Ubungsblatt 9 zur Linearen Algebra I ¨

Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik

Ubungsblatt 9 zur Linearen Algebra I ¨

Wintersemester 2005/2006

Aufgabe 1:SeiU := Span{(0,1,−1),(1,2,3)} ⊆R³undv := (1,8,2)∈ R³. Finden Sie ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbestimmten, des- sen L¨osungsmenge v+U ist.

Aufgabe 2:Seienv₁, . . . , v_m linear unabh¨angige Vektoren imRⁿ. Gibt es f¨ur alle w₁, . . . , w_m ∈ Rⁿ einen R–Vektorraumhomomorphismus f : Rⁿ → Rⁿ mit f(v₁) = w₁, . . . , f(v_m) = w_m? Geben Sie einen Beweis an oder finden Sie ein Gegenbeispiel.

Aufgabe 3:Es seiV einK-Vektorraum und f :V →V ein Endomor- phismus mit f ◦f =f.

(a) Geben Sie ein nichttriviales Beispiel f¨ur ein solches f.

(b) Zeigen Sie V = (Kern f)⊕(Bild f).

(c) Es sei g := id_V −f. Zeigen Sie g ◦g = g, Kern f = Bild g und Kern g = Bildf.

Aufgabe 4: Es bezeichne M_K(n) (n ≥1) den Vektorraum der n×n- Matrizen ¨uber dem K¨orper K mit der ¨ublichen Addition

(a_ij)_1≤i,j≤n+ (b_ij)_1≤i,j≤n:= (a_ij+b_ij)_1≤i,j≤n (a_ij, b_ij ∈K) und Multiplikation mit Skalaren

λ(a_ij)1≤i,j≤n := (λa_ij)1≤i,j≤n (λ, a_ij ∈K).

Eine Matrix A= (a_ij)1≤i,j≤n∈M_K(n) heißemagisches Quadrat, wenn alle ihre SpaltensummenPn

i=1a_ij und ZeilensummenPn

j=1a_ij uberein-¨ stimmen. Zeigen Sie:

(a) Die Menge M der magischen Quadrate bildet einen Untervektor- raum von M_K(n).

(b) Es gibt ein d∈N und paarweise verschiedene Paare (i₁, j₁), . . . ,(i_d, j_d) von Zahlen i_k, j_k∈ {1, . . . , n}, so daß

ϕ:M →K^d: (a_ij)1≤i,j≤n7→(a_i1j1, . . . , a_idjd) ein K-Vektorraumisomorphismus ist.

Bestimmen Sie

(c) d und (i₁, j₁), . . . ,(i_d, j_d) wie in (b),

(d) die Dimension des Vektorraums M der magischen Quadrate.

Hinweis:Nat¨urlich hat man mit (c) auch (b) gel¨ost. ¨Uberlegen Sie sich trotzdem, daß die Aussage (b) sofort aus Aufgabe 4 von Blatt 8 folgt.

Abgabe bis Freitag, den 23. Dezember, vor Beginn der Vorlesung.