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Matr-Nr. Gruppe
Algebra – Blatt 12
Abgabe am 4.7.2018 bis 10:30 Uhr
1 2 3 Σ
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Wie üblich sind alle Antworten zu begründen/beweisen.
Aufgabe 1 (5 Punkte):
Welche der folgenden Behauptungen gelten für alle KörpererweiterungenL/K und alle Elementea, b∈L?
(a) Das Elementaist algebraisch über Kgenau dann, wenn a2 algebraisch über Kist.
(b) Haben sowohlaals auchbGrad kleiner gleichdüberK (für eind∈N), so ist auch der Grad vona+b überK höchstensd.
(c) Istaalgebraisch überK undbtranszendent überK, so ista+btranszendent überK.
(d) Istaalgebraisch, so zerfälltMiPoa/K inK(a)[X]in Linearfaktoren.
(e) Istaalgebraisch, so istMiPoa/K in K(a)[X]nicht irreduzibel.
Aufgabe 2 (4 Punkte):
(a) Seif(X) :=X2+ ¯2∈F5[X]. Zeigen Sie:f ist (inF5[X]) irreduzibel.
Hinweis: Probieren Sie einfach alle Elemente vonF5durch, um mögliche Nullstellen von f zu finden.
(b) IstK:=F5[X]/(f)ein Körper? Wie viele Elemente hatK? IstK als Ring isomorph zuZ/nZfür einn? (Wenn ja, was istn?)
(c) Seipjetzt eine beliebige Primzahl≥3. Zeigen Sie, dass es inFp ein Element ¯agibt, das kein Quadrat ist (d. h.
so dass es kein¯b∈Fp gibt mit¯b2= ¯a).
Hinweis: Eine Möglichkeit: Zeigen Sie, dass die AbbildungFp →Fp, x7→x2 nicht injektiv und damit auch nicht surjektiv ist.
(d) Zeigen Sie: Für jede Primzahl≥3 gibt es einen Körper mitp2vielen Elementen.
Aufgabe 3 (1+1+2+1+1+1 Punkte):
Im Folgenden seipeine Primzahl.
Im Folgenden verwenden wir Kongruenz-Notation für Polynome: Sind g1, g2 ∈ Z[X], so bedeutet „g1 ≡ g2 modp“, dassg1−g2=p·hist für einh∈Z[X].
(a) Zeigen Sie: Sind g1, g2∈Z[X], so ist(g1+g2)p≡gp1+gp2 modp.
Hinweis: Istpprim und1≤k < p, so ist der Binomialkoeffizient pk
=k!(p−k)!p! durchpteilbar.
(b) Von nun an seif(X) := 1 +Xp+· · ·+Xp(p−1)undg(Y) :=f(Y + 1). Wir schreibeng(Y) =Pp(p−1) i=0 aiYi. Bestimmen Siea0 undap(p−1).
(c) Zeigen Sie: g(Y)·Yp≡Yp2 modp.
Hinweis: Hier sind ein paar nützliche Zwischenschritte, die Sie zeigen und verwenden können:
fürX:=Y + 1istYp≡Xp−1 modp; f(X)(Xp−1) =Xp2−1; Xp2−1≡(X−1)p2 modp (d) Zeigen Sie, dassf irreduzibel ist.
Hinweis: Verwenden Sie die vorigen Aufgabenteile, um zu prüfen, dass sich das Eisenstein-Kriterium auf g an- wenden lässt.
(e) Zeigen Sie: Ist ζeine primitivep2-te Einheitswurzel, so istf das Minimalpolynom vonζ.
(f) Folgern Sie: Istp≥3, so ist das regelmäßigep2-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Vorlesungswebseite:http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Alg_SS18/
