Karlsruher Institut Institut f¨ur Theorie der
f¨ur Technologie (KIT) Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 09
Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 12
Dr. S. Rachel 14.7.2009
1. Phasen¨ubergang 2. Ordnung:
(a) Gegeben ist folgender Ausdruck f¨ur die Zustandssumme Z1: Z1 =
XS
m=−S
e(β zJ m)m = sinh r2S+12
sinh r12 , r = zJ kTm
Wir m¨ussen also entwickeln:
sinh(x) =x+x3 3! + x5
5! +O(x7)
⇒ ln(sinh(x)) = ln x
+ ln 1 + x2 3! +x4
5! +O(x6) ln(1 +z) =z−z2
2 +O(z3)
⇒
ln(sinh(x)) = ln(x) + x2 3! + x4
5! +O(x6)
− 1 2
x2 3! +x4
5! +O(x6)2
+ O(z3)
| {z }
=O(x6)
= ln(x) + x2 3! + x4
5! +O(x6)
− 1 2
x4 3! 3!
+ O(x6)
= ln(x) + x2
3! + x4 1
5!− 1 2 3! 3!
⇒ ln(sinh(x)) = ln(x) + x2 6 − x4
180 +O(x6) Damit ergibt sich
ln(Z1) = ln sinh(r2S+ 1 2 )
− ln sinh(r1 2)
= ln(2S+ 1) +r2 6
2S+ 1 2
2
− 1
2 2
| {z }
=S(S+ 1)
− r4 180
2S+ 1 2
4
− 1
2 4
Die zweite Klammer l¨aßt sich noch umschreiben:
2S+ 1 2
4
− 1
2 4
= 2S+ 1
2 2
− 1
2
2
2S+ 1 2
2
+ 1
2 2
= S(S+ 1) [S(S+ 1) + 1/2 ]
Die freie Energie sieht damit so aus, r= kTzJm wieder eingesetzt:
F(m) = NzJ 1
2m2− kT
zJ ln(Z1)
= NzJ 1
2m2− kT
zJ ln(2S+ 1)−1 2m2zJ
kT
S(S+ 1)
3 +
+1
4m4(zJ)3 (kT)3
S(S+ 1)
45 [S(S+ 1) + 1/2 ] Der Term ∼m2:
1 2m2
1− zJ kT
S(S+ 1) 3
= 1
2m2 T − zJk S(S+1)
3
T
!
= 1 2m2
T −TN
T
mit
kTN =zJS(S+ 1) 3
F¨ur T ≃TN kann ¨uberall, wo T nur als Vorfaktor eingeht, T =TN ersetzt werden, also ¨uberall, außer in (T −TN) . Damit wird auch
kT
zJ → kTN
zJ = S(S+ 1) 3
⇒ F(m) =NzJ 1 2
T −TN TN
m2 + 1
4bm4 − S(S+ 1)
3 ln(2S+ 1) mit
b= (zJ)3 (kTN)3
S(S+ 1)
45 [S(S+ 1) + 1/2 ] ⇒ b = 1 5
S(S+ 1) + 1/2 S2(S+ 1)2
Die Entwicklung bis zur Ordnung∼m4ist n¨otig, damit das System auch f¨urT < TN
stabil bleibt, wenn der Vorfaktor vorm2 negativ wird. Daf¨ur ist es auch notwendig, alle Terme ∼ m4 bzw. ∼ x4 in der Entwicklung von ln(sinh(x)) mitzunehmen, da sonst das Vorzeichen von b >0 nicht richtig rauskommt.
Abbildung 1: Zu Aufgabe 1 (b): Das freie Energie-Funktional F als Funktion von m. Die Kurve, die nur ein Minimum besitzt, korrespondiert zu T > Tc, die Kurve mit 2 Minima korrespondiert zu T < Tc.
(b) Minimum der freien Energie:
∂F(m)
∂m
T
= 0 =NzJT −TN
TN
m + bm3 Es gibt also zwei L¨osungen: m= 0 und
bm2 = TN −T TN
falls T < TN
F¨ur T < TN ist offenbar F kleiner, wenn m endlich ist, also:
⇒ m(T) =
( T > TN : 0 T < TN : ±
TN−T b TN
1/2
Der Ordnungsparameter zeigt am Phasen¨ubergang das f¨ur Molekularfeldtheorien typische √ -Verhalten, m(T) ∝ √
TN −T . Aufgrund der in a) gemachten Ent- wicklung gilt dieses Ergebnis nur f¨ur T ≃TN.
2. Phasen¨ubergang 1. Ordnung:
(a) Gleichgewichtswert vonγ (Gleichgewicht eigentlich nur, wenn auchηbestimmt und eingesetzt wird ...):
∂F
∂γ = 0 =dη+gγ , γ =−d
gη , F(η) =a(T −T0)η−[ d2 2g −b]
| {z }
=: ˜b
η2+cη3
Qualitativer Verlauf vonF(η) :
T= gross
T= klein T~Tc
−30
−20
−10 0 10 20 30 40 50
0 1 2 3 4 5
(Beachte: nach Definition ist η=|P|2 ≥0 .)
Man sieht: f¨ur große Temperatur gibt es ein Minimum beiη = 0 , f¨ur kleineT eines bei einem endlichen η0 > 0 , und bei einer bestimmten Temperatur Tc dazwischen entarten gerade die Minima, F(η0) = F(0) . Von T > Tc kommend wird also der Ordnungsparameterηvonη = 0 zuη=η0 springen⇔Phasen¨ubergang 1. Ordnung bei Tc.
(b) F¨ur Tc brauchen wir den Wert η0 des Ordnungsparameters, also die Position des Minimums beiη >0 :
∂F
∂η = 0 =a(T −T0)−2˜bη+ 3cη2 ⇒ η± = ˜b 3c
"
1± r
1− 3ac
˜b2 (T −T0)
#
Zweite Ableitung:
∂2F
∂2η
η±
= (−2˜b+ 6cη±) =±2˜b√. . .
D.h.,η0 =η+ ist das Minimum, und η0 =η+ ist der Gleichgewichtswert, den η f¨ur T < Tc annimmt.
Tc folgt nun aus der Bedingung, daß die beiden Minima bei η = 0 und η = η+
entarten, d.h.,
0 =F(0) =F(η+) =h
a(T −T0)−˜bη++cη+2 i η+
Jetzt muß manη+ einsetzen, oder z.B. (T −T0) durch η+ ausdr¨ucken → F(η+) =h
(2˜bη+−3cη+2)−˜bη++cη+2 i
η+= [ ˜b−2cη+]η+2 = 0 → ˜b = 2c η+(Tc) Einsetzen vonη+:
⇒ ˜b = 2c˜b 3c
1 +√. . . 1
2 = √. . . 1
4 = 1−3ac
˜b2 (Tc−T0)
⇒ (Tc−T0) = ˜b2 4ac
⇒ Tc =T0+ ˜b2 4ac Verlauf von η(T) :
T =Tc−δ : η(T) =η+(Tc) T =Tc+δ : η(T) = 0
→
η(T)|T≃Tc =η+(Tc) Θ(Tc −T) = ˜b
2cΘ(Tc −T) Verlauf von γ(T) :
γ =−d
gη → γ(T)|T≃Tc =− d˜b
2cg Θ(Tc−T) (c) Latente W¨arme:
Ql =T ∆S , ∆S =S(T =Tc+δ)−S(T =Tc−δ)≡S>−S<
Entropie: Die T-Abh¨angigkeit von η muß mitgenommen werden, denn aus dem freie Energiefunktional F(T, η) wird die physikalische freie Energie F(T, η(T)) im Gleichgewicht erst durch Einsetzen des Gleichgewichtswertes η(T) .
S =−∂F
∂T =− ∂F
∂η
T
∂η
∂T − ∂F
∂T
η
T =Tc+δ : η(T) = 0 f¨ur alle T > Tc → F(T)≡0 → S> = 0 T =Tc−δ : η(T) =η+(T) ,
∂F
∂η
T
= ∂F
∂η
η+
= 0 ,
∂F
∂T
η
= ∂F
∂T
η+
=aη+ Damit folgt
T =Tc−δ : S<=−aη+(Tc) , η+(Tc) = ˜b
2c von oben ⇒ Ql =Tc a˜b 2c
