Zeigen Sie, dass Y :={f ∈H1(Ω)|kfkH1(Ω) ≤R} eine (bez¨uglich derL2-Norm) abgeschlossene Teilmenge von L2(Ω) ist

TU Wien SS 2009 Institute for Analysis and Scientific Computing

Prof. A. Arnold, Dipl.-Math. J. Sprenger

10. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen”

(Nichtlineare hyperbolische Gleichungen)

1. Aufgabe

Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Randund R >0. Zeigen Sie, dass Y :={f ∈H¹(Ω)|kfk_H¹_(Ω) ≤R}

eine (bez¨uglich derL²-Norm) abgeschlossene Teilmenge von L²(Ω) ist.

2. Aufgabe

Gegeben sei die lineare Klein-Gordon-Gleichung Φ⁰ = −iAΦ

Φ(0) = Φ₀ ∈X =H¹(Rⁿ)×L²(Rⁿ)

mit

A=i

0 I

∆−m² 0

.

Zeigen Sie:

a) A ist selbstadjungiert.

b) Ist B² =−∆ +m² mit Definitionsgebiet H²(Rⁿ), so gilt kB²uk_L² ' kuk_H².

3. Aufgabe

Zeigen Sie, dass aus der stetigen Einbettung H¹(Rⁿ),→L^q(Rⁿ) f¨ur 2≤q≤ _n−2²ⁿ , n ≥3

2≤q <∞, n = 2 2≤q ≤ ∞, n = 1 die Sobolevungleichung

kuk_L^q_(Rⁿ₎ ≤C(q, n)kuk^1−α_L2(Rⁿ)k∇uk^α_L2(Rⁿ), α= ⁿ₂(1−²_q) folgt.

Hinweis: Mit Skalierung und Optimierung.

4. Aufgabe

Zeigen Sie, dass f¨ur die inhomogene Schr¨odingergleichung f¨ur h∈C(R;L²(Rⁿ)) iu_t−∆u = h auf Rⁿ×R

u(·,0) = u0 ∈L²(Rⁿ)

gilt: Ist u eine klassische L¨osung, das heißt u∈C¹(R, L²(Rⁿ)), u(t)∈H²(Rⁿ) f.a.

t∈R und obige Gleichungen sind erf¨ullt, so ist u auch milde L¨osung.

Hinweis: Betrachten sie die Ableitung vong(s) :=T0(t−s)u(s)∈C¹(0, t;L²(Rⁿ))

5. Aufgabe

Zeigen Sie anhand der L¨osungsformel aus der Vorlesung, dass die Gruppe T0(t), t∈R der linearen, freien Schr¨odingergleichung unit¨ar ist.

Besprechung in der ¨Ubung am 12.06.