ζ)_O_k ∼=Fp

Beweis. (a) Nach 2.4.22 gilt d_K_|_Q(1, . . . ,ζ^ϕ⁽ⁿ⁾⁻¹) = (−1)^ϕ⁽ⁿ⁾⁽^ϕ²⁽ⁿ⁾⁻¹⁾N_K_|_Q(_Φ⁰_n(ζ)). Nach 4.1.14 giltXⁿ−₁=_Φ_n·(X^p^m⁻¹−₁). Ableiten liefert

nXⁿ⁻¹ =_Φ⁰_n·(X^p^m⁻¹−1) +_Φ_n·(p^m⁻¹X^p^m⁻¹⁻¹). Setzt man hierζ ein, so erhält mannζⁿ⁻¹= (_Φ⁰_n(ζ))(ζ^p^m⁻¹−1), also

(∗) (_Φ⁰_n(ζ))ζ(z−1) =n,

(5)

wobeiz :=ζ^p^m⁻¹ eine primitive p-te Einheitswurzel ist. Wegen irr_Q(z) =_Φ_p ^4.1.14= ^X

p−1

X−1 = X^p⁻¹+X^p⁻²+. . .+1 und irr_Q(z−1) =_Φ_p(X+1)

gilt nach 2.4.5N_K_|_Q(z−1) = (−1)^ϕ⁽ⁿ⁾p^[^K:Q⁽^z⁻¹^)]. Weiter giltN_K_|_Q(ζ)^2.4.5= (−1)^ϕ⁽ⁿ⁾_Φ_n(0)^4.1.15= (−1)^ϕ⁽ⁿ⁾. Wendet man die Norm auf beide Seiten von(∗)an, so folgt also

(∗∗) N_K_|_Q(_Φ⁰_n(ζ))p^[^K:Q⁽^z^)] =n^[^K:Q^]. Mitϕ(n) = [K:Q] = [K:Q(z)][_Q(z):Q] = [K:Q(z)]ϕ(p)und

ϕ(n) =ϕ(p^m)^4.1.3(b)= (p−1)p^m⁻^{1 4.1.3(b)}= ϕ(p)p^m⁻¹ folgt[K:Q(z)] = p^m⁻¹. Aus(∗∗)folgt daher

N_K_|_Q(_Φ⁰_n(ζ)) =p^mϕ⁽ⁿ⁾⁻^p^m⁻¹ = p^m⁽^p⁻¹⁾^p^m⁻¹⁻^p^m⁻¹ = p^p^m⁻¹⁽^m⁽^p⁻¹⁾⁻¹⁾.

(b) Sei ξ eine primitive n-te Einheitswurzel in C. Nach Bemerkung 4.1.4 kann man dannξ =ζ^k für eink ∈ {0, . . . ,n−1}mit(k,n) = (1)schreiben. Dann

1−ξ

1−ζ = ¹−ζ^k

1−ζ =ζ^k⁻¹+. . .+1∈_O_K. Analog folgt ¹₁⁻₋^ζ_ξ ∈_O_K.

(c) Es gilt

Φn4.1.14

= ^X

n−1

X^p^m⁻¹−1 = X^p^m⁻¹⁽^p⁻¹⁾+. . .+X^p^m⁻¹ +1 und daher

p=_Φ_n(₁) =

n−1 k

∏

=0 (k,n)=(1)

(₁−ζ^k)_, woraus mit (b) das Gewünschte folgt.

(d) folgt aus 2.7.6, denn wäre 1−ζ nicht prim inOK, so würde eine Primidealzerle- gung von(1−ζ)_O_K inOK wegen (c) zeigen, dasse_pZ(_O_K)> ϕ(n) = [K:Q].

(e) folgt aus (c) und (d) wieder mit 2.7.6.

Satz 4.2.2. Sei p∈_{P, m}∈_{N, n}:= p^m, K der n-te Kreisteilungskörper undζ eine primitive n-te Einheitswurzel inC. Dann

OK =_Z[ζ] =_Z⊕_Zζ⊕. . .⊕_Zζ^ϕ⁽ⁿ⁾⁻¹ und

d(_O_K) = (−1)^ϕ⁽ⁿ⁾⁽^ϕ²⁽ⁿ⁾⁻¹⁾p^p^m⁻¹⁽^m⁽^p⁻¹⁾⁻¹⁾.

(6)

Beweis. Gemäß 3.1.5 ist Z[ζ] eine multiplikatives Gitter in K. Dessen Diskriminante d(_Z[ζ])[→3.1.5] ist nach 4.2.1(a) eine Potenz von p und daher nach 3.1.7 auch[_O_K : Z[ζ]]. Es gibt also k∈_N₀ mitp^kOK ⊆_Z[ζ]⊆_O_K. Setzt man

q:= (₁−ζ)_O_K ^4.2.1(d)∈ M_O_K,

so gilt nach 4.2.1(e) OK/q ∼= _F_p ∼= _{Z/pZ, also} _O_K = _Z+q und daher erst recht OK = _Z[ζ] +q. Durch Multiplizieren mit(1−ζ)^` ergibt sichq^` = (1−ζ)^`_Z[ζ] +q^`+¹ für alle ` ∈ _N₀ und durch Induktion OK = _Z[ζ] +q^` für alle ` ∈ _N₀. Speziell für

`:=kϕ(n)folgt laut 4.2.1(c)

OK=_Z[ζ] + ((1−ζ)^ϕ⁽ⁿ⁾)^k_O_K =_Z[ζ] +p^kOK =_Z[ζ].

Schließlich istZ[ζ] =_Z⊕_Zζ⊕_{. . .}⊕_Zζ^ϕ⁽ⁿ⁾⁻¹ offensichtlich und daraus folgt gemäß Definition 3.1.6 die zweite Behauptung aus 4.2.1(a).

Korollar 4.2.3. Sei p eine ungerade Primzahl und K der p-te Kreisteilungskörper. Dann gibt es genau einen Zwischenkörper E von K|_Qmit[E:Q] =2und zwar gilt

E=_Q q

(−1)^p⁻²¹p

.

Beweis. Nach 4.1.3(b) giltϕ(p) =p−1. Daher gilt nach Satz 4.2.2 d(_O_K) = (−1)⁽^p⁻¹⁾⁽²^p⁻²⁾p^p⁻²

und dies muss wegen Proposition 2.4.21 ein Quadrat in K sein, weil K|_Q normal ist.

Da p−1 gerade und p−2 ungerade ist, gilt(−1)⁽^p⁻¹⁾⁽²^p⁻²⁾ = ((−1)^p⁻²¹)^p⁻² = (−1)^p⁻²¹. Dap−3 gerade ist, ist weiterp^p⁻³ein Quadrat inK. Insgesamt ist daher(−₁)^p⁻²¹pein Quadrat inKund somit

E:=_Q q

(−1)^p⁻²¹p

ein Unterkörper von K. Wegen (−1)^p⁻²¹p ∈ ^gilt [E : Q] = 2 [→ 3.2.4]. Dass E der einzige Zwischenkörper vonK|_Qvom Grad 2 überQist, folgt leicht aus Galoistheorie, denn die Galoisgruppe von K|_Q besitzt genau eine Untergruppe vom Index 2. In der Tat: Diese Galoisgruppe ist nach 4.1.11 isomorph zuF^×_p und daher zyklisch (endliche Untergruppen von multiplikativen Gruppen von Körpern sind zyklisch). Aber endliche zyklische Gruppen besitzen zu jedem Teiler ihrer Gruppenordnung genau eine Untergruppe vom entsprechenden Index, wie man sich sofort überlegt.

4.3 Das Legendre-Symbol

[Adrien-Marie Legendre *1752†1833]

Definition 4.3.1. Seiena,n∈ Z. Wir nennenaeinenquadratischen Rest modulo n, wenn es eink∈ _Zgibt mita ≡₍_n₎ k². Andernfalls nennen wira einenquadratischen Nichtrest modulo n.

(7)

Definition 4.3.2. Seia∈_Zund p ∈_Peine ungerade Primzahl. Dann ist dasLegendre- Symbol(^a_p)durch

a p

:=







1 fallsaein quadratischer Rest modulo pist und p-^a, 0 falls p|a,

−1 fallsaein quadratischer Nichtrest modulo pist definiert.

Satz 4.3.3. Sei p∈_Peine ungerade Primzahl. Dann gilt:

(a) (^a_p) = (^b_p)für alle a,b∈_Zmit a≡₍_p₎b.

(b) (^a_p)≡₍_p₎a^p⁻²¹ für alle a∈_Z(„Legendres Charakterisierung“).

(c) (^a_p)(^b_p) = (^ab_p)für alle a,b∈_Z(„Multiplikativität“).

(d) (⁻_p¹) =

(1 falls p≡₍₄₎ 1

−₁ falls p≡₍₄₎ ₃

(„erster Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz“) (e) (²_p) =

(1 falls p≡₍₈₎ 1oder p≡₍₈₎7

−1 falls p≡₍₈₎ 3oder p≡₍₈₎5

(„zweiter Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz“) Beweis. (a) ist trivial.

(b) Es reicht zu zeigen, dass die Untergruppe (_F^×_p)² := {a² | a ∈ _F^×_p} von F^×_p gleich A := {a ∈ _F^×_p | a^p⁻²¹ = 1} ist, wobei die Inklusion (_F^×_p)² ⊆ A klar ist. Of- fenbar ist der GruppenhomomorphismusF^×_p → (_F^×_p)², x 7→ x² surjektiv mit genau zweielementigem Kern {−1, 1}. Also #(_F^×_p)² = ^p⁻₂¹. Wegen 4.1.6(b) gilt andererseits

#A≤ ^p⁻₂¹_{. Es folgt} A= (_F^×_p)² wie gewünscht.

(c) und (d) folgen leicht aus (b) mit Hilfe der trivialen Tatsache, dass zwei Elemente von{−1, 0, 1} ⊆_Zgleich sind, wenn sie modulo(p)kongruent sind.

(e) beweisen wir wieder mit (b) durch Rechnen im Ring A := _Z[^◦ı]_/(p)_{, in den} _F_p kanonisch eingebettet ist. Wegen p=0 in Agilt für allea,b∈ A

(∗) (a+b)^p =a^p+b^p. Bezeichnei∈ Adie Kongruenzklasse von^◦ı= √

−1 modulo(p). Man sieht leicht (∗∗) a+ib=0 ⇐⇒ (a=0 &b=0)

(8)

für allea,b∈ A. Nun rechnen wir

1+i^p=1^p+i^p ^(∗)= (1+i)^p = (1+i)((1+i)²)^p⁻²¹ = (1+i)(2i)^p⁻²¹ = (1+i)i^p⁻²¹2^p⁻²¹. Im Folgenden benutzen wir, dass wegeni⁴ = 1 gilt i^k² = i²^` für alle geraden k,` ∈ _Z mitk ≡₍₈₎ `.

Fall 1: p≡₍₈₎1

Dann 1+i= (1+i)i¹⁻²¹2^p⁻²¹ = (1+i)2^p⁻²¹ und daher 2^p⁻²¹ =1 inFp. Fall 2: p≡₍₈₎3

Dann 1−i=1+i³ = (1+i)i³⁻²¹2^p⁻²¹ = (i−1)2^p⁻²¹ und daher 2^p⁻²¹ =−1 inFp. Fall 3: p≡₍₈₎5

Dann 1+i=1+i⁵ = (1+i)i⁵⁻²¹2^p⁻²¹ = (−1−i)2^p⁻²¹ und daher 2^p⁻²¹ =−1 inFp. Fall 4: p≡₍₈₎7

Dann 1−i=₁+i⁷ = (₁+i)i⁷⁻²¹2^p⁻²¹ = (₁−i)₂^p⁻²¹ und daher 2^p⁻²¹ =_{1 in}_F_p_. Lemma 4.3.4. Sei p eine ungerade Primzahl und K der p-te Kreisteilungskörper. Sei weiter q eine Primzahl ungleich p. Dann gilt:

(a) Der Verzweigungsindex e_qZ(_O_K)des Primideals qZvonZinOK[→2.7.6]ist1.

(b) Der Trägheitsindex f_q_Z(_O_K) des Primideals qZ von Z in OK [→ _2.7.6] ist gleich der Ordnung von q inF^×_p.

Beweis. Wähle eine primitivep-te Einheitswurzelζ inC[→4.1.7].

(a) Es istζ natürlich ganz über Zund gemäß 4.1.13 ist Φp ∈ _Z[X] das Minimal- polynom von ζ über Q. Nach Satz 3.2.2 ist zu zeigen, dass Φp in Fq[X]ein Produkt von paarweisen verschiedenen normierten irreduziblen Polynomen ist. Dazu reicht es zu zeigen, dassΦp separabel ist. DaΦp inZ[X]und damitΦp inFq[X]ein Teiler von X^p−1 ist [→ 4.1.14], reicht es dann zu zeigen, dass X^p−1 ∈ _F_q[X] separabel ist.

Wegenq- p, folgt dies aber aus Proposition 4.1.8.

(b) Um m := f_q_Z(_O_K) zu bestimmen, wählen wir ein Primideal q von OK mit (q)⊆q[→2.7.5(b)]. Dann giltm= [(_O_K/q):Fq]nach 2.7.6 und 2.7.5(a). Damendlich ist oder auch wegen 3.2.1, ist OK/q ein endlicher Körper. Es gilt also OK/q = _F_q^m. Wegen Satz 4.2.2 gilt andererseitsOK/q=_F_q[ζ]. AlsoFq^m =_F_q[ζ].

Hilfsbehauptung:ζ ist ein Element von (_O_K/q)^× der Ordnung p

Begründung: Wegen ζ^p = _{1 in} _O_K _gilt ζ^p = _{1 in} _O_K_/q. Daher teilt die Ordnung vonζ in(_O_K/q)^×die Primzahl p, ist also gleich 1 oder p. Wäre die Ordnung 1, dann ζ =1 inOK/q, das heißt 1−ζ ∈qund daher erst recht(1−ζ)^p⁻¹ ∈qund somit nach Lemma 4.2.1(c) auch p∈q, was wegenq∈qund p6=qnicht möglich ist.

Der Frobenius-Automorphismus

ϕ: Fq^m →_F_q^m, x 7→x^q

(9)

hat bekanntlich die Ordnung m in der Automorphismengruppe der Körpererweite- rungFq^m|_F_q. Daher ist zu zeigen, dass für allek∈_Zgilt

q^k =1 inF^×_p ⇐⇒ ϕ^k =id_F_qm. WegenFq^m =_F_q[ζ]kann man das umschreiben zu

q^k =1 inF^×_p ⇐⇒ ζ^q

k

=ζ, was sofort aus der Hilfsbehauptung folgt.

Lemma 4.3.5. Sei p ∈ _P ungerade und K der p-te Kreisteilungskörper. Sei weiter q eine Primzahl ungleich p und E der eindeutig bestimmte Zwischenkörper von K|_Qmit[E:Q] =2 [→4.2.3].

(a) Ist q in E zerlegt[→2.1.17, 3.2.4], so ist#Q gerade für Q:= {q∈ M_O_K |q∩_Z= _qZ}. (b) Ist q in E träge[→2.1.17, 3.2.4], so ist f_qZ(_O_K)gerade.

Beweis. (a) Wählep₁,p₂ ∈ M_O_E mitp₁6=p₂und qZ=p₁p₂. Setze Q_i :={q∈ M_O_K |q∩_O_E =p_i}^2.7.5(a)= {q∈ M_O_K |p_i ⊆q}

für i ∈ {1, 2}. Man zeigt dann leicht Q = Q₁∪^. Q₂, so dass es reicht, #Q₁ = #Q₂ zu zeigen. Nach 2.7.5(b) ist dann weder Q₁ noch Q₂ leer. Wähle dementsprechend q₁ ∈ Q₁ und q₂ ∈ Q2. Wegenq₁,q₂ ∈ Q, gibt es nach 2.7.6 einen Automorphismus ϕ der KörpererweiterungK|_Qmit ϕ(q₁) =q₂. Wegen ϕ(_O_E) = _O_E gilt dann ϕ(p₁) =p₂ und ϕ(q)∈Q₂ für alleq∈ Q₁sowie ϕ⁻¹(q)∈Q₁ für alleq∈ Q₂.

(b) Sei q in E träge. Dann [_O_E/qOE : Z/qZ] = 2 und daher ist e_q_Z(_O_K) = e_Z(_qO_E) = [_O_K/rOE : OE/qOE][_O_E_/qO_E : Z/qZ] gerade, wobei r ∈ M_O_K mitr∩E = qOE beliebig gewählt ist.

Lemma 4.3.6. Seien p,q∈_Pungerade mit p6=q und setze p^∗ := (−1)^p⁻²¹p.

(a) (^p_q^∗) =1 =⇒ (^q_p) =1 (b)

(^p_q^∗) =−1 &p≡₍₄₎3

=⇒ (^q_p) =−1

Beweis. Bezeichne K den p-ten Kreisteilungskörper und E := _Q(√

p^∗) den eindeutig bestimmten Zwischenkörper von K|_Q mit [E : Q] = 2 [→ 4.2.3]. Weiter setzen wir Q:= {q∈ M_O_K |q∩_Z=qZ}und benutzen die Gleichung

(∗) f_qZ(_O_K)#Q= p−1, die aus Lemma 4.3.4 und aus[K :Q] = ϕ(p) = p−1 folgt.

(10)

(a) Gelte (^p_q^∗) = 1. Gemäß Fall 1.1.2 in 3.2.4 ist dann q zerlegt in E. Dann ist #Q gerade nach Lemma 4.3.5(a). Daher ist f_qZ(_O_K) wegen (∗) ein Teiler von ^p⁻₂¹ und nach Lemma 4.3.4(b) daher q^p⁻²¹ ≡₍_p₎ 1. Aus Legendres Charakterisierung 4.3.3(b) folgt daher(^q_p) =1.

(b) Gelte(^p_q^∗) =−1 undp≡₍₄₎3. Gemäß Fall 1.2 in 3.2.4 ist dannqträge inE. Dann ist f_qZ(_O_K)gerade nach Lemma 4.3.5(b). Nach Lemma 4.3.4(b) ist damit die Ordnung vonqin F^×_p gerade. Wegen p ≡₍₄₎ 3 ist ^p⁻₂¹ ungerade und daher q^p⁻²¹ 6= 1 inF^×_p. Aus Legendres Charakterisierung 4.3.3(b) folgt dann(^q_p) =−1.

Satz 4.3.7(Quadratisches Reziprozitätsgesetz). Seien p und q verschiedene ungerade Prim- zahlen. Dann gilt

p q

q p

=

(−1 falls p≡₍₄₎ q≡₍₄₎3, 1 sonst.

Beweis. Setze p^∗ := (−1)^p⁻²¹ und q^∗ := (−1)^q⁻²¹. Ist p ≡₍₄₎ q ≡₍₄₎ 1, so gilt p = p^∗ sowieq=q^∗ und die Behauptung des Satzes folgt durch zweimalige Anwendung von Lemma 4.3.6(a). Da die Aussage des Satzes symmetrisch in p und q ist, können wir also im folgenden Œ

p≡₍₄₎3

voraussetzen. Aus Lemma 4.3.6 folgt daher(^p_q^∗) = (^q_p). Es folgt p

q q

p

4.3.3(c)

=

(−1)^p⁻²¹ q

p^∗ q

q p

=

(−1)^p⁻²¹ q

. Wegen p≡₍₄₎3 ist ^p⁻₂¹ ungerade und daher

(−1)^p⁻²¹ q

= −1

q

4.3.3(d)

=

(1 fallsq≡₍₄₎ 1

−1 fallsq≡₍₄₎ 3 wie behauptet.

Beispiel4.3.8. 221 ein quadratischer Nichtrest modulo der Primzahl 383 [→4.3.1]. Um dies zu zeigen, berechnen wir zunächst die Primfaktorzerlegung 221=13·17 von 221 und benutzen dann das quadratische Reziprozitätsgesetz flankiert von 4.3.3(a)(c)(d)(e):

221 383

= 13

383 17

383

= 383

13

383 17

= 6

13 9

17

= 6

13

= 2

13 3

13

=− 3

13

=− 13

3

=− 1

3

=−1.