2. Sätze von Castigliano und Menabrea

(1)

2. Sätze von Castigliano und Menabrea

●

Aus der Gleichheit von äußerer Arbeit und Formände-

rungsenergie kann die Verschiebung am Lastangriffspunkt berechnet werden, wenn an der Struktur nur eine Last

angreift.

●

Die Sätze von Castigliano sind eine Erweiterung auf

Strukturen, an denen mehrere Lasten angreifen.

(2)

2. Sätze von Castigliano und Menabrea

2.1 Grundlagen

2.2 Beispiele

2.3 Rahmen

(3)

2.1 Grundlagen

●

Betrachtet wird ein elasti- scher Körper, an dem

Kräfte und Momente an- greifen:

– Für die Verschiebungen bzw. Verdrehungen wird der gleiche Richtungssinn gewählt wie für die Kräfte bzw. Momente.

F₁

F₂

Fk

Ml

u₁

u₂ u_k

ϕ_l

(4)

2.1 Grundlagen

●

Der erste Satz von Castigliano:

– Die Arbeit von Kräften und Momenten ist definiert durch das Differenzial

– Bei einem elastischen Körper ist die Arbeit unabhängig da- von, wie die Lasten aufgebracht werden. Sie definiert eine potenzielle Energie.

– Aus folgt:

dW=

∑

k

F_k du_k

∑

l

M_l d _l

W=E^F=E^F



^uk ,_l



dW=dE^F=

∑

k

∂ E^F

∂u_k du_k

∑

l

∂ E^F

∂ _l d _l

(5)

2.1 Grundlagen

– Daraus folgt der erste Satz von Castigliano:

– Mit dem ersten Satz von Castigliano lassen sich die Kräfte und Momente ermitteln, die nötig sind, um vorgegebene Verschiebungen und Verdrehungen zu verursachen.

– Dazu muss die Formänderungsenergie in Abhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Größen aufgestellt werden.

F_k= ∂ E^F

∂u_k , M_l= ∂ E^F

∂ _l

(6)

2.1 Grundlagen

●

Der zweite Satz von Castigliano:

– In der Praxis häufiger ist der Fall, dass die Verschiebungen und Verdrehungen für eine vorgegebene Belastung gesucht sind.

– Es ist oft einfacher, die Formänderungsenergie in Abhän- gigkeit von den Lasten aufzustellen.

– Um Gleichungen zu finden, die die kinematischen Größen in Abhängigkeit von den Lasten liefern, wird die komplemen- täre Arbeit eingeführt:

C=

∑

k

F_k u_k

∑

l

M_l_l−W

(7)

2.1 Grundlagen

– Veranschaulichung für ein System mit nur einer

Kraft:

– Das Differenzial der kom- plementären Arbeit berechnet sich zu

u F

W C

dC=

∑

k



^Fk du_ku_k dF_k





∑

l



^Mld _l_l dM_l



−

∑

k

F_k du_k−

∑

l

M_l d _l

=

∑

k

u_k dF_k

∑

l

_l dM_l C=F u−W

(8)

2.1 Grundlagen

– Daraus kann abgelesen werden:

– Für eine linear-elastische Struktur gilt:

u_k= ∂C

∂ F_k , _l= ∂C

∂ M_l

C=W =E^F

– Daraus folgt der zweite Satz von Castigliano:

– Damit können die Ver- schiebungen in Lastrich- tung berechnet werden, wenn die Formände-

rungsenergie in Abhän- gigkeit von den Lasten bekannt ist.

u_k=∂ E^F

∂F_k , _l= ∂ E^F

∂ M_l

u F

C

W

(9)

2.1 Grundlagen

●

Satz von Menabrea:

– Mit dem Satz von Mena- brea lassen sich Reakti- onslasten für statisch un- bestimmte Systeme ermitteln.

– Dazu wird die Formände- rungsenergie in Abhän- gigkeit aller an der freige- schnittenen Struktur an- greifenden Lasten aufgestellt.

0=∂ E^F

∂ F_k , 0=∂ E^F

∂ M_l

– Da die Verschiebungen an den Lagern null sind, gilt für die Lagerkräfte und -momente:

– Daraus können die Reak- tionslasten berechnet

werden.

(10)

2.2 Beispiele

●

Balkensystem:

– Gegeben:

● a = 500mm

● E = 210000MPa

● A = 480mm²

● I_y = 4·10⁶mm⁴

● F = 10kN, M = 10kNm

– Gesucht:

● Verschiebung u_C und Verdrehung ϕ_B

2a

a

F

A

B C

M

(11)

2.2 Beispiele

– Schnittlasten für Kraft F:

● Normalkraft

N F

x₁ N

x₂

A B

C

-aF M_y

x₁

x₂ M_y

A B -aF

C

● Biegemoment

BalkenAB : N₁x₁=F BalkenBC : N₁x₂=0

BalkenAB : M _y₁x₁=−a F

BalkenBC : M x =−a F



¹⁻ ^x²



(12)

2.2 Beispiele

– Schnittlasten für Moment M:

● Die Normalkraft ist null:

● Im Balken AB ist das Biegemoment konstant:

● Im Balken BC ist das Biegemoment null:

– Formänderungsenergie:

● Berechnung der Integrale mit Hilfe einer Koppeltafel:

N₂=0

M_y₂=M

E^F=1 2

2a N₁²

EA 1 2

∫

A

B



^My1M_y₂



²

E I_y dx 1 2

∫

B

C M²_y₁ E I_y dx

∫

A B



^My1M _y₂



²^dx⁼

∫

A B

M²_y₁dx2

∫

A B

M_y₁M _y₂ dx

∫

A B

M²_y₂dx M_y₂=0

(13)

2.2 Beispiele

∫

A B

M²_y₁dx=a² F²⋅2a=2a³F²,

∫

A B

M²_y₂ dx=2 a M²

∫

A B

M _y₁ M_y₂dx=−a F⋅M⋅2a=−2a² F M ,

∫

B C

M²_y₁dx=1

3 a³F²

● Ergebnis:

E^F=a F²

E A  1

E I_y



^a³^F²^^{a M}²⁻² ^a²^{F M}^¹6 a³ F²



=a³ F²

E I_y



⁶⁷^^aⁱ²^y²



⁻²â^{E I}² ^{F M}^y ^^{a M}^{E I} ^y² ^mit ⁱ²^y⁼ÎÂ^y

(14)

2.2 Beispiele

– Verschiebungen:

● Zahlenwerte:

u=∂ E^F

∂F =2 a³ F

E I_y



⁷⁶ ^^aⁱ²^y²



⁻²^{E I}â² ^M^y ^, ^= ^∂^∂Ê^M^F ⁼ ² â

^

^M^{E I}⁻^y^{a F}

^

=2⋅500 mm⋅



10⁷ Nmm−500 m⋅10⁴ N



210000 N /mm²⋅4⋅10⁶mm² =5,952⋅10⁻³ u= 2⋅500³mm³⋅10⁴ N

2,1⋅10⁵ N /mm²⋅4⋅10⁶mm⁴



⁷6 1 30



− 2⋅500²mm²⋅10⁷ Nmm

2,1⋅10⁵ N /mm²⋅4⋅10⁶mm⁴=



3,571−5,952



⁼⁻2,381 mm

(15)

2.2 Beispiele

●

Statisch unbestimmt gelagerter Balken:

– Gegeben:

● a

● q₀

● E

● I_y

– Gesucht:

● Kräfte in den Lagern A, B und C

a a

A

B C

x

z

q₀

(16)

2.2 Beispiele

– Statisch bestimmtes Grundsystem:

– Lastfall 1: Streckenlast

a a

A B C

x

z

q₀

B_z

A C

x

z

q₀

A_1z C_1z

(17)

2.2 Beispiele

● Lagerkräfte:

● Biegemoment:

∑

^M^A⁼⁰ ^: ²^{a C}1z−a⋅2a q₀=0  C₁_z=q₀ a

∑

^M^C⁼⁰ ^: ^a^⋅² ^{a q}0−2a A₁_z=0  A₁_z=q₀ a d² M_y₁

dx² =−q₀ : M_y₁x=−1

2 q₀ x²c₁xc₂ M_y₁0=0 : c₂=0

M_y₁2a=0 : −1

2 q₀2 a²c₁2 a=0  c₁=q₀a M_y₁x=q₀a²

[

^a^x⁻¹²

^

^a^x

^

²

]

M a 1

q a²

½q₀a²

M_y

(18)

2.2 Beispiele

– Lastfall 2: Einzelkraft

● Lagerkräfte:

A B C

x

z A_2z B_z C_2z

∑

^M^A⁼⁰ ^: ^{a B}z2C₂_z=0

 C₂_z=−1 2 B_z

∑

^M^C⁼⁰ ^: ⁻^{a B}z−2 A₂_z=0

 A₂_z=−1 2 B_z

● Schnittlasten:

½B_z

-½B_z Q

x

x M_y

-½aB_z

a 2a

(19)

2.2 Beispiele

– Formänderungsenergie:

● Berechnung der Integrale:

E^F= 1 2

∫

0

2a



^My1M_y₂



²

E I_y dx

= 1

2 E I_y

 ^∫

²^a^a ^M²^y¹^dx^²

^∫

²⁰^a ^M^y¹ ^M^y²^dx^

^∫

²⁰^a ^M²^y²^dx



∫

0 2a

M²_y₁dx=q₀² a⁴

∫

0 2a

(

^a^x ⁻¹²

⁽

^a^x

⁾

²

)

² ^dx⁼^q⁰²^a⁵

^∫

0

2

(

^a^x⁻¹²

⁽

^a^x

⁾ )

²^d

⁽

^a^x

⁾

= 4

15 q₀²a⁵

(20)

2.2 Beispiele

∫

0 2a

M_y₁M_y₂dx=2

∫

0 a

M_y₁ M_y₂dx=−2⋅ 5

12 a⋅1

2 q₀ a²⋅1

2 a B_z

=− 5

24 q₀a⁴B_z

∫

0 2a

M²_y₂dx=2

∫

0 a

M²_y₂ dx=2

3 a



¹² ^{a B}^z



²⁼¹⁶ ^a³^B²^z

● Ergebnis:

E^F= 1

2 E I_y



¹⁵⁴ ^q⁰² â⁵⁻¹²⁵ ^q⁰â⁴ ^B^z^¹⁶ â³ ^B²^z



(21)

2.2 Beispiele

– Lagerkräfte:

● Die Kraft B_z berechnet sich aus

zu

● Für die übrigen Kräfte folgt:

0=∂ E^F

∂ B_z = 1

2 E I _y



⁻¹²⁵ ^q⁰^a⁴^¹³ ^a³^B^z



B_z= 5

4 q₀a .

A_z=A₁_zA₂_z=q₀a−5

8 q₀a=3

8 q₀a C_z=C₁_zC₂_z=q₀a−5

8 q₀a= 3

8 q₀a

(22)

2.3 Rahmen

●

Problem:

– Bei geschlossenen Rahmen können die Schnittlasten nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden.

– Geschlossene Rahmen sind statisch unbestimmt.

– Beispiele:

(23)

2.3 Rahmen

●

Lösung:

– Zur Ermittlung der Schnittlasten wird der Rahmen an einer beliebigen Stelle geschnitten:

s

N N

Q_z M_y M_y

Q_z

(24)

2.3 Rahmen

– Nun kann die Formänderungsenergie in Abhängigkeit von den noch unbekannten Schnittlasten ermittelt werden.

– Die Schnittlasten an den beiden Schnittufern sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

– Die Verschiebungen und die Verdrehung sind an beiden Schnittufern gleich.

– Daher ist die äußere Arbeit der Schnittlasten null.

– Daraus folgt:

– Aus diesen drei Gleichungen können die drei Schnittlasten bestimmt werden.

∂ E^F

∂ N =0 , ∂ E^F

∂Q_z =0 , ∂ E^F

∂ M_y =0