Growth, External Debt Constraints and Budgetary Policies

Munich Personal RePEc Archive

Growth, External Debt Constraints and Budgetary Policies

Dai, Meixing

University of Strasbourg, BETA-Theme, France

April 1992

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/14001/

MPRA Paper No. 14001, posted 11 Mar 2009 16:02 UTC

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❖✉r ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✐♥t❡r❡st ✐s t♦ ❡①❛♠✐♥❡ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡

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❙♦♠❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s s♣❡❝✐✜❝ t♦ ♦✉r ♠♦❞❡❧ ♣❡r♠✐t ✉s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥✲

t❡r❡st✐♥❣ r❡s✉❧ts ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ▼✉r♣❤②✬s ♦♥❡s ❛♥❞ ❢r♦♠ t❤❡s❡ ♦❢ ❇❍❆◆❉❆❘■✱

❍❆◗❯❊ ❛♥❞ ❚❯❘◆❖❱❙❑❨✳ ❋✐rst✱ ✇❡ ❣✐✈❡ ✉♣ t❤❡ ✢❡①✐❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❛❧ ✇❛❣❡ ❛♥❞ ❢✉❧❧

❡♠♣❧♦②♠❡♥t ❛ss✉♠♣t✐♦♥✳ ❆♥ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❣✐✈❡♥ ✇❛❣❡ r❛t❡✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s✱

✐s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞✳ ^✹ ❲❡ ❛ss✉♠❡✱ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ t❤❡② ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r t❤❡ t✇♦ s❡❝t♦rs✳

❚❤✐s ❡①♦❣❡♥♦✉s❧② ❣✐✈❡♥ ✇❛❣❡ ✐s t♦♦ ❤✐❣❤ t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❢✉❧❧ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ♦❢ t♦t❛❧

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✹■♥ ❱❆❘❖❯❉❆❑■❙ ✭✶✾✾✵❜✮✱ t❤✐s r✐❣✐❞ ✇❛❣❡ r❛t❡ ✐s ❥✉st✐✜❡❞ ❛s ❡✣❝✐❡♥t ✇❛❣❡ ✐♥

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✺

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■♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✱ ✇❡ ❝♦♥str✉❝t t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❝❛♣✐t❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❡♠♣❧♦②✲

♠❡♥t✱ ❛♥❞ ✇❡ st✉❞② t❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠❀ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✸✱ ✇❡ st✉❞② t❤❡ st❛❜✐❧✐t②

♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ s②st❡♠s ✉♥❞❡r t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❡①t❡r♥❛❧ ❞❡❜t ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ✐♥ s❡❝t✐♦♥

✹✱ ✇❡ ❧❛② ♦✉t ❧♦♥❣✲r✉♥ ❡✛❡❝ts ♦❢ s♣❡♥❞✐♥❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❜✉❞❣❡t❛r② ♣♦❧✐❝✐❡s✱ ✐♥ s❡❝t✐♦♥

✺✱ t❤❡ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❞②♥❛♠✐❝ ❛❞❥✉st♠❡♥t ♣r♦✜❧❡ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡s t♦ ♥♦♥✲

❛♥t✐❝✐♣❛t❡❞ ♣❡r♠❛♥❡♥t ❜✉❞❣❡t❛r② ♣♦❧✐❝✐❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥❛❧②③❡❞ ✐♥ ❞♦✐♥❣ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥

❡①❡r❝✐s❡ ❀ ✇❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ ✜♥❛❧❧② ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✻✳

✷

^{❚❤❡ ♠♦❞❡❧}

✷✳✶

^{❚❤❡ ✜r♠s}

❚❤❡ ❞♦♠❡st✐❝ ✜r♠s ♣r♦❞✉❝❡ tr❛❞❡❞ ❛♥❞ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s ✉s✐♥❣ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ❧❛❜♦r

❛s ✐♥♣✉ts t❤r♦✉❣❤ ❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

Y =F(L, K), ✭✶✮

✇❤✐❝❤ ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ♣♦ss❡ss st❛♥❞❛r❞ ♥❡♦❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s F_L, F_K >0, F_LL, F_KK <0, F_LLF_KK−F_LK^K >0;

✇❡ ❛ss✉♠❡ ❛❧s♦ t❤❛t t❤✐s ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ s❛t✐s✜❡s ❛ ♥♦r♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✇❤✐❝❤

t❛❦❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✿ ^✺

F_LL^T F_K^T −F_L^TF_LK^T <0.

◆❡t ♣r♦✜t ♦❢ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ✜r♠ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ s❡❝t♦r ❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ♦❢

t✐♠❡ ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

π^N =FN(L^N, K^N)−w

pL^N −Ψ^N(I^N), ✭✷✮

✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♣❡rs❝r✐♣t ✏N✑ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t ❛❧❧ t❤❡s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝♦♥❝❡r♥ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞

s❡❝t♦r✳ K^N✱L^N ❛♥❞ w/p❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❡①✐st❡♥t st♦❝❦ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ✱ t❤❡ ❧❡✈❡❧

✺❚❤❡ ♥♦r♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✇❤❡♥ t❤❡ t♦t❛❧

❝♦st ✐♥❝r❡❛s❡s✱ t❤❡ ❞❡♠❛♥❞ ♦❢ ❡✈❡r② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥♣✉t ❛✉❣♠❡♥ts✳ ❚❤✐s ❝♦♥❝❡♣t ✐s

❞❡r✐✈❡❞ ❜② ❛♥❛❧♦❣② t♦ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐t② ♦❢ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❣♦♦❞s ✐♥ ✉t✐❧✐t②✳

✻

♦❢ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ r❡❛❧ ✇❛❣❡ r❛t❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ s❡❝t♦r✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥Ψ(.) r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ t♦t❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ ✐♥st❛❧❧❛t✐♦♥ ❝♦sts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣✉r❝❤❛s❡

❛♥❞ ✐♥st❛❧❧❛t✐♦♥ ♦❢ I^N ✉♥✐ts ♦❢ ♥❡✇ ❝❛♣✐t❛❧ ❣♦♦❞s✳ ■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ❛ ❝♦♥✈❡①

❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ I^N✱ t❤❛t ✐s✱ Ψ^N_I >0 ❛♥❞ Ψ^N_II >0✳ ❚❤✐s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s t❤❡ ♦r✐❣✲

✐♥❛❧ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥st❛❧❧❛t✐♦♥ ❝♦sts ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ▲❯❈❆❙ ✭✶✾✻✼✮ ❛♥❞ ●❖❯▲❉

✭✶✾✻✽✮✳ ❆❇❊▲✭✶✾✼✾✮ ❛♥❞ ❍❆❨❆❙❍■✭✶✾✽✷✮ ♣♦st✉❧❛t❡ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❛♥ ✐♥st❛❧❧❛t✐♦♥ ❝♦st

❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t ❞❡♣❡♥❞s ✉♣♦♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥t st♦❝❦ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ♥❡✇ ✐♥✈❡st♠❡♥t✳

❚❤✐s ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ ❛❞♦♣t❡❞ ❜② ❙❊◆ ❛♥❞ ❚❯❘◆❖❱❙❑❨✭✶✾✽✾✮✱

❛♥❞ ❇❖❘❊◆❙❚❩❊■◆✭✶✾✽✾✮✳

❆ss✉♠✐♥❣ ♣❡r❢❡❝t ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s ♠❛r❦❡t✱ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥✲

t❛t✐✈❡ ✜r♠ ♠❛①✐♠✐③❡s t❤❡ ♣r❡s❡♥t ✈❛❧✉❡ ♦❢ ✐ts ♣r♦✜ts ✭❝❛s❤✲✢♦✇s✮✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❛ss✉♠❡

t❤❛t t❤❡ ✜r♠ ✜♥❛♥❝❡s ✐ts ✐♥✈❡st♠❡♥ts ♣✉r❡❧② ❜② r❡t❛✐♥❡❞ ❡❛r♥✐♥❣s ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡

❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❜♦rr♦✇✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s ♠❛✐♥t❛✐♥❡❞ ✇❤❡♥ st✉❞② t❤❡

tr❛❞❡❞ s❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ✜r♠✳

❚❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ✜r♠✬s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇✲

✐♥❣✿

max Z ^∞

0 [F^N(K^N, L^N)−w

pL^N−Ψ^N(I^N)]e^−rtdt, ✭✸✮

✉♥❞❡r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦ ❝♦♥str❛✐♥t✿

K˙^N =I^N−δK^N. ✭✹✮

❚❤❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ♦❢ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✐s H = [F^N(K^N, L^N)−w

pL^N−Ψ^N(I^N)] +q^N(I^N −δK^N), ✭✺✮

✇❤❡r❡q^N ✐s t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✭✹✮✳

❚❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡✿

F_L^N = w

p, ✭✻✮

q^N = Ψ^N_I , ✭✼✮

˙

q^N = (r+δ)q^N −F_K^N, ✭✽✮

K˙^N =I^N−δK^N, ✭✾✮

slim→∞I^Ne^−rs= 0. ✭✶✵✮

❚❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ q^N ✐s t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦✬s r❛t✐♦ ♦❢ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥✱ ✐t ✐s

♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡✳

✼

❚❤❡ tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ✜r♠✬s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿

max Z ∞

0 [F^T(K^T, L^T)−wL^T −Ψ^T(I^T)]e^−rtdt, ✭✶✶✮

✉♥❞❡r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦ ❝♦♥str❛✐♥t✿

K˙^T =I^T −δK^T. ✭✶✷✮

❚❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡✿

F_L^T =w, ✭✶✸✮

q^T = Ψ^T_I, ✭✶✹✮

˙

q^T = (r+δ)q^T −F_K^T, ✭✶✺✮

K˙^T =I^T −δK^T, ✭✶✻✮

slim→∞I^Te^−rs= 0. ✭✶✼✮

✇❤❡r❡ q^T ✐s t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✭✶✷✮ ❛♥❞ t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦✱

K^T✱ ✐s ♠❡s✉r❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❛❜❧❡✳

❚❤❡ ❧❛❜♦r ♠❛r❦❡t ✐s ❣❡♥❡r❛❧❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥✲❜✐♥❞✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t✱ t❤❛t ✐s L^N+L^T <L✱ t❤❡ t♦t❛❧ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ✐♥ t❤❡ t✇♦ s❡❝t♦r ✐s ✐♥❢❡r✐♦r t♦ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❢✉❧❧¯

❡♠♣❧♦②♠❡♥t✱ L¯✳ ❆t ♦♥❡ ❤❛♥❞✱ t❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❣✐✈❡ ♦✉t ❞②♥❛♠✐❝ ❡✣❝✐❡♥t

❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦s ❛♥❞ ✐ts ♠❛r❣✐♥❛❧ ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❤❡ s❤♦rt✲ ❛♥❞ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡✲

r✉♥✳ ❆t ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❣✐✈✐♥❣ t❤❡ s❡❝t♦r s♣❡❝✐✜❝ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦s ^✻ ❛♥❞ ♥♦♥✲❜✐♥❞✐♥❣

❧❛❜♦r ♠❛r❦❡t ❝♦♥str❛✐♥t ^✼✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡✱ ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡

✜r♠s ♣r♦❜❧❡♠✱ ❛♥ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ♦✛❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❡✈❡r② s❡❝t♦r✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

✭✻✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡

∂L^N

∂p =−F_L^N2

pF_LL^N , ∂L^N

∂K^N =−F_LK^N F_LL^N .

❚❤❡♥ ✐♥ ✉s✐♥❣ t❤❡s❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛♥❞ ♥♦r♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢❛❝✲

t♦rs ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r✱ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ♦✉t t❤❛t✿

y^N(K^N, p), y_K^N >0, y_p^N >0.

✻❲❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐s ♥♦t r❡❛❧❧♦❝❛t❡❞ ❛❝r♦ss t❤❡ s❡❝t♦r ✐♥ t❤❡ s❤♦rt✲

r✉♥✱ ❜✉t t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ♥❡✇ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❧♦♥❣✲r✉♥ ❡q✉❛❧✐③✐♥❣ r❡t✉r♥

r✉❧❡✳

✼❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ✐♥ ♦♥❡ s❡❝t♦r ❞♦❡s ♥♦t ✐♥❞✉❝❡ ❛ ❝♦r✲

r❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ♦t❤❡r s❡❝t♦r ❛s ✐♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞

✢❡①✐❜❧❡ ✇❛❣❡ ❛♥❞ ❢✉❧❧ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤✐s ❡①❝❧✉❞❡s ♦✉t t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♠♦✈❡✲

♠❡♥t ♦❢ tr❛❞❛❜❧❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ r❡❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❧❛❜♦r ❜❡t✇❡❡♥ s❡❝t♦rs✳

✽

❚❤❡ r❡❛❧ r❛t❡ ♦❢ r❡t✉r♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r R^N =F_K^N ❝❛♥ ❜❡

s❤♦✇♥ t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♠♣❧✐❝✐t ❢♦r♠✿

R^N(K^N, p), R^N_K>0, R^N_p >, <0,ifF_KL^N >, <0.

■♥ ✉s✐♥❣ ✭✶✸✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥♣✉t ♥♦r♠❛❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t t❤❡ ♣r♦✲

❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ y^T ❤❛s ❛ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦ ❛s y^T_K =F_K^T +F_L^T dL^T

dK^T =F_K^T −F_L^TF_LK^T F_LL^T >0.

❚❤❡ ♦✛❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ t❤❡♥ ❛s y^T(K^T), y^T_K >0.

❚❤❡ r❡❛❧ r❡t✉r♥ ♦❢ t❤❡ tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r ❝❛♣✐t❛❧ st♦❝❦ R^T = F_KL^T ✐s ❛ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣

❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ K^T ♦♥❧②✿

R^T(K^T), R^T_K <0.

✷✳✷

❚❤❡ ❝♦♥s✉♠❡r

❚❤❡ ✐♥✜♥✐t❡❧②✲❧✐✈❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❝♦♥s✉♠❡r ♠❛①✐♠✐③❡s t❤❡ ❞✐s❝♦✉♥t❡❞ s✉♠ ♦❢ ✐♥✲

st❛♥t❛♥❡♦✉s ✉t✐❧✐t②✿

max Z ∞

0 u(c^T, c^N)e^−ρtdt, ✭✶✽✮

✉♥❞❡r t❤❡ ✐♥t❡rt❡♠♣♦r❛❧ ❜✉❞❣❡t❛r② ❝♦♥str❛✐♥t

˙

a=ra+c^T +pc^N+ Ψ^T(I^T) +pΨ^N(I^N) +τ −y^T −py^N. ✭✶✾✮

❍❡r❡✱ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ✉t✐❧✐t② ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s C^N

❛♥❞ tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s C^T✱ ❛♥❞ρ ✐s t❤❡ ❝♦♥st❛♥t ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s r❛t❡ ♦❢ t✐♠❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✳

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ ✐ts t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❛♥❞ t❤❛t ❜♦t❤ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❣♦♦❞s ❛r❡ ♥♦r♠❛❧✳ ^✽ ❚❤❡ ❞❡❜t ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥

❢♦r t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❝♦♥s✉♠❡r ✐s t❤❡♥ ❣✐✈❡♥ ❛s ✭✶✾✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ ❤✐s ✐♥t❡rt❡♠✲

♣♦r❛❧ ❜✉❞❣❡t✱ ✇✐t❤ a ❛s t❤❡ st♦❝❦ ♦❢ ❞❡❜t✱ ♠❡❛s✉r❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s✱

❤❡❧❞ ❜② t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❝♦♥s✉♠❡r❀ ❛♥❞ ✇✐t❤ τ ❛s t❤❡ ❧✉♠♣✲s✉♠ t❛① ♣❛✐❞ t♦ t❤❡

❣♦✈❡r♥♠❡♥t✳

✽❚❤❡ ♥♦r♠❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❣♦♦❞s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥ t❤❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ❣♦♦❞s ✉t✐❧✐t②

❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ u_iiu_j−u_iu_ji✳ ❚❤✐s ♣❡r♠✐ts ✉s t♦ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ s♦♠❡ ❛♠❜✐❣✉✐t✐❡s ✐♥

t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞✐s❝✉ss✐♦♥✳

✾

❚❤❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ♦❢ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s✿

H=u(c^T, c^N)−λ(ra+c^T +pc^N + Ψ^T(I^T) +pΨ^N(I^N) +τ −y^T −py^N), ✭✷✵✮

✇❤❡r❡λ✐s t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✭✶✾✮✳

❚❤❡ ✜rst✲♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡

uT =λ, ✭✷✶✮

uN =pλ, ✭✷✷✮

λ˙ = (ρ−r)λ, ✭✷✸✮

slim→∞ae^−rs= 0. ✭✷✹✮

❚❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✳ ❲❡ ✐❣♥♦r❡ ❤❡r❡ t❤❡

❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ❝❛♣✐t❛❧✐sts ❛♥❞ ✇♦r❦❡rs✱ t❤❛t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ ❛♥❞ t❤❡

✉♥❡♠♣❧♦②❡❞ ❛♥❞ t❤❛t ❜❡t✇❡❡♥ t❤♦s❡ ❡♠♣❧♦②❡❞ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t s❡❝t♦rs✳ ❈♦♥s✉♠❡rs ❛r❡

❛ss✉♠❡❞ t♦ ♦✇♥ ❛❧❧ ❢❛❝t♦rs ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ t♦ r❡❝❡✐✈❡ r❡♥t❛❧ ♣❛②♠❡♥ts t❤❛t ❡q✉❛❧

t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✳ ❚❤❡② ❛r❡ ♣❡r♠✐tt❡❞ t♦ ❜♦rr♦✇ ❛♥❞ ❧❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧

❛♥❞ t❤❡ ✇♦r❧❞ ✜♥❛♥❝✐❛❧ ♠❛r❦❡ts ❛t ❛♥ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ s♣❡❝✐✜❝ t♦ t❤❡✐r ❝♦✉♥tr②✱ s✉❜❥❡❝t t♦ ❛♥ ✐♥t❡rt❡♠♣♦r❛❧ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t✳

❚❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ♠❛r❣✐♥❛❧ ✉t✐❧✐t② ♦❢ tr❛❞❡❞ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❡✈♦❧✈❡s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦

✭✷✸✮✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t λ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ✇❡❛❧t❤ ✐♥ t❡r♠s

♦❢ tr❛❞❛❜❧❡ ❣♦♦❞s✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ❡q✉❛❧✱ ❛t ❡✈❡r② ♠♦♠❡♥t✱ t♦ t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ♠❛r❣✐♥❛❧

✉t✐❧✐t② ♦❢ tr❛❞❡❞ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✱ s✐♥❝❡∂u_N/∂u_T =λ❀ ❛♥❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✉❜s❝r✐♣ts ❞❡♥♦t❡

t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✭✷✸✮ ♠❡❛♥s t❤❛t✱ ✐❢ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✐✈❡

r❛t❡ ♦❢ ❞✐s❝♦✉♥t ❡①❝❡❡❞s ✭❢❛❧❧s s❤♦rt ♦❢✮ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ t✇♦ ❣♦♦❞s ♠✉st ❜❡ ❛❞❥✉st❡❞ s♦ ❛s t♦ r❛✐s❡ ✭❧♦✇❡r✮ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ✉t✐❧✐t② ♦❢ tr❛❞❡❞

❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✳

✷✳✸

❚❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t

❚❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ♦♣❡r❛t❡ ✐♥ ❛❝❝♦r❞❛♥❝❡ ✇✐t❤ ✐ts ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t✿

b˙ =rb+pg^N +g^T −τ, ✭✷✺✮

✇❤❡r❡ b ✐s t❤❡ st♦❝❦ ♦❢ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t ❞❡❜t✱ g^N ❛♥❞ g^T ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❣♦✈❡r♥♠❡♥t s♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s ❛♥❞ tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s✳ ❚❤❡s❡ s♣❡♥❞✐♥❣s ❛r❡ ❛ss✉♠❡❞ t♦

❤❛✈❡ ♥♦ ❞✐r❡❝t ❡✛❡❝t ♦♥ ❝♦♥s✉♠❡r✬s ✉t✐❧✐t② ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝t✐✈❡ t❡❝❤♥♦❧♦❣②✳ ❆ ❞❡✜❝✐t ✐s

♣r♦❞✉❝❡❞ ✐❢ t❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t s♣❡♥❞✐♥❣s ♣❧✉s t❤❡ ✐♥t❡r❡st ♦❜❧✐❣❛t✐♦♥s ♦♥ ♦✉tst❛♥❞✐♥❣

❞❡❜t ✐s ♠♦r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t t❤❛♥ ✐ts ❝✉rr❡♥t r❡✈❡♥✉❡s✳ ■t ♠✉st ❜❡ ✜♥❛♥❝❡❞ ❡✐t❤❡r ❜②

✐♠♣♦s✐♥❣ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❧✉♠♣✲s✉♠ t❛①❡s ♦r ❜② ✐ss✉✐♥❣ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❡❜t✱ t❤✐s ❤❛s ♥♦

✶✵

✐♠♣♦rt❛♥❝❡ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✐♥✜♥✐t❡❧②✲❧✐✈❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❛❣❡♥t✳ ❚❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t✬s

✐♥t❡rt❡♠♣♦r❛❧ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥t r❡q✉✐r❡s t❤❛t t❤❡ ♣r❡s❡♥t ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ str❡❛♠ ♦❢

❢✉t✉r❡ s✉r♣❧✉s ❡①❛❝t❧② ♦✛s❡ts t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ✐ts ❝✉rr❡♥t ❞❡❜t✳

✷✳✹

❚❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠

✷✳✹✳✶ ❚❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s

❚❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

y(K^N, p) =c^N+ Ψ^N(I^N) +g^N, ✭✷✻✮

u_T =λ, ✭✷✼✮

u_N =pλ, ✭✷✽✮

q^N = Ψ^N_I , ✭✷✾✮

q^T = Ψ^T_I, ✭✸✵✮

˙

q^N = (r+δ)q^N−R^N(K^N, p) ✭✸✶✮

K˙^N =I^N−δK^N, ✭✸✷✮

˙

q^T = (r+δ)q^T −R^T(K^T), ✭✸✸✮

K˙^T =I^T −δK^T, ✭✸✹✮

λ˙ = (ρ−r)λ, ✭✸✺✮

B˙ =rB+c^T +pc^N + Ψ^T(I^T) +pΨ^N(I^N) +g^T +pg^N −y^T −py^N. ✭✸✻✮

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✻✮✱ ✭✷✼✮✱ ✭✷✽✮ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ c^T✱c^N ❛♥❞ p ✐♥ t❡r♠s ♦❢

λ✱q^N✱K^N ❛♥❞g^N✳ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✾✮✱ ✭✸✵✮ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡I^N ❛♥❞ I^T r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ✐♥ t❡r♠s ♦❢q^N ❛♥❞q^T✳ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❡①t❡r♥❛❧ ❞❡❜t✱ ✭✸✻✮✱ ✐s ❛ s✐♠♣❧❡

s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r✐✈❛t❡ ❛♥❞ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t❛❧ ✐♥t❡rt❡♠♣♦r❛❧ ❜✉❞❣❡t ❝♦♥str❛✐♥ts ✭✭✶✾✮

❛♥❞ ✭✷✺✮✱ ✇✐t❤ B =a+b❛♥❞ B˙ = ˙a+ ˙b✳

❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s ♠❛r❦❡ts ❝❧❡❛r ❛t ❡❛❝❤ ✐♥st❛♥t ♦❢ t✐♠❡✳

❚❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✻✮ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣❛t❤ ♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ♣r✐❝❡

♦❢ ♥♦♥✲tr❛❞❡❞ ❣♦♦❞s✳ ❚❤✐s r❡❧❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❛ ❞②♥❛♠✐❝ r❡❧❛t✐♦♥ ♦❢

r❡❛❧ ❡①❝❤❛♥❣❡ r❛t❡✱ p ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♦t❤❡r ❞②♥❛♠✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❇✉t t❤❡♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✜rst t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ c^N ✐♥ t❡r♠s ♦❢λ ❛♥❞ p✱ t♦ ❞❡r✐✈❡ ✜♥❛❧❧② ❛ ❞②♥❛♠✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ p ❛s

✐♥ ▼✉r♣❤② ✭✶✾✾✶✱ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✶✶✮✮✱ ❜✉t t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❞②♥❛♠✐❝ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ✐♥❝❧✉❞❡

❛❧s♦ q^N ❛♥❞K^N ❛s ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts✳ ❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s s✐♠♣❧② ❛❜❛♥❞♦♥❡❞ ❤❡r❡ ❞✉❡ t♦

✐ts ✐♥❞✉❝❡❞ ❝♦♠♣❧✐❝❛t✐♦♥✳

✶✶

✷✳✺

❚❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ ❞②♥❛♠✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛♥❛❧②s✐s

■t ✐s ♥❡❝❡ss❛r②✱ ❜❡❢♦r❡ ❞♦✐♥❣ t❤❡ st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✉♥❞❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡

❧❡♥❞✐♥❣ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts✱ t♦ st✉❞② t❤❡ t❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ r❡❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ c^N✱ c^T✱ p✱

I^N✱I^T ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t✿

I^N =I^N(q^N), I_q^N >0;

I^T =I^T(q^T), I_q^T >0;

❋♦r t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ c^T✱c^N✱ p❛♥❞ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡s λ✱q^N✱K^N ❛♥❞

♣♦❧✐t✐❝❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡ g^N✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♣r♦❝❡❡❞ t♦ ❛ t♦t❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡

❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✻✮✱ ✭✷✼✮✱ ✭✷✽✮✳ ^✾ ❚❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ q^N✱ k^N ❛♥❞ g^N ❤❛✈❡ s♦♠❡ ❞✐✛❡r❡♥t

❡✛❡❝ts ♦✈❡r c^T ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ t✇♦ ❣♦♦❞s ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ♦r s✉❜st✐t✉t❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❊❞❣❡✇♦rt❤✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢

❊❞❣❡✇♦rt❤ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t②✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿

c^T = c^T(λ, q^N, K^N, g^N);

− − + −

✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❊❞❣❡✇♦rt❤ s✉❜st✐t✉t❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡✿

c^T = c^T(λ, q^N, K^N, g^N)

− + − +

❚❤❡ s❤♦rt✲r✉♥ r❡❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s c^N ❛♥❞ p ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡✲

t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ❣♦♦❞s ✐♥ t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞

❛s✿

c^N = c^N(λ, q^N, K^N, g^N)

− − + − p = p(λ, q^N, K^N, g^N)

− + − +

✸

❙t❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ✉♥❞❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❧❡♥❞✐♥❣ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts

✸✳✶

❙t❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ✉♥❞❡r t♦t❛❧ ❞❡❜t ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t

❚❤❡ s❝❤❡♠❡ ♦❢ ❧❡♥❞✐♥❣ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ✉s✐♥❣ t♦t❛❧ ❞❡❜t ❛s ❛ ♣r♦①② ❢♦r ❝r❡❞✐t✇♦rt❤✐♥❡ss

✐s t♦ ❧✐♥❦ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ♣❛✐❞ ♦♥ ❞❡❜t t♦ t❤❡ t♦t❛❧ ♦✉tst❛♥❞✐♥❣ ❞❡❜t ❤❡❧❞ ❜♦t❤ ❜②

✾❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ✼ ❢♦r ❢♦r♠❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳

✶✷

t❤❡ ♣r✐✈❛t❡ s❡❝t♦r ❛♥❞ t❤❡ ❣♦✈❡r♥♠❡♥t✳ ❯♥❞❡r t❤✐s ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t✱ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡

✐s ♣♦s✐t✐✈❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t♦t❛❧ ♥❡t ❞❡❜t✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✈✐❡✇ ❛s ❛ ♣r♦①② ❢♦r t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢

❝r❡❞✐t✇♦rt❤✐♥❡ss✿

r=r^∗+v(B) =r(B), v^′ >0, r^′ >0; ✭✸✼✮

✇❤❡r❡r^∗✐s t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ♣r❡✈❛✐❧✐♥❣ ✐♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧❧② ❛♥❞v(B)t❤❡ ❝♦✉♥tr②✲s♣❡❝✐✜❝

r✐s❦ ♣r❡♠✐✉♠✳

❲✐t❤ t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❡①t❡r♥❛❧ ❜♦rr♦✇✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥t✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦❝❡❡❞ ♥♦✇ t♦ t❤❡

st❛❜✐❧✐t② ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ s②st❡♠ ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ s♠❛❧❧ ❝♦✉♥tr②✳ ❚❤❡

❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✸✶✮✕✭✸✻✮ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ st❡❛❞②✲

st❛t❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❣✐✈❡s✿





















˙ q^N K˙^N

˙ q^T K˙^T

λ˙ B˙





















=



















ϕ₁ ϕ₂ 0 0 −R^N_p p_λ r^′q^N

I_q^N −δ 0 0 0 0

0 0 r+δ −R^T_K 0 r^′q^T

0 0 I_q^T −δ 0 0

0 0 0 0 0 −r^′λ

c^T_q c^T_K Ψ^T_II_q^T y_K^T c^T_λ r^′B+r





































q^N −q¯^N K^N −K¯^N

q^T −q¯^T K^T −K¯^T

λ−¯λ B−B¯



















✭✸✽✮

✇✐t❤ϕ₁=r+δ−R_p^Np_q, ϕ₂=−R^N_K−R^N_p p_K✳ ❚❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ st❛❜✐❧✐t② ♠❛tr✐①

♦❢ s②st❡♠ ✭✸✽✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✿

|J|=r^′λ (

c^T_λ

"

ϕ1 ϕ2

I_q^N −δ

# "

r+δ −R^T_K I_q^T −δ

#

−R^N_p p_λ

"

I_q^N −δ c^T_q c^T_K

# "

r+δ −R^T_K I_q^T −δ

#)

s✐♥❝❡ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t r^′ >0✱ c^T_λ < 0✱ p_q > 0✱ R^N_K < 0✱ p_K < 0✱ I_q^N >0✱ R^T_K <0✱ I_q^T > 0✱ Ψ^T_I > 0✱ y^T_K > 0✱ c^T_λ < 0✱ B > 0✱ t❤❡♥ ❛ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r |J| t♦

❜❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐s t❤❛t t❤❡ t✇♦ ❣♦♦❞s ❛r❡ s✉❜st✐t✉t❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡

❝❛♣✐t❛❧ ❛♥❞ ❧❛❜♦r ❛r❡ s✉❜st✐t✉t❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡ s❡❝t♦r✳ ■❢ t❤✐s ✐s t❤❡ ❝❛s❡✱

✇❡ ❤❛✈❡ R^N_p =−^FL_pF^NF_N^KLN

LL

<0✱ ❛♥❞ c^T_q >0✱ c^T_k <0✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡♠♦♥str❛t❡✱ ✉s✐♥❣ t❤❡

s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ s❤♦rt✲r✉♥✱ t❤❛t✿ ^✶✵

I_q^Nc^T_K+c^T_qδ=I_q^Nλu_{T N}y_K^N

∆ −δλuT NΨ^N_I I_q^N

∆ = λI_q^NuT N

∆ (y_K^N −δΨ^N_I ).

uN T < 0 ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❛♥❞ y^N_K −δΨ^N_I = c^N_K > 0 ❜② t❤❡ ♥♦♥✲tr❛❞❛❜❧❡ ❣♦♦❞s

♠❛r❦❡t ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡ ❧❛st ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦

✶✵❋♦r t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s ♦❢ r❡❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ s❡❡ ✼✳

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