Lösung zur Klausur zu Statistik II

Lösung zur Klausur zu Statistik II

Prof. Dr. Claudia Becker Sommersemester 2015

27.07.2015

Aufgabe 1: (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 1 (a):(insgesamt 6 Punkte) n= 500, A= Anmeldung, E = Einsicht Gegeben:

P(E) = 0.24 (0.5 Punkte)

PA^C|E= 0.1→P (A|E) = 1−P A^C|E= 1−0.1 = 0.9(0.5 Punkte) P(A∩B) =P (A|B)·P (B)(1 Punkt)

P(A∩E) = P (A|E)·P (E)(0.5 Punkte)= 0.9·0.24 = 0.216 (0.5 Punkte)

#A = 0.25·500 = 125

#E = 0.24·500 = 120

#A∩E = 0.216·500 = 108

A E

17 108 12

363

(2 Punkte insgesamt für Venn-Diagramm: 0.5 Punkte für jede Zahl) 12 Studierende erscheinen unangemeldet zur Einsicht.(1 Punkt) Aufgabe 1 (b): (insgesamt 9 Punkte)

Gesucht:P E|A^C(1 Punkt)

Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit(1 Punkt) P(A) = ^PP(A|Bi)·P(B_i)(1 Punkt)

Gegeben:

P(A) = 0.25(0.5 Punkte)→P A^C= 1−P(A) = 1−0.25 = 0.75 (1 Punkt) P(E|A) = 0.864 (0.5 Punkte)

P(E) = P (E|A)·P (A) +PE|A^C·P A^C (1 Punkt) 0.24 = 0.864·0.25 +P E|A^C·0.75 (1 Punkt)

PE|A^C= 0.24−0.864·0.25

0.75 (1 Punkt)= 0.032 (1 Punkt) alternativ:P E|A^C= ^P(^E∩AC)

P(A^C) = ^P(^AC∩E)

P(A^C) = ^P(^AC|E)^·P(E)

P(A^C) = ^0.1·0.24_0.75 = 0.032 Aufgabe 1 (c):(insgesamt 5 Punkte)

Für stochastisch unabhängige Ereignisse gilt: P(A∩B) = P(A)·P(B) (1 Punkt) P(A∩E) = 0.216 (siehe oben)

P(A)·P(E) = 0.25·0.24 = 0.06(0.5 Punkte)

DaP(A∩B)6=P(A)·P(B)(0.5 Punkte), folgt, dassAundE nicht stochastisch unabhängig sind (1 Punkt).

Interpretation: für Lehrstuhl ist eine vorherige Anmeldung zur Einsicht sinnvoll (1 Punkt).

Wären die Ereignisse unabhängig, hätte die Anmeldung keine Prognosefähigkeit für Erschei- nen (1 Punkt).

Aufgabe 2: (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 2 (a):(insgesamt 3 Punkte)

• Situation entspricht Bernoulli-Experiment

• zwei mögliche Ausgänge: Person hat entweder an einem bestimmten Tag Geburtstag (1) oder eben nicht (0)

• Parameter:p= ₃₆₅¹ , da ein Jahr mit 365 Tagen unterstellt wurde

Aufgabe 2 (b): (insgesamt 4 Punkte)

• Situation stellt eine n-fache Wiederholung eines (genauer: des in (a) beschriebenen) Bernoulli-Experiments dar

• Einzelexperimente sind unabhängig voneinander (da Personen nicht verwandt sind) und es gilt jeweils die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeitp

• dies führt zur Binomialverteilung

• Parameter:n. . . Anzahl der Personen der Gruppe,p= ₃₆₅¹ , da ein Jahr mit 365 Tagen unterstellt wurde

Aufgabe 2 (c):(insgesamt 6 Punkte)

• X ∼Bin(n = 23, p= ₃₆₅¹ )

• mit f(x_i) = _xⁿ

i

·p^xi ·(1−p)^n−xi

• gesucht:P(X ≥1)

• P(X ≥1) = 1−P(X = 0)

• P(X = 0) =²³₀·₃₆₅^{1 0}·1− ₃₆₅^{1 23−0} = 1·1·³⁶⁴₃₆₅²³

• P(X = 0)≈0.9388 → P(X ≥1) = 0.0612

Aufgabe 2 (d): (insgesamt 7 Punkte)

• X ∼Bin(n = ?, p= ₃₆₅¹ ) mit f(x_i) =_xⁿ

i

·p^xi·(1−p)^n−xi

• gesucht:n sodass P(X ≥1)>0.5

• 1−P(X = 0)>0.5

• 1−ⁿ₀· ₃₆₅^{1 0} ·1− ₃₆₅^{1 n−0} >0.5

• 1−³⁶⁴₃₆₅ⁿ>0.5

• ³⁶⁴₃₆₅ⁿ <0.5

• n > ^{ln 0.5}

ln(³⁶⁴365) = 252.652 →n ≥253

Aufgabe 3: (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 3 (a):(insgesamt 2 Punkte)

Die Schätzfunktionen X1, X2, X3 und X4 sind Punktschätzer, hier wird genau ein Wert als Schätzung für eine interessierende Größe angegeben (1 Punkt)

Im Vergleich dazu wird bei Intervallschätzern, ein ganzer Bereich (Konfidenzintervall) an- gegeben, der den interessierenden Parameter mit gewisser Wahrscheinlichkeit überdeckt (1 Punkt)

Aufgabe 3 (b): (insgesamt 5 Punkte) Gütekriterien:

• Erwartungstreue: die Schätzfunktion schätzt den unbekannten Parameter ”im Mittel”

korrekt (1.5 Punkte)

• Effizienz: Schätzer mit geringerer Varianz besitzen die höhere Präzision/ geringere Streuung (1.5 Punkte; oder 1.5 Punkte für Erklärung der Konsistenz; insgesamt max.

3 Punkte für zwei gewählte Gütekriterien)

• Geeignete Schätzer sind erwartungstreu(1 Punkt); wenn mehrere Schätzer erwartungs- treu sind, wähle den mit der geringeren Varianz (1 Punkt).

Aufgabe 3 (c):(insgesamt 13 Punkte) Erwartungswerte: (7 Punkte)

E(t₁(X₁, X2, X3)) = E(2

8 ·X1+ 4

8·X2+ 2

8·X3)(0.5 Punkte)

= 2

8 ·E(X₁) + 4

8·E(X₂) + 2

8 ·E(X₃) (0.5 Punkte)

= 2

8 ·µ+ 4

8·µ+2

8 ·µ(0.5 Punkte)=µ(0.5 Punkte)

E(t₂(X₁, X2, X3)) = E

1

3·(X₁+ 4·X2+X3)

(0.5 Punkte)

= 1

3 ·(µ+ 4µ+µ) (0.5 Punkte)

= 6

3 ·µ= 2µ(0.5 Punkte) E(t₃(X₁, X₂, X₃)) = E

1

3·(X₁ +X₂+X₃)

(0.5 Punkte)

= 1

3·[E(X₁) +E(X₂) +E(X₃)] (0.5 Punkte)

= 1

3·(µ+µ+µ) =µ (0.5 Punkte)

Die Erwartungswerte der Schätzfunktiont₄ muss man nicht separat berechnen, daX₁, X₂, X₃ alle denselben Erwartungswert besitzen und die Gewichte, mit denen die drei Variablen in die Schätzer eingehen, die gleichen sind (2/8, 2/8, 4/8), nur in unterschiedlicher Reihenfolge (1 Punkt; falls gerechnet ebenfalls 1 Punkt).

Die SchätzerX₁, X₃ und X₄ sind erwartungstreu (1 Punkt) Varianzen: (6 Punkte)

V ar(t₁(X₁, X₂, X₃)) = V ar(2

8 ·X₁+4

8 ·X₂+ 2

8·X₃) (0.5 Punkte)

= 4

64·V ar(X₁) + 16

64·V ar(X₂) + 4

64 ·V ar(X₃) (0.5 Punkte)

= 1

16·σ²+ 4

16 ·σ²+ 1

16·σ² (0.5 Punkte)

= 3

8·σ² = 0.375·σ² (0.5 Punkte)

V ar(t₃(X₁, X₂, X₃)) = V ar

1

3·(X₁ +X₂+X₃)

(0.5 Punkte)

= 1

9·V ar(X₁+X2+X3) (0.5 Punkte)

= 3

9·σ² = 0.3333·σ² (1 Punkt)

Die Varianz der Schätzfunktionen t₄ muss man mit der gleichen Begründung wie oben ebenfalls nicht separat berechnen, da X₁, X₂ und X₃ auch alle dieselbe Varianz besitzen:

V ar(t₄(X₁, X₂, X₃)) = 0.375 (1 Punkt; falls gerechnet ebenfalls 1 Punkt).

DaV ar(t₃)< V ar(t₁),V ar(t₃)< V ar(t₄), istt₃ der statistisch gesehen bessere Schätzer.(1 Punkt).

Aufgabe 4: (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 4 (a):(insgesamt 4 Punkte) Gesucht: Anteil bestandenp (2 Punkt) p= ¹⁸⁰₃₇₆(1 Punkt)= 0.4787 (1 Punkt) Aufgabe 4 (b): (insgesamt 12 Punkte) Testproblem:

H₀: p≥p₀ vs. H₁: p < p₀ (1 Punkt) H₀: p≥0.5 vs. H₁:p < 0.5(1 Punkt)

Interessierende Größe: Anteil bestanden p(1 Punkt) Test auf Anteil (1 Punkt):

LehneH₀ ab, falls(1 Punkt für Entscheidungsregel und 1 Punkt für Formel zur Teststatistik)

√n· X−p₀

qp₀·(1−p₀)

<−z1−α

Teststatistik:

√376· ^{0.46−0.5√}_0.5·0.5 =√

376· ^−0.04_0.5 =−1.5513 (1 Punkt für p= 0.46 und 1 Punkt für Ergebnis) Kritischer Wert:

−z1−0.05=−z_0.95 (1 Punkt) =−1.6449 (1 Punkt)

Da−1.5513>−1.6449(0.5 Punkte), kann H₀ nicht verworfen werden(0.5 Punkte). Zweiter Termin kann nicht als schwieriger angesehen werden(1 Punkt).

Aufgabe 4 (c):(insgesamt 4 Punkte) Testproblem aus Sicht des Lehrstuhls:

H0: p=p0 vs. H1: p6=p0 (1 Punkt)

Testentscheidung: (3 Punkte für Erklärung) Lehne H0 ab, falls

√n·

X−p₀

qp₀·(1−p₀)

> z1−α/2

Da in Teilaufgabe (b) √

n· √^X−p0

p0·(1−p0)(−1.5513)>−z_1−α(−1.6449) (also:

√n· √^X−p0

p0·(1−p0)

=

√n·√|^X−p0|

p0·(1−p0)(1.5513)< z_1−α(1.6449)) und allgemeinz_1−α < z_1−α/2gelten, folgt daraus, dass

√n· √|^X−p0|

p0·(1−p0)(1.5513)< z1−α/2(1.9600). D.h., auch hier kann H₀ nicht verworfen werden.