Höhere Mathematik 3: Stochastik (HM II.2 für MB, II für AP) Prof. Dr. I. Veseli´c

Höhere Mathematik 3: Stochastik (HM II.2 für MB, II für AP) Prof. Dr. I. Veseli´c

Übungsblatt 7

28.11.2011

http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/stochastik/teaching/StochastikMBWS2011/index.de.php

1. Der Durchmesser gedrehter Wellen sei bei einer bestimmten Maschineneinstellung eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert µ = 75 mm und der Standardabweichung σ = 0.5 mm. Eine Welle mit einem Durchmesser kleiner als 74 mm ist Ausschuss. Ist der Durchmesser größer als 75.5 mm, dann muss die Welle nachgearbeitet werden.

(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Welle nach der ersten Bearbeitung Ausschuss ist.

(b) Es werden 150 Wellen produziert. Wie viele Wellen lassen sich im Mittel sofort verwen- den?

(c) Um welchen Wert wäre die Maschineneinstellung für den Mittelwert zu korrigieren, damit nicht mehr als 1% der Wellen Ausschuss sind?

2. Es sei X gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Bestimmen Sie für λ > 0 die Verteilung der Zufallsgröße Y = −λ

ln(1 − X).

3. In einer Telefonzentrale kommen montags in der Zeit von 8

bis 9

Uhr durchschnittlich 60 Anrufe an.

(a) Die Telefonzentrale war an einem Montag erst ab 8

Uhr besetzt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Zeit bereits angerufen wurde.

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen zwei aufeinanderfolgenden An- rufen mehr als 4 Minuten vergehen?

4. Es seien X

, X

und X

unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen mit X

∼ N (100, 4), X

∼ N (100, 4) und X

∼ N (120, 9). Bestimmen Sie für die Zufallsgrößen

Y

= X

+ X

+ X

und Y

= 2 · X

+ X

(a) die Erwartungswerte und die Varianzen, (b) die Verteilungen,

(c) die Wahrscheinlichkeiten P (|Y

− E Y

| ≤ 12) für i ∈ {1, 2}.

5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis A bei vier unabhängigen Versuchen mindes-

tens einmal eintritt, sei 0.5904. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Ereignis

mindestens zweimal eintritt, wenn das Eintreten von A in jedem Versuch gleichwarhscheinlich

ist?