A 13.0 Kurze Wissensfragen

Physikalisches Institut Ubungsblatt 13 - Wiederholung¨

Universit¨at Bonn 10. Juli 2018

Theoretische Physik SS 18

Ubungen zur Theoretischen Physik III - Wiederholungszettel ¨

Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage Abgabe der Hausaufgaben am 17.07.2018

Besprechung der Anwesenheitsaufgaben am 13.07.2018 Besprechung der Hausaufgaben am 20.07.2018

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/

- ANWESENHEITSAUFGABEN -

A 13.0 Kurze Wissensfragen

1. Betrachten Sie die station¨are, eindimensionale Schr¨odingergleichung f¨ur ein Teilchen im PotentialV(x). Geben Sie sie explizit an. Skizzieren Sie dann die Wellenfunktion f¨ur fol- gende F¨alle:

a) klassisch erlaubte Gebiete: E > V(x) b) klassisch verbotene Gebiete:E < V(x)

c) V(x)−−−→

x→0 ∞,V(x)−−−→

x→L ∞ ,V(x) = 0 f¨ur 0< x < L 2. Berechnen Sie die folgende Slater-Determinante explizit

ψp1(~x1) ψp1(~x2) ψp1(~x3) ψ_p2(~x₁) ψ_p2(~x₂) ψ_p2(~x₁) ψp3(~x1) ψp3(~x2) ψp3(~x3)

(1) und geben Sie die Wellenfunktion ψ_n1n2n3, die drei Fermionen beschreibt, an.

3. Berechnen Sie dieselbe Wellenfunktion mit Hilfen von Operatoren.

4. Geben Sie die Definition des Wechselwirkungsbilds an. Wie lauten die Entwicklungskoef- fizienten zur nullten und ersten Ordnung zeitabh¨angiger St¨orungstheorie?

A 13.1 Kontinuit¨ atsgleichung und Stromdichte

a) Leiten Sie zun¨achst f¨ur allgemeine ψ(~r, t) die Kontinuit¨atsgleichung

∂

∂tρ(~r, t) +∇~j(~r, t) = 0 (2) her und geben Sie dabei die Wahrscheinlichkeitsdichteρ(~r, t) und den Wahrscheinlichkeitsstrom

~j(~r, t) an.

b) Betrachten Sie die ebene Welleψ(x, t) =Ce^{i(kx−2m~ k2t)}. Bestimmen Sie mit den Erkenntnissen aus a) die Wahrscheinlichkeitsdichteρ(x, t) und den Wahrscheinlichkeitsstrom~j(x, t).

A 13.2 Drehimpuls-Addition

Koppeln Sie ein Spin 1-Teilchen mit einem Spin ³₂-Teilchen zu einem Gesamtspin von ¹₂. Be- stimmen Sie s¨amtliche Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

- HAUSAUFGABEN -

H 13.1 Dreidimensionaler harmonischer Ozsillator

Aus der bekannten L¨osung f¨ur einzelne Freiheitsgrade kann die L¨osung f¨ur alle Freiheitsgrade konstruiert werden, das demonstrieren wir am harmonischen Oszillator. Der Hamiltonoperator des dreidimensionalen harmonischen Oszillators lautet

H =−h² 2µ∆ +µ

2 X

i

ω²_ix²_i =−h² 2µ

∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z²

+µ

2 ω₁²x²+ω₂²y²+ω²₃z² (3)

=H1+H2+H3, (4)

wobeiµ die Masse ist.

Die L¨osung der Schr¨odingergleichung

Hψ=Eψ (5)

wird durch den Ansatz der Separation der Variablen gel¨ost

ψ_~n(~r) =ψnx(x)ψny(y)ψnz(z). (6) a) Folgern Sie, dass die Schr¨odingergleichung dann zerf¨allt in

Hiψni(xi) =Eiψni(xi), i∈ {1,2,3} (7) und bestimmen Sie die Gesamtenergie E durch die Teilenergien Ei. Geben Sie außerdem die Eigenfunktionenψni(xi) an. (2 Punkte)

b) Betrachten Sie den Fall des isotropen Oszillators, also ω = ω₁ = ω₂ =ω₃. Was folgt dann f¨ur die EigenwerteE? Berechnen Sie ihren Entartungsgrad. (2 Punkte)

Wir wollen den dreidimensionalen Oszillator nun mit Hilfe unseres Ansatzes f¨ur sph¨arisch sym- metrische Systeme berechnen. Der Hamiltonoperator des dreidimensionalen harmonischen Os- zillators ist f¨ur ω = ω1 = ω2 = ω3 invariant unter Drehungen und besitzt daher sph¨arische Symmetrie. In Kugelkoordinaten lautet er also

H=−h² 2µ∆ +µ

2ω²r². (8)

c) Zeigen Sie, dass die radiale Schr¨odingergleichung

−h²

2µ∂_r²+ ~²l(l+ 1) 2µr² +µ

2ω²r²

χ(r) =En(r)χ(r) (9)

lautet, mit χ(r) =rR(r). (2 Punkte)

d) Substituieren Sie (¨ahnlich wie beim Wasserstoffatom)r undEgeschickt, um die dimensions- lose Gleichung

∂_ρ²− l(l+ 1)

ρ² −ρ²+ 2

χ(ρ) = 0, (10)

zu erhalten. (2 Punkte)

e) Betrachten Sie das asymptotische Verhalten (ρ→ ∞,ρ→0) von Gl. (10), um den Ansatz χ(ρ) =ρ^l+1e^−ρ

2

2 u(ρ) (11)

zu folgern. (2 Punkte)

f) Setzen Sie den Ansatz (11) in (10) ein, um

∂_ρ²+

2(l+ 1) ρ −2ρ

∂ρ+ (2−2(l+ 1))

u= 0 (12)

zu erhalten. (3 Punkte)

g) Substituieren Sie x=ρ², um die verallgemeinerte Laguerresche Differentialgleichung

x∂_x²+

l+1 2

+ 1−x

∂x+n

v(x) = 0 (13)

zu erhalten, wobein= ¹₂ −(l+³₂)

. (2 Punkte)

Durch einen Potenzreihenansatz f¨urv(x) erh¨alt man erneut eine Rekursionsformel, a_k+1 = k−n

(k+ 1)(k+l+ 3/2)a_k (14)

die nur abbricht, fallsn eine nat¨urliche Zahl ist.

h) Was folgt daraus f¨ur die EnergieeigenwerteE? Berechnen Sie die Entartung. (2 Punkte) Die L¨osungen von (13) sind die Laguerre-Polynome

v(x) =L^(l+1/2)_n (x) =

n

X

k+0

n+l+ 1/2 n−k

(−)^k

k! x^k= Γ(l+ 3/2 +n) Γ(l+ 3/2)

1

n!¹F₁(−n;l+ 3/2;x), (15) es handelt sich also wieder um eine hypergeometrische Funktion und damit lautet die radiale Wellenfunktion

χ(ρ) =N_nlL^(l+1/2)_n (ρ²)ρ^l+1e^−ρ2/2. (16) Die vollst¨andigen L¨osungen des sph¨arischen, harmonischen Oszillators lauten nach R¨ucksubstitution damit

ψ_nlm(~r) = χ_nl(r)

r Y_lm(θ, φ) (17)

= s

2n!

(n+l+ 1/2)!

rµω

~

l+3/2

r^lL^(l+1/2)_n µω

~ r² e^−µωr

2

2~2 Y_lm(θ, φ), (18) wobei der VorfaktorN_ml aus der Normierungsbedingung R

d³rψ^∗_n0l⁰m⁰(~r)ψ_nlm(~r) =δ_n⁰_nδ_l⁰_lδ_m⁰_m und R∞

0 drχ_n⁰_l⁰(r)χnl(r) =δ_n⁰_n stammt.

Wir untersuchen abschließend den Zusammenhang zwischen dem Produktansatz in kartesischen Koordinaten, mit dem wir in der a) und b) den harmonischen Oszillator gel¨ost haben, und dem Ansatz des sph¨arischen Oszillators in Kugelkoordinaten. Beide L¨osungen geh¨oren zum selben Hamiltonoperator, daher m¨ussen sie ineinander transformierbar sein.

i) Vergleichen Sie die Energieeigenwerte, die sich aus b) und h) ergeben. Wenn es zu einer Energie mehrere L¨osungen gibt, ist jede L¨osung der einen Form als Linearkombination der ent- arteten L¨osungen der anderen Form darstellbar. Machen Sie eine Tabelle f¨ur E = ~ω³₂ und E =~ω⁵₂ und vergleichen Sie die zugeh¨origen Werte f¨urn,l,mund n_x,n_y,n_z und die entspre- chenden Wellenfunktionen (ohne Normierung und mit

q

µω~ = 1). Was ist die Schlussforlgerung daraus? (3 Punkte)

- ZUSATZAUFGABEN -

H* 13.2 Normaler und anomaler Zeemaneffekt

Der Hamilton-Operator f¨ur ein Teilchen (Ladung q, Masse µ) in einem elektromagnetischen Feld lautet

H= 1 2µ

−i~∇ −~ q c

A(~~ x, t) 2

+qΦ(~x, t), d.h. die Operatorenp undx werden in die Hamilton-Funktion eingesetzt.

Wir betrachten ein Wasserstoffatom (d.h. q = −e, Φ(~x) = _|~x|^e ) in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld B. Man kann zeigen, dass dann~ ∇A= 0 gilt (Coulombeichung).

a*) (1 Bonuspunkt) Zeigen Sie:

H=−~²

2µ∆− e²

|~x|

| {z }

=H0

+ e 2µc

B~ ·~L

| {z }

=H1

+ e² 2µc²

A(~~ x)2

| {z }

=H2

.

b*) (1 Bonuspunkt) Das konstante MagnetfeldB~ liege o.B.d.A. in 3-Richtung:B~ =B ~e3. Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen ψ_{n l m} von H₀+H₁ die Coulomb–Eigenfunktionen sind und die Energien wie folgt verschoben sind:

E_{n l m} =− e² 2a₀

1

n² +m~ω_L, m=−l ,−l+ 1, . . . , l , n=N +l+ 1,

wobeiω_L= _2µc^eB dieLarmorfrequenz unda₀= _µe^~22 der Bohr-Radius ist. Diese Verschiebung hat H.A. Lorentz 1895 klassisch hergeleitet.

c*) (1 Bonuspunkt) Zeigen Sie H2= e²B²

8µc² r²sin²ϑ= ~²ω²_L 2e²/a0

r a0

2

sin²ϑ .

d*) (1 Bonuspunkt) Leiten Sie sogenannte Auswahlregeln her, indem Sie zeigen, dass die Matri- xelemente von H2 nur zwischen Zust¨anden gleicher Parit¨at und gleicher m-Quantenzahl nicht verschwinden.

Hinweis:

(P ψ_{n l m}) (~x) =ψ_{n l m}(−~x) = (−1)^lψ_{n l m}(~x) P² = 11, P⁻¹=P =P^†, sowie

P H2 =H2P bzw. P H2P⁻¹ =H2.

e*) (2 Bonuspunkte) Berechnen Sie die jeweils f¨uhrende Energie- und Wellenfunktionskorrektur f¨ur den Grundzustand|n l mi=|100i. Betrachten Sie dazu nur die Terme in den obigen Summen mitn≤2 .

Hinweis: Die 1s- und 2s-Wellenfunktionen lauten ψ_1s(r, θ, φ) = 1

pa³₀π e^−r/a0, ψ_2s(r, θ, φ) = 1 p8a³₀π

2− r

a0

e^−r/(2a0).

Diese Aufspaltung der Energieniveaus, die entsteht, wenn sich das Wasserstoffatom in einem homogenen Magnetfeld befindet, nennt man normalen Zeemaneffekt.

Als (eine) relativistische Korrektur zum Hamilton-Operator H0 des Wasserstoffatoms gibt es einen zus¨atzlichen Potentialbeitrag, die Spin-Bahn-Kopplung

HLS = 1 2µ²c²

L~ ·S~ e²

r³ ≡f(r) L~ ·S~

mitr :=|~x|.

Da nun auch der Spin betrachtet wird, wid die Wellenfunktionψ_nlml(r, θ, φ) =R_nl(r)Y_lm(θ, φ) des Wasserstoffatoms entsprechend erweitert aufψ_nlml(r, θ, φ)χ_ms, mit den Kugelspinoren

χ¹

2 =

1 0

und χ₋¹

2 =

0 1

.

f*) (1 Bonuspunkt) Argumentieren Sie, dass J3, |J|~², |~L|² mit H0 und HLS vertauschen und es daher sinnvoll ist, die Kugelspinoren Φ_{j l mj}(θ, φ) =P

ml,msY_lml(θ, φ)χ_ms hlm_l¹₂m_sijm als Basisfunktionen zu w¨ahlen.

g*) (4 Bonuspunkte) Berechnen Sie den Beitrag von HLS zu den ersten beiden Energieniveaus des Wasserstoffatoms in erster Ordnung St¨orungstheorie. Geben Sie das Ergebnis in eV an.

Skizzieren Sie die resultierende Aufspaltung des (n= 2)-Niveaus.

Hinweis: Die 2p-Radialfunktion des Wasserstoffatoms lautet R_2p(r) = 1

p3(2a0)³ r a₀ e⁻

r 2a0 .

Das Teilchen befinde sich jetzt zus¨atzlich in einem homogenen Magnetfeld in 3-Richtung,B~ = B~e₃, wobei nun im Unterschied zu Aufgabe A.2 ebenfalls der Spin ber¨ucksichtigt werden soll, was im Falle eines schwachen Magnetfeldes auf denanomalen Zeeman-Effekt f¨uhrt. Dazu wird der in A.2 eingef¨uhrte St¨oroperator H1 = _2µc^e (B~ ·~L) um eine Wirkung im Spinorraum und um einen Spin-Magnetfeld-Kopplungsterm erweitert:

H_Z =H1⊗11_S²+g e

2µc 11_R³ ⊗(B~ ·S)~ ,

wobeig≈2 das gyromagnetische Verh¨altnis bezeichnet und die IndiziesS² undR³ den Spinor- bzw. Ortsraum implizieren.

Wir betrachten also den Hamilton-Operator

H=H0+HLS+HZ. Wir nehmen an, dass n¨aherungsweiseR

dr r²R_n⁰_l(r)f(r)R_nl(r) = 2a_nlδ_n⁰_n gilt.

h*) (6 Bonuspunkte) Berechnen Sie in St¨orungstheorie die Zeeman-Aufspaltung der 6 Zust¨ande mitl= 1 als Funktion vonλ=b/a_nl=1, b= ^e_2µc^~B.

Hinweis: Betrachten Sie HLS +HZ als St¨orung der 6 (in H0) entarteten Zust¨ande mit l= 1.

Beachten Sie, dass L₃+ 2S₃=J₃+S₃, berechnen Sie die Matrixelemente von S₃: hΦ_j=l±1

2l m⁰_j|S₃|Φ_j=l±1

2l mji=δ_m⁰

jmj

±m_j~ 2l+ 1, hΦ_j=l±1

2l m⁰_j|S₃|Φ_j=l∓1

2l mji=−δ_m⁰

jmj

~ q

(l+¹₂)²−m²_j 2l+ 1 ,

wobei die Clebsch-Gordan-Koeffizienten f¨ur die Spinoren Φj l mj gegeben sind durch

mj−1 2

1 2 1 2

l+1 2

mj

= s

l+mj+¹₂ 2l+ 1 ,

mj+1 2

1 2−1

2

l+1 2

mj

= s

l−mj+¹₂ 2l+ 1 ,

mj−1 2

1 2 1 2

l−1 2

mji=− s

l−mj+¹₂ 2l+ 1 ,

mj+1 2

1 2−1

2

l−1 2

mj

= s

l+mj+¹₂ 2l+ 1 .

Berechnen Sie dann die Matrixelemente vonHLS+HZ in der Basis der Kugelspinoren.

i*) (4 Bonuspunkte) Skizzieren Sie das Resultat und diskutieren Sie das Ergebnis f¨urλ1 (Magnetfeld klein gegen¨uber der Spin-Bahn-Aufspaltung, anomaler Zeeman-Effekt) und λ 1 (Magnetfeld groß gegen¨uber der Spin-Bahn-Aufspaltung, Paschen-Back-Effekt).