Hans Walser, [20171120]
Tetraeder im Würfel 1 Worum geht es?
Wenn wir im Einheitswürfel jede zweite Ecke verbinden, erhalten wir ein regelmäßiges Tetraeder der Kantenlänge 2 (Abb. 1).
Abb. 1: Tetraeder im Würfel
Der Rest des Würfels besteht aus vier unregelmäßigen Tetraedern mit drei Kanten der Länge 1 (diese liegen auf den Würfelkanten) und drei Kanten der Länge 2 (auf den Kanten des regelmäßigen Tetraeders). Ich bezeichne diese unregelmäßigen Tetraeder als Ecktetraeder, da sie mit dem Würfel je eine Ecke gemeinsam haben.
Dieser Sachverhalt wird mit Papiermodellen nachgebaut.
Dabei erhalten wir zusätzlich auch das Oktaeder.
2 Bauvorgang
2.1 Das regelmäßige Tetraeder
Die Abbildung 2 zeigt die Abwicklung. Die grau getönten Dreiecke sind Verbindungs- elemente. Die roten Linien sind Faltlinien im Sinne von Talfalten.
Abb. 2: Abwicklung des Tetraeders
Wir arbeiten mit zwei Lagen oder Schichten.
Für die innere, unsichtbare Lage verwenden wir das Schnittmuster der Abbildung 91 im Anhang. Dieses Schnittmuster ist längenmäßig auf 96% reduziert worden, um die Pa- pierdicke zu kompensieren. (Bei größeren Modellen genügt eine Reduktion auf 98%.) Wir drucken das Schnittmuster aus und legen es auf einen Stapel neutralen Papiers. Die Anzahl der Blätter im Stapel entspricht der Anzahl Tetraeder die wir bauen wollen. Wir tackern den Stapel am Rand außerhalb des Schnittmusters zusammen. Es genügen drei Klammern, möglichst weit vom Schnittmuster entfernt, damit wir beim Schneiden das Lineal nicht auf die Klammern legen müssen.
Die Farbe dieser Papiere soll sich unterscheiden von den Farben, die im fertigen Modell außen sichtbar sein sollen. Damit erhalten wir kein Durcheinander auf dem Basteltisch.
Dann schneiden wir mit einem Japanmesser aus und erhalten so einen ganzen Stapel von Schnittmustern. Beim Ausschneiden achten wir darauf, dass möglichst lange mög- lichst viele Tackerklammern aktiv bleiben, das heißt mit dem Schnittgut in Verbindung sind. Erst beim letzten Schnitt soll die letzte Tackerklammer weggeschnitten werden.
In der Abbildung 91 sind keine Faltlinien eingezeichnet. Wir haben somit auf unseren Bauteilen keine Faltlinien und nur die Umrisslinien vom Schnittprozess. Trotzdem kön- nen wir die ausgeschnittenen Bauteile sehr gut falten, da die Faltlinien ja in ein regel- mäßiges Dreiecksraster gehören.
Die Abbildung 3 zeigt das gefalteten Bauteil.
Abb. 3: Bauteil für die innere, unsichtbare Lage
Wir falten das Bauteil nun zum Tetraeder auf und zwar so, dass die äußersten Verbin- dungsdreiecke außen zu liegen kommen. Dies ist ungewohnt, weil Verbindungslaschen traditionell innen und unsichtbar verbaut werden. Wir müssen aber beachten, dass wir es hier mit der inneren Lage zu tun haben, die im fertigen Modell außen nicht mehr sichtbar ist.
Die Abbildung 4 zeigt eine Zwischenstufe und das Endergebnis dieses Vorgangs.
Abb. 4: Auffalten
Für die äußere, sichtbare Lage verwenden wir das Schnittmuster der Abbildung 92 im Anhang. Der Ausschneideprozess geht analog zur inneren Lage, wobei wir aber jetzt mit der später sichtbaren Farbe arbeiten. Wir falten auch analog.
Die Abbildung 5a zeigt die innere Lage im gefalteten Bauteil für die äußere Lage. Für die äußere Lage müssen die Verbindungsdreiecke innen platziert werden. Dies geht reihum sehr einfach, lediglich das letzte Verbindungsdreieck muss eingesteckt werden.
So erhalten wir das Tetraeder (Abb. 5b).
Abb. 5: Äußere Lage und fertiges Tetraeder-Modell
2.2 Ecktetraeder
Die Abbildung 6 zeigt die Abwicklung der Ecktetraeder.
Abb. 6: Abwicklung Ecktetraeder
Der Arbeitsvorgang ist analog zum regelmäßigen Tetraeder. Die Abbildung 93 zeigt das Schnittmuster für die innere Lage. Das Schnittmuster ist so ausgelegt, dass wir pro Blatt zwei Bauteile erhalten.
Beim Falten muss man ein bisschen den Kopf anstrengen. Geht aber.
Die Abbildung 94 zeigt das Schnittmuster für die äußere, sichtbare Lage. Für die äußere Lage kann mit verschiedenen Farben gearbeitet werden.
Wir bauen die vier benötigten Ecktetraeder und kleben sie an den Kanten gelenkig mit Klebeband zusammen (Abb. 7). Dies ist der einzige Schritt, wo wir Klebeband benöti- gen.
Abb. 7: Die vier Ecktetraeder
Man beachte, dass sowohl das regelmäßige Tetraeder (Abb. 5b) wie auch eines der vier Ecktetraeder (Abb. 7) in meinen Modellen aus violettem Papier gefertigt sind. Dies ist didaktisch ungeschickt und liegt daran, dass ich keine weiteren Farben zur Verfügung hatte.
3 Einfügen des regelmäßigen Tetraeders
Wir drehen jetzt das Gelenkmodell der Abbildung 7 um und legen das regelmäßige Tet- raeder hinein (Abb. 8).
Abb. 8: Hineinlegen des regelmäßigen Tetraeders
Nun können wir das Modell zum Würfel schließen (Abb. 9).
Abb. 9: Schließen zum Würfel
4 Link zum Oktaeder
Wir können die Gelenke an den Kanten der vier Ecktetraeder (Abb. 7) in der anderen Richtung bis zum Anschlag umlegen (Abb. 10). Wir erhalten in der Mitte einen Punkt, an dem sechs rechte Winkel aneinander stoßen. Dies ist natürlich in der ebenen Geo- metrie nicht möglich, aber wir sind ja im Raum.
Abb. 10: Andere Richtung
Wir überlegen uns, dass wir die Figur durch eine zweite, kongruente Figur komplemen- tär ergänzen können.
Die zweite Figur wird aus ästhetischen Gründen farbmäßig spiegelbildlich gearbeitet (Abb. 11).
Abb. 11: Spiegelbildliche Farbanordnung
Wir können nun die beiden Figuren gemäß Abbildung 10 zu einem Oktaeder zusam- menfügen (Abb. 12).
Abb. 12: Oktaeder
Im Oktaeder sind jeweils gegenüberliegende Seitendreiecke gleicher Farbe.
5 Anhang
Abb. 91: Schnittmuster 96% für Tetraeder 96%
Abb. 92: Schnittmuster 100% für Tetraeder 100%
Abb. 93: Schnittmuster 96% für Ecktetraeder 96%
96%
Abb. 94: Schnittmuster 100% für Ecktetraeder 100%
100%
