Nochmals Ausgabenminimierung…

Kapitel 5b

Einkommens- und

Substitutionseffekte

Nochmals Ausgabenminimierung…

…zur Bestimmung von Einkommens- und Substitutionseffekten.

• Die Nutzenmaximierung gibt uns mathematisch die Punkte A und C und somit den Gesamteffekt einer Preisänderung für die Nachfrage nach x. Wie können wir B mathematisch bestimmen?

Frage: Was ist das hypothetische Einkommen des Konsumenten bei B?

Antwort: Minimiere die Ausgaben unter der Nebenbedingung des gleichen Nutzenniveaus wie bei A.

Nochmals Ausgabenminimierung…

Nutzenmaximierung: maxU(x,y) u.d.N. M≥ p_xx+ p_yy Ausgabenminimierung: min p_xx+ p_yy u.d.N. U(x,y) ≥U Ziel und Nebenbedingung werden vertauscht.

Um Einkommens- und Substitutionseffekte zu bestimmen:

• Angenommen Punkt A gibt das Nutzenniveau U bei Preisen p_x, p_y. Nun verändert sich p_x zu p_x’.

• Die Lösung der Ausgabenminierung bei den neuen Preisen bestimmt das geringstmögliche Einkommen, um das Nutzenniveau U beizubehalten.

• Dies ist also der Punkt B in der obigen Zeichnung. ³

Nochmals Ausgabenminimierung…

• Die Gesamtausgaben für ein Konsumbündel x,y:

E(x,y)= p_xx+ p_yy

• Die Iso-Ausgabenkurven im x-y Raum sind linear und fallen mit Steigung p_x/p_y.

• Die Ausgaben fallen, wenn man näher an den Ursprung des Koordinatensystems kommt.

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Ausgabenminimierung:

• Die graue Fläche ist das Nebenbedingungsset, also das Set von Konsumgüterbündeln, das mindestens das Nutzenniveau U ermöglicht: U(x,y)≥U.

Optimalitätsbedingungen für x und y:

• Die Indifferenzkurven sind tangential zu den Iso- ausgabenkurven, oder

• Die Minimalnutzenbeschränkung bindet.

y x y

x p

MRS _,  p

U y

x

U ( , ) 

Nochmals Ausgabenminimierung…

• Formale Lösung des Ausgabenminimierungsproblems:

• Problem:

• Lagrange:

• BeOs:

• Daraus folgt:

)) ,

( (

)

; ,

( x y p x p y U U x y

L  



  

y x

p p y

y x U

x y x U y

x

MRS 



 



 ( , ) ) , ( )

, (

U y

x U N

d u y p x

p



. . . ( , )  min

0 ) , (

; 0

;

0   



 



 

 

 



 

 

 L U U x y

y p U

y L x

p U x

L

y

x   

Nochmals Ausgabenminimierung…

• Beispiel: John‘s Nutzenfunktion für Hamburger und Soda war U(h,s)=h·s.

• Ursprünglich waren die Preise p_h=3 und p_s=1 und sein Einkommen M=6. Bei diesen Preisen hat er 1 Hamburger und 3 Soda konsumiert. Nutzen war 3.

• Angenommen der Preis für Soda, p_s erhöht sich auf 9.

• Fragen: Was für ein Einkommen braucht John nun, um das gleiche Nutzenniveau zu behalten?

• Wie würde John’s Konsum bei den neuen Preisen und diesem Einkommen aussehen?

Nochmals Ausgabenminimierung…

• Um weiterhin h=1 und s=3 zu konsumieren, würde er ein Einkommen von p_ss+ p_hh=9·3+3·1=30 benötigen.

• Allerdings kann er sich bei diesen neuen Preisen auch besser stellen als dies.

• Antwort: Ausgabenminimierung

• Problem:

• Lagrange:

Nochmals Ausgabenminimierung…

• BeOs:

• Lösung:

• Bei diesem neuen Optimum substituiert John aus Soda zu Hamburgern.

• Gesamtausgaben:

Kompensierte Nachfrage

• Frage: Was ist der günstigste Weg, verschiedene Nutzenniveaus zu erreichen (und wie verändert sich dieser, wenn wir die Preise variieren?)

• Antwort: Löse das Ausgabenminimierungssystem für verschiedene Nutzenniveaus. Definiere diese Lösung als Funktion von Preisen und vorgegebenem Nutzen.

Diese Lösung ist die „Hicks‘sche“ oder „kompensierte Nachfragefunktion“.

• Problem:

• Die Lösung hängt vom vorgegebenen Nutzenniveau ab.

U y

x U N

d u y p x

p



. . . ( , )  min

) ,

, (

) ,

,

( p p U und y p p U

x

Kompensierte Nachfrage

Auswirkungen einer Preis- veränderung auf die kom- pensierte Nachfrage:

• Bei den ursprünglichen Preisen ist die kompensierte Nachfrage A.

• Bei den neuen Preisen ist die kompensierte Nachfrage B

• Die Differenz zwischen A und B ist der Substitutionseffekt.

• Der Konsument wird für den Einkommenseffekt durch die Preisveränderung kompen-

siert. ¹¹

Kompensierte Nachfrage

Beispiel:

• Finde John‘s kompensierte Nachfrage für Hamburger und Soda.

• Problem:

• Lagrange:

• Optimalitätsbedingung:

• Lösung:

• Diese bestimmt die günstigste Art, auf die John den Nutzen von U durch Konsum von Hamburgern und Soda (gegeben die Preise p_s

Die Ausgabenfunktion

• Frage: Was sind die minimal notwendigen Ausgaben, um den Nutzen U zu erhalten (und wie verändert sich U mit den Preisen)?

• Antwort: Die Ausgabenfunktion, definiert als

• Ist eine Funktion der Preise und des gegeben Nutzens U.

• Ähnliche Idee wie die der indirekten Nutzenfunktion bei Nutzenmaximierungsproblemen.

• Beispiel: John‘s Ausgabenfunktion ist:

)

; ,

( )

; ,

( )

; ,

( p p U p x p p U p y p p U

E





Kompensierte Nachfrage

Kompensierte vs. Marschall‘sche (unkompensierte) Nachfrage:

• Eine Preisveränderung beeinflusst die Marschall‘sche Nachfrage durch den Einkommens- und den Substitutionseffekt.

• Eine Preisveränderung beeinflusst die kompensierte Nachfrage allein durch den Substitutionseffekt.

• Gegeben normale Güter: Der Einkommenseffekt ist negativ, also beeinflussen Preisveränderungen die Marschall‘sche Nachfrage mehr als die kompensierte Nachfrage.

• Was ist mit inferioren Gütern?

Kompensierte Nachfrage

Marshall‘sche vs. kompensierte Nachfrage für normale Güter:

Kompensierte Nachfrage

Marshall‘sche vs. kompensierte Nachfrage für inferiore Güter:

Kompensierte Nachfrage

Marshall‘sche vs. kompensierte Nachfrage für Giffen Güter:

Kapitel 5b Konzepte

• Ausgabenminimierung

• Iso-Ausgabenkurve

• Ausgabenfunktion

• Minimalnutzenbedingung

• Kompensierte/Hicks‘sche Nachfrage