- Struktur der Kernkräfte - LS-Kopplung

Guido Drexlin, Institut für Experimentelle Kernphysik

Kerne und Teilchen

Moderne Physik III

Vorlesung # 4

2.3 Kernmodelle

- Schalenmodell

- Struktur der Kernkräfte - LS-Kopplung

- Nukleon-Nukleon Potential - Austauschkräfte:

Pionen und Mesonen

Wiederholung: ● Fermigasmodell

Nukleonen bilden im Kerngrundzustand bei T = 0 K ein ´Fermigas´

von wechselwirkungsfreien Teilchen, da alle Fermion-Zustände bis zur Fermi-Energie E_F besetzt sind

Protonen- potenzial

Coulombeffekt Symmetrie-

effekt

Neutronen- potenzial

Fermi- Niveau E_F

V_C

7-8 MeV

c R MeV

p_F 250 /

8 9

0 3 / 1

⎟ ≈

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ π h

für Kerne mit Z = N = A/2

Bestimmung der Fermi-Energie E_F bzw. des Fermi-Impulses p_F aus der Quantenstatistik eines Fermigases:

~33 MeV

Potenzial V₀ ~ 40 MeV, unabhängig von Massenzahl A (vgl. freies Elektronengas) kinetische Energie der Nukleonen ist in der gleichen Größenordnung wie das Kernpotential: E_F ~ V₀

● Tröpfchenmodell

Tröpfchenmodell von C.F. v. Weizsäcker:

semiempirische Massenformel ª Bindungsenergie pro Nukleon B(Z,A) = a_V·A - a_S·A^2/3 - a_C·Z² ·A^1/3 - a_A·(N – Z)² / A + δ(Z,A) - Volumenterm: Kondensation

- Oberflächenterm: weniger Partner - Coulombterm: Protonenladung - Asymmetrie-Term: Ferminiveaus - Paarungs-Term: antiparalleler Spin bei bestimmten magischen

Protonenzahlen Z & Neutronenzahlen N verbleiben Abweichungen zwischen

dem Experiment & der Massen-Formel des Tröpfchenmodells:

Resultat der Schalenstruktur der Kerne

N=126

stabil

Z=50

N=82

N=50

N=28

Z=82

N=2 N=8

Z=20

N=20

Z=2 Z=8

Z=28

● Schalenmodell

Kerne mit den magischen Protonen- oder Neutronen-Zahlen Z oder N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126Z oder N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Z oder N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 verfügen über spezielle Eigenschaften:

- hohe Bindungsenergien / Separationsenergien - viele Isotope (Isotone) bei gleichem Z (N)

- relative Häufigkeit der Kerne - hohe Anregungsenergie des ersten angeregten Zustands - kleine n-Einfangquerschnitte - ß-Zerfall

Maria Goeppert-Mayer (1906-1972) Nobelpreis 1963

doppelt magische Kerne

N Z

Abweichungen von der

Bethe-Weizsäcker Massenformel:

hohe Bindungsenergie bei magischen Zahlen

Experimentelle Befunde

Energie des ersten angeregten Kernniveaus mit J^P = 2⁺ :

hohe Anregungsenergie bei magischen Zahlen

8 20 28 50 82 126

8 20 28 50 82 126 500

0

Energie [keV]

82

50

28 20 12

-4.64

82

50

28 20 8 8

Energie [MeV]

doppelt- magisch

132Sn

208Pb

doppelt magische Kerne:

4He, ¹⁶O, ⁴⁰Ca, ⁷²Ge,…

doppelt- magisch

Kernpotentiale

Analogie zu magischen Zahlen der Atomphysik (Z = 2, 10, 18, 36, 54, 80, 86) dort wird ein Potenzial erzeugt durch langreichweitiges Coulombfeld –Z e²/r Ansatz in der Kernphysik: Aufstellung eines mittleren Kernpotenzials V(r), in dem sich die einzelnen Nukleonen (wechselwirkungsfrei) bewegen

Methode: Lösung der Schrödinger-Gleichung für Modellpotenzial V(r) 2 0

) 1 ) (

2 ( 1

2 ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ +

− ⋅

− +

Δ u

r r M

V E

M _N u _N

l u(r) folgt aus radialem Anteil l

der Schrödinger-Gleichung

Zentrifugalterm Hauptquantenzahl n,

Drehimpuls ℓ = 0,1,2,3,… (s,p,d,f…) magnet. Quantenzahl m

Vergleich der Energieniveaus (Schalenabschlüsse) mit den beobachteten magischen Zahlen, ª Anpassung des Modellpotenzials

- Kastenpotenzial, harmonischer Oszillator, Woods-Saxon-Potenzial

Modell 1: harmonischer Oszillator

Energie [MeV]

40

30

20

10

0

66 55 44 33 22 11 00

1s 2

1p ħω 8

1d 2s 20

1f 2p 40

1g 2d 3s 70

1h 2f 3p 112

1i 2g 3d 4s 168

Nukleonen befinden sich in einem Potenzial V(r) eines harmonischen Oszillators mit Tiefe V₀ ~ 40 MeV

Wellenfunktionen harmonischer Oszillator

Energie [MeV]

40

30

20

10

0

66 55 44 33 22 11 00

1s 2

1p ħω 8

1d 2s 20

1f 2p 40

1g 2d 3s 70

1h 2f 3p 112

1i 2g 3d 4s 168

Oszillatorpotenzial V(r) = ½ M_N ω² r² – V₀ ħω – Schale: 2 · (n – 1) + ℓ E_nℓ = - V₀ + (2 n + ℓ + ½) ħω

harmonischer Oszillatorharmonischer Oszillator harmonischer Oszillator

quasiklassiche Bewegung eines

Nukleons im Oszillatorpotential

Nukleonen befinden sich in einem Potenzial V(r) eines harmonischen Oszillators mit Tiefe V₀ ~ 40 MeV

ħħωω ^{nn ℓℓ ZustandZustand ΣΣ 2(22(2ℓ+1)}

0 1 0 1s 2

1 1 1 1p 8

2 2

1

0 2

2s

1d 20

3 2

1

1 3

2p

1f 40

Energie [MeV]

Modell 2: Kastenpotential

40

30

20

10

0

KastenpotenzialKastenpotenzial Kastenpotenzial

138

2 8 1820 34 132 92

40 6858

1s 1p 1d2s1f 2p1g 2d1h3s 2f1i 3p

V(r) = - V₀ für r < R V(r) = 0 für r > R

Σ 2 (2ℓ+ 1) = Summe der Nukleonen bis zu einzelnen Schalen

Nukleonen befinden sich in einem Kasten-Potential V(r) mit einer

endlichen Tiefe V₀ ~ 40 MeV (Tiefe gegeben durch Fermigas-Modell)

für ℓ = 0

1s

Zentrifugal- term

R

2s 3s

1p

2p 3p

1d

2d 3d 4s

3s 2s 1s

V₀

1f

2f 3f 4p

3p 2p 1p

3d 2d 1d

3f 2f 1f

Energie [MeV]

40

30

20

10

0

KastenpotenzialKastenpotenzial Kastenpotenzial

138

2 8 1820 34 132 92

40 6858

1s 1p 1d2s1f 2p1g 2d1h3s 2f1i 3p

Σ 2 (2ℓ+ 1) = Summe der Nukleonen bis zu einzelnen Schalen

- Energieniveaus E_i aus den Nullstellen der sphärischen Bessel-Funktion j_ℓ

- Schalenabschlüsse stimmen für schwere Kerne nicht mehr mit den beobachteten

magischen Zahlen überein (.., 50, 82, 126,…) Nukleonen befinden sich in einem Kasten-Potential V(r) mit einer

endlichen Tiefe V₀ ~ 40 MeV (Tiefe gegeben durch Fermigas-Modell)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Radius r [fm]

0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 rel. Potenzial V(r) /V 0

Modell 3: Woods – Saxon Potential

d a

e

r V

V

) 1

(

= +

Ansatz: benutze Saxon-Woods Dichteverteilung ρ(r) [s. Kernformfaktoren],

Woods-Saxon Potential: Verlauf folgt der Verteilung der Nukleonen im Kern, V(r)Woods-Saxon liegt zwischen harmonischem Oszillator & Kastenpotential

a: Kernradius (a ~ A^1/3) d: Skindicke (~ 0.5 fm)

- Energie-Eigenwerte des Woods-Saxon Potentials liegen zwischen denen des Kastenpotentials & des harmonischen Oszillators

- ´magische Zahlen´ für schwere Kerne Kerne stimmen nicht mit gemessenen Zahlen überein

- weitere phys. Effekte: was ist die genaue Struktur der Kernkräfte?

harmonischer

Oszillator ℓ ^Spin-Bahn

Kopplung ℓ · s

6

5

4

3

2

1

0

2020 20 4040 40 7070 70

222 888 112112 112

1s 1p 1d 2s 1f 2p 1g 2d

N

3s 1h 2f

222 888 126126 126

2020 20 8282 82 5050 50 2828 28

1s 1/2 1p 1/2 1p 3/2 1d 3/2 2s 1/2 1d 5/2 2p 1/2 1f 5/2 2p 3/2 1f 7/2 1h 11/2 2d 3/2 3s 1/2 1g 7/2 2d 5/2 1g 9/2 3p 1/2 2f 5/2 3p 3/2 1i 13/2 1h 9/2 2f 7/2

Woods-Saxon Potential ist

Ausgangspunkt zur Beschreibung der Kernkräfte, aber weitere Terme !

wichtige Erkenntnis (vgl. Atomphysik):

auch bei Kernkräften Kopplung von Bahndrehimpuls ℓ und Spin s

s r

J r

r l

Struktur der Kernkräfte

n p

Eigenschaften des Deuterons (Grundzustand) Eigenschaften des Deuterons (Grundzustand) Bindungsenergie B = - 2.225 MeV Spin & Parität J^P = 1⁺

Isospin I = 0

magnetisches Moment µ = 0.857 µ_Nukleon ≠ µ_P + µ_n elektr. Quadrupolmoment Q = 0.282 e fm²

Untersuchung des Deuteron: einfachstes gebundenes System aus zwei Nukleonen (Di-Proton & Di-Neutron sind ungebunden)

Eigenschaften des Deuterons:

Spin: J = 1 ª Spins von Proton & Neutron sind parallel, Triplettzustand × × vorwiegend in Zustand mit L = 0 (96%), d.h. ³S₁ [ ^2S+1L_J ]

kleine D-Beimischung (4%), d.h. ³D₁

nicht kugelsymmetrisch up: I₃ = +½, down: I₃ = -½

dd uu dd

g

Struktur der Kernkraft ist deutlich komplexer als die Struktur z.B. der Coulombkraft/Newtonschen Gravitation (Zentralpotenziale)

- ergibt sich aus ihrer Struktur als Restwechselwirkung von farbneutralen Nukleonen (Analogie: elektromagnetische van der Waals – Kräfte zwischen neutralen Atomen )

Quantenchromodynamik Restwechselwirkung

Zentralkraft VZentralkraft V₀(r) Zentralkraft V₀₀(r)(r)

entnommen aus den Eigenschaften des Deuterons (96% ³S₁-Zustand) spinabhängige Zentralkraftspinabh

spinabhäängige Zentralkraftngige Zentralkraft

entnommen aus der Neutron-Proton Streuung (σ_Singulett > σ_Triplett) nichtzentrale Tensorkraftnichtzentrale

nichtzentrale TensorkraftTensorkraft

folgt aus den höheren Momenten der Ladungsverteilungen im Kern Spin-Bahn (ℓ·s) - KopplungstermSpin

Spin--Bahn (ℓ·Bahn (ℓ·ss) ) -- KopplungstermKopplungsterm

entnommen aus der Streuung an polarisierten Protonen (Links/Rechts Asymmetrie)

(Spin-Spin-Wechselwirkung)

Struktur der Kernkraft ist deutlich komplexer als die Struktur z.B. der Coulombkraft/Newtonschen Gravitation (Zentralpotentiale)

- ergibt sich aus ihrer Struktur als Restwechselwirkung von farbneutralen Nukleonen (Analogie: elektromagnetische van der Waals – Kräfte zwischen neutralen Atomen )

Tröpfchenmodell & Kernkräfte: auch bei schweren Kernen ist B/A ~ const., d.h. es wirken immer nur Kräfte zwischen zwei Nukleonen

Wechselwirkung zwischen Nukleonen abhängig von dynamischen Größen:

relativer Abstand x, relativer Impuls p, Gesamtbahndrehimpuls L und relative Ausrichtung der Spins s₁, s₂ :

Struktur der Kernkräfte: Potential

→ → →

→ →

( )( )

( )

( ) ( )

(

) (

)

2 4 1

2 2 1

2 2 1

2 1

2

2 2

1 0

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 3 (

/ )

( ) ( )

(

c p m

s p

s r

V

s s

r V

s s

r V

s r s

x s x r s

V

s s r V

r V r

V

ps s S T

ss

h r r r

r

l h r r rl

r

l h r r

r

r r r

r r r h

r h r

l l

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ −

⋅ ⋅ +

⋅

⋅ +

= Zentralpotenzial

Spin-Bahn Wechselwirkung nicht-zentrale Tensorkraft Spin-Spin Wechselwirkung

Spin-Spin-Kraft & LS Kopplung

Spin-Spin Kopplung

unabhängig vom Koordinaten-System, d.h. muß eine skalare Größe sein

2 2

1 /

) (

~ V_ss r ⋅ sr ⋅ sr h unterschiedliche Eigenwerte für Triplett- und Singulett-Zustände

→s

ℓ→

ℓ→ p

p

Target p

nach links

nach rechts

Experimenteller Beleg für ℓ· s – Kopplung:

Streuung von Protonen an polarisierten Protonen zeigt eine Asymmetrie der Streuraten zwischen - Linksstreuung: ℓ ^· s > 0

- Rechtsstreuung: ℓ ^· s < 0

→ →

→ →

ℓ·s Kopplung

in Analogie zur Feinstrukturaufspaltung der Atomhülle (M. Goeppert-Mayer):

Kopplung zwischen dem Bahndrehimpuls ℓ und Spin s des Nukleons

( )

r

V _s r

rl

l ( ) ⋅ ⋅

~ Spin-Bahn Kopplung

der starken Wechselwirkung

Atomhülle: kleine Feinstrukturaufspaltung Kernschalen: große Aufspaltung

Aufspaltung > Niveauabstand

Vorzeichen umgekehrt wie bei Atomen

Berechnung der Energieverschiebung der Nukleonen-Niveaus:

2 2

2

2 s s

j s

j r r

r l r l

r r r l

r = + = + ⋅ ⋅ +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅ + − ⋅ + −

=

⋅ 4

) 3 1 (

) 1 2 (

1 l l

l r

r s j j

ℓs-Kopplung des Nukleons im Kern

für j = ℓ+ ½ : V(r) + ½ V_ℓs(r) · ℓ

für j = ℓ - ½ : V(r) – ½ V_ℓs(r) · (ℓ + 1)

r l rl

l + ⋅ = ⋅

= 2

: 1 2

1 s

j

) 1 2 (

: 1 2

1 ⋅ = − ⋅ +

−

= rl r l

l s

j

ΔE ~ 2Δ ℓ +1 ΔE ~ 2E ~ 2ℓℓ +1+1

1p 1p_3/2

1p_1/2 mit wachsendem ℓ Zunahme der Aufspaltung

Vorzeichen von V_ℓs ergibt für j = ℓ - ½ höhere Energien (geringeres Potenzial)

Beispiel:

Aufspaltung 1p

Auspaltung durch Spin-Bahn Kopplung

Kernzustände mit j = ℓ+ ½ liegen tiefer als j = ℓ- ½

in jedem Niveau j : (2 j + 1) Protonen (2 j + 1) Neutronen

222 888 2020 20 2828 28 5050 50

1s 1p 1d2s 1f 2p 1g 2d 3s

He-4 O-16 Ca-40 Ni-56 Sn-100

0 0 ħħωω 1 1 ħħωω 2 2 ħħωω 3 3 ħħωω 4 4 ħħωω

V r

Einfluss des V_ℓs Terms der Spin-Bahn Kopplung auf

das Saxon-Woods-Potenzial:

maximale Beiträge von Peripherie

ℓ = 0

s↑↑ℓ s↑↓ℓ

Tensorkraft

anziehend abstoßend

Tensor-Kraft

Tensorkraft ist spinabhängig und z.B. verantwortlich für die kleine Deformation des Deuterons (³D₁-Zustand)

Proton und Neutron: Spin s = ½ , ª daher maximal Dipolmomente möglich

( )( )

2 2 1

2 1

2

) 3 (

~ s s

r

x s x r s

V_T r r r r r r

h ⋅ ⋅ − ⋅

⋅

s r

keine Tensorkraft für Singulett-Zustände

s r

s r

s r

x r

x r

Tensorkraft wird vermittelt durch

Pionaustausch, beeinflusst Schalen &

magische Zahlen

nn

pp π

entspricht formal der Wechselwirkung von 2 magnetischen Dipolen

Leuchtnukleonen & angeregte Zustände

gg-Kerne: Spins der Nukleonen heben sich paarweise auf, Spin J = 0 - nichtabgeschlossene Schalen: Leuchtnukleon definiert Spin & Parität

1 Nukleon in äußerster Schale: Gesamtspin J = j Parität P = (-1)^ℓ

- Spiegelkerne ¹⁷O / ¹⁷F : 1p / 1n in 1d_5/2 gg-Kern mit abgeschlossener Schale + 4 Neutronen + 2 Protonen: J = 0

Protonen Neutronen

angeregte Kernzustände

Grundzustand angeregte Zustände

gg ug uu

Energie [keV]

gg-Kern: 1. angeregter Zustand liegt bei hoher Energie uu-Kern: viele angeregte Zustände

bei niedrigen Energien

Abstoßung bei kleinen Abständen (< 0.8 fm)

Nukleon-Nukleon Streuexperimente bei niedrigen Energien zeigen:

- anziehender Charakter der Kernkraft bis d ~ 2 fm - abstoßender Charakter der Kernkraft für d < 0.8 fm:

Abstoßung basiert nicht auf dem Pauli-Prinzip,

12 Quarks in h³: 3 Farbladungen (rbg) , 2 Spinzustände (↑↓), 2 Isospins (u,d) resultiert aus der starken Spin-Spin Wechselwirkung der Quarks

wenn 2 Nukleonen „überlappen“: 2 der Quarks im p-Zustand Ö Abstoßung

Zusammenfassung: Struktur der Kernkräfte

Kurzreichweite der Kernkräfte ( ~ 1-2 fm)

folgt z.B. direkt aus der schwachen Bindungsenergie des Deuterons

Lösung der Schrödinger-Gleichung für Deuteron mit Zentralpotenzial V₀(r):

Ansatz eines kastenförmigen Potenzials mit R₀ = 1.3 fm ; B = -2.2 MeV ªTiefe des Potenzialtopfes: V₀ ≈ - 50 MeV

Kernkräfte als Austauschkräfte

anziehende Kernkräfte : Quarkaustausch analog zur kovalenten Bindung der Atome Modell: Nukleon-Konfiguration aufgebaut aus Diquark und einzelnem Quark

Diquark: (u,d) energetisch günstig falls Spin S = 0 & Isospin I = 0

Quarkaustausch nur subdominater Beitrag!

Diquark Diquark

ausgetauschte Quarks gleicher Farbe

u

d d

u

anziehende Kernkräfte : Mesonenaustausch im Nukleon sind virtuelle Quark-Antiquark Paare vorhanden, ª Austausch von farbneutralen

Quark-Antiquark-Paaren (Mesonen = qq Paare) dominanter Beitrag zur NN-Kraft

1-Pion-Austausch

aber auch 2-Pionen –Austausch sowie

Austausch von leichten Vektormesonen ρ, ω

q q_

Zeit t

_

Nukleon-Nukleon Potenzial: Pionaustausch

Proton Proton

Neutron Neutron

virtuelles virtuelles PionPion

oder Meson oder Meson niedrige Energie niedrige Energie

E < 1 E < 1 GeVGeV

durch die endliche Masse m_π des ausgetauschten Bosons wird die Reichweite der starken Wechselwirkung begrenzt auf R ~ 1.4 fm

ΔE · Δt = ħ Ö c · Δt ~ 1.4 fm

p

p n

π⁰ n

Meson

Meson MasseMasse ReichweiteReichweite Typ der Ww.Typ der Ww. StäStärkerke

π 138 MeV 1-2 fm langreichweitig 14.6

η 548 MeV 0.5-1 fm Bindung 8

ω 783 MeV 0.7 fm Repulsion 20

ρ 775 MeV 0.7 fm LS-Kraft 0.95

der Einpionen-Austausch kann nicht alle Eigenschaften des

Kernpotenzials erklären: Austausch weiterer Mesonen σ, ω, ρ, η, δ

ª spezielle Form des Wechsel- wirkungspotenzials (attraktive/

repulsive Bereiche) vgl. zu

Restwechselwirkung bei Atomen