Einf¨ uhrung in die Statistik f¨ ur WInf, LaB, CE, Inf BSc etc.

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Ritter

B. Debrabant T. Wagner Dr. M. Doering

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

Einf¨ uhrung in die Statistik f¨ ur WInf, LaB, CE, Inf BSc etc.

6. ¨ Ubung

Gruppen¨ ubungen

Aufgabe G16

In einem Betrieb werden Muttern hergestellt, deren Durchmesser (inmm) als Realisierung von unabh¨angigen, identisch N(µ,0.04)-verteilten Zufallsvariablen X₁, . . . , X_n aufgefasst werden k¨onnen. Bei einer Stichprobe vom Umfangn = 25 ergab sich das empirische Mittel x₂₅= 63.2.

a) ¨Uberpr¨ufen Sie mit einem geeigneten Test zum Niveau α = 0.05 die Nullhypothese Θ₀ :={63}.

b) Geben Sie alle µ₀ ∈Ran, f¨ur welche die Nullhypothese mit obigen Daten bei Verwen- dung des Tests aus Aufgabenteil a) zum Niveau α = 0.05 nicht verworfen wird.

c) Berechnen Sie aus den gegebenen Daten die Realisierung des Konfidenzintervalls f¨ur µ zum Niveau 1−α= 0.95 und vergleichen Sie mit Ihrem Resultat aus b).

Aufgabe G17

Die Daten x₁, . . . , x₂₅ seien eine Realisierung von 25 unabh¨angigen, identisch N(µ, σ²)- verteilten Zufallsvariablen mit unbekannten reellen Parametern µ und σ > 0. Eine Aus- wertung ergibt

25

P

i=1

x_i = 17475 und

25

P

i=1

x²_i = 12 215 865.

a) Bestimmen Sie die Realisierung des Konfidenzintervalls f¨urµzum Niveau 1−α= 0.9.

b) Konstruieren Sie durch die Angabe einer Teststatistik und eines kritischen Bereichs einen Signifikanztest zum Niveau α ∈]0,1[ zum Testen der einseitigen Hypothese Θ₀ = [µ₀,∞[×]0,∞[.

c) ¨Uberpr¨ufen Sie die Hypothese Θ₀ := [700,∞[×]0,∞[ mit dem in b) konstruierten Test zum Niveau α= 0.05.

Haus¨ ubungen

Abgabe bis 13. Juli, 12.00 Uhr

Briefkasten: S2 15 (Mathebau), 3. Obergeschoss, auf Uebungsgruppe achten.

Diese Hausuebung geht genauso wie die 5 vorherigen in die Berwertung ein.

Aufgabe H31

Ein Automat f¨ullt Zucker in gleichgroße T¨uten ab. Man kann dabei annehmen, dass die F¨ullmengen [in g] eine Realisierung von unabh¨angigen, identisch N(µ, σ²)-verteilten Zu- fallsvariablen X₁, . . . , X_n darstellen, wobei die Varianz σ² > 0 als bekannt vorausgesetzt wird. Die Hypothese Θ0 :={µ0}soll mit Hilfe des Gauß-Tests zum Niveauα∈]0,1[ gepr¨uft werden.

a) Es liege eine Realisierung x₁, . . . , x_n mit empirischem Mittelx_n vor. Betrachten Sie p(x) = P^µ0(|g_n(X)| ≥ |g_n(x)|),

also die Wahrscheinlichkeit unter der Hypothese daf¨ur, dass der Betrag der Testgr¨oße den beobachteten Wert oder einen gr¨oßeren annimmt. Zeigen Sie, dass die Hypothese Θ₀ genau dann abzulehnen ist, wenn p(x)≤α gilt.

b) Gehen Sie von σ = 1 [g], µ₀ = 1000 [g] und x₂₅ = 999.5 [g] aus. Berechnen Sie p(x) und geben Sie alle reellen Zahlen 0 < α < 1 an, bei denen der Signifikanztest zum Niveau α zur Ablehnung f¨uhrt.

Aufgabe H32

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert µ∈ R =: Θ und bekannter Varianz σ². Wir betrachten das Testproblem zur Hypothese

Θ0 := [µ0,∞[.

Die Stichprobe x₁, . . . , x_n sei eine Realisierung von n unabh¨angigen, identisch wie X ver- teilten Zufallsvariablen.

a) Geben Sie einen Verwerfungsbereich R_n an, der einen Signifikanztest zu einem gege- benen Niveau α definiert.

b) F¨ur eine gegebene Stichprobe von 20 unabh¨angigenN(µ,4)-verteilten Zufallsvariablen sei ¯x₂₀ = 11. Testen Sie unter Verwendung des Ergebnisses in a) f¨ur α = 0.01 die Hypothese Θ0 = [12,∞[.

(bitte wenden)

Aufgabe H33

Eine Maschine verpackt Kaffee in T¨uten zu je 500 [g]. Man kann dabei annehmen, dass die F¨ullmengen eine Realisierung von unabh¨angigen und identisch N(µ,1)-verteilten Zufalls- variablen X₁, . . . , X_n sind. Die Hypothese Θ₀ := ]− ∞,500] soll mit Hilfe des einseitigen Gauß-Tests zum Niveau α= 0.05 ¨uberpr¨uft werden.

a) Bestimmen Sie die Operationscharakteristik des Tests in Abh¨angigkeit von n.

b) Wie groß muss der Stichprobenumfangnmindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit f¨ur einen Fehler 2. Art bei einem tats¨achlich vorliegenden Wert µ ≥ 500.5 h¨ochstens 0.01 betr¨agt?

c) Skizzieren Sie f¨urn = 64 den Graphen der Operationscharakteristik f¨urµ∈[499.7; 500.7].

Aufgabe H34

Es soll auf der Grundlage von 20 Neugeborenen die Hypothese gepr¨uft werden, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ur einen Jungen 40% betr¨agt. Da die Stichprobe einen geringen Umfang besitzt, soll nicht approximativ mit der Normalverteilung gearbeitet werden. Als Teststa- tistik dient die Anzahl der m¨annlichen Neugeborenen in der Stichprobe.

a) Geben Sie f¨ur das Testproblem die Verteilungsannahme, den Stichprobenraum, den Parameterraum sowie die Hypothese an.

b) Bestimmen Sie einen m¨oglichst großen kritischen Bereich der Form {0, . . . , k₁} ∪ {k₂, . . . ,20}

mit nat¨urlichen Zahlen 0< k₁ < k₂ <20, so dass durch den zugeh¨origen Verwerfungs- bereich ein Signifikanztest zum Niveau α= 0.05 definiert wird.

c) Wie groß ist bei dem durch b) gegebenen Test die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2.

Art f¨ur den Fall, dass M¨adchen- und Jungengeburten gleichwahrscheinlich sind?

Aufgabe H35

Ein Schweinez¨uchter m¨ochte Informationen ¨uber das Gewicht seiner ausgewachsenen Mast- schweine gewinnen. Dazu wiegt er 16 seiner Schweine und erh¨alt die Daten

16

X

i=1

x_i = 1 584 [kg],

16

X

i=1

(x_i−x₁₆)² = 375 [kg²],

wobeix₁, . . . , x₁₆ als Realisierung von unabh¨angigen, identisch normalverteilten Zufallsva- riablen X₁, . . . , X₁₆ angesehen werden.

a) Bestimmen Sie mit Hilfe von erwartungstreuen Sch¨atzfunktionen konkrete Sch¨atzwerte f¨ur den Erwartungswert und die Varianz des Gewichts eines Schweines.

b) Geben Sie in Abh¨angigkeit von α ∈]0,1[ ein Konfidenzintervall f¨ur den Erwartungs- wert des Gewichts eines Schweines zum Konfidenzniveau 1−α an.

c) Bestimmen Sie die Realisierung des Konfidenzintervalls aus b) zum Niveau 1−α = 0.98. Runden Sie dabei das verwendete Quantil auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe H36

Die Lebensdauer (in Betriebsstunden) der Gl¨uhbirnen in einem neugebauten Fußballstadi- on wird durch unabh¨angige, identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter λ= ln(1.25)/1000 modelliert.

a) Ein Flutlichtmast enth¨alt 10 000 Gl¨uhbirnen. Berechnen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes n¨aherungsweise die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass nach 1 000 Be- triebsstunden noch mehr als 8 040 Lampen funktionst¨uchtig sind.

F¨ur einen weiteren Stadionneubau sollen f¨ur die Flutlichtmasten auch die Gl¨uhbirnen des obigen Typs verwendet werden. Aufgrund eines neuen FIFA-Statuts muss aber gew¨ahrlei- stet sein, dass nach 1 000 Betriebsstunden mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit noch mehr als 9 000 Gl¨uhbirnen des Flutlichtmastes funktionst¨uchtig sind.

b) Leiten Sie eine Ungleichung f¨ur die Anzahl der Lampen her, die dieser Flutlichtmast n¨aherungsweise enthalten muss, um obige Bedingung zu erf¨ullen. Verwenden Sie dabei den Zentralen Grenzwertsatz. Die Ungleichung soll von der Form a·n+b·√

n ≥cmit a, b, c∈R sein.

Informationen zur Semestralklausur

• Termin: 07.07.07, 13.30–15.30 Uhr

• Raumeinteilung:

S3 11/08 M, MCS BSc, LaG

S3 11/0012 alle anderen (also WInf, LaB, BI, Inf, Inf BSc, CE, etc.)

• Bitte rechtzeitig im entsprechendem Raum einfinden.

• Bitte eigenes Papier mitbringen!

• Formelsammlung und Quantilstabellen werden gestellt.

• Geprueft wird der Inhalt der Vorlesung bis einschliesslich Kapitel 7.2 sowie die Winf- Uebungen(einschliesslich Hausuebungen) 1-5.